随机过程知识点汇总

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0 — 1分布

P(X 1) P,P(X 0) q EX

DX

pq

二项分布

P(X

k)

C ：

EX

np

DX

npq

泊松分布

P(X

k)

k!

EX

DX

均匀分布略

正态分布

N(a, 2)

f(x)

(X a)2

2 2

EX DX

第一章随机过程的基本概念与基本类型 一.随机变量及其分布

1 .随机变量X ,分布函数F(x) P(X X) 离散型随机变量

X 的概率分布用分布列 P k P(X x k )分布函数 F(x)

P k

连续型随机变量

X 的概率分布用概率密度

f(x)

分布函数F(x)

X

f(t)dt

2. n 维随机变量

X (X 1,X 2, ,X n )

其联合分布函数 F (X ) F (X 1,X 2,

,

X n )

P(X 1 X [ , X 2 X 2 ,

, X n

X n ,)

离散型

联合分布列 连续型联合概率密度

3 .随机变量的数字特征

数学期望：离散型随机变量 X EX X k P k

连续型随机变量

X

EX xf (x)dx

2 2 2

方差：DX E(X EX) EX (EX) 反映随机变量取值的离散程度

协方差(两个随机变量 X,Y )： B XY E[(X EX )(Y

相关系数(两个随机变量 X, Y ) : XY t

_

____________________________________

VDX v'DY

独立 不相关

5 •常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 B XY EY)] E(XY) EX EY

则称X,Y 不相关。

4 •特征函数 g(t)

E(e ItX ) 离散 g(t) e ItX k

p k

连续

g(t)

e ltx

f (x)dx

重要性质：g(0)

1 , g(t) 1 , g( t) g(t) , g

(0) EX k

a (a 1,a 2, ,a n )， x (X 1,X 2, ,X n )， B (

b j )nn 正定协方差阵

二•随机过程的基本概念 1. 随机过程的一般定义

设(，

P)是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个t T ,都有一个随机变量 X 与之对应,

则称随机变量族 X(t,e),t T 是(，

P)上的随机过程。简记为

X(t),t T 。

含义：随机过程是随机现象的变化过程，

用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规

律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。

当t 固定时，X(t,e)是随机变量。当e 固定时，X(t,e)时普通函数，称为随机过程的一个样本 函数或轨道。 分类：根据参数集 T 和状态空间I 是否可列，分四类。 也可以根据X(t)之间的概率关系分类,

如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。 2. 随机过程的分布律和数字特征

用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程

X(t),t T 的一维分布，二维分

布，…，n 维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征 的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征 来取代。 (1)

均值函数m X (t) EX (t)表示随机过程 X(t),t T 在时刻t 的平均值。 (2)

方差函数 D x (t) E[X(t) m x (t)]2表示随机过程在时刻t 对均值的偏离程度。

B x (s,t)

E[(X(s) m x (s))(X(t) m x (t))]

(3)

协方差函数

且有B x (t,t) D x (t)

E[X(s)X(t)] m x (s)m x (t)

(4)

相关函数R x (s,t)

E[X(s)X(t)]⑶和⑷表示随机过程在时刻s , t 时的线性相关程度。

(5) 互相关函数：

X(t),t T , Y(t),t T 是两个二阶距过程，则下式称为它们的互协方差函

数。

B xY (s,t)

E[(X(s) m x (s))(Y(t) m Y (t))]

指数分布

f(x)

e x , x 0 0, x 0

EX — DX

1

~2

6.N 维正态随机变量 X

(X i ，X 2, ,X n )的联合概率密度 X 〜N(a, B)

1

f(X 1,X 2, ,X n ) --------------- n - (2 )2

—exp{

|B |2 1 T 1 2(x a) B (x a)}

E[X(s)Y(t)] m x(s)m Y(t)

若E[X(s)Y(t)] m x (s)m Y(t)，则称两个随机过程不相关。

3•复随机过程Z t X t jY t

均值函数m z (t) EX t jEY t 方差函数

D z(t) E[| Z t m z(t) |]2E[(Z t m z(t))(Z t m z(t))]

B z(s,t) E[(Z s m z (s))(Z t m z(t))] -

协方差函数_ _____ 相关函数R z(s,t) E[Z s Z t]

E[Z s Z t] m z(s)m z(t)

4•常用的随机过程

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(1)二阶距过程：实(或复)随机过程X(t),t T，若对每一个t T，都有EX(t) (二阶距存在)，则称该随机过程为二阶距过程。

(2)正交增量过程：设X(t),t T是零均值的二阶距过程，对任意的t1t2t3 t4 T，有

E[(X(t2) X(tJ)(X(t4) X(t3))] 0,则称该随机过程为正交增量过程。

其协方差函数B x(s,t) R x(s,t) X(min(s,t))

(3)独立增量过程：随机过程X(t),t T，若对任意正整数n 2，以及任意的t1 t2t n T , 随机变量X(t2) X(tJ,X(t4)X(t3), ,X(t n) X(t n1)是相互独立的，则称X(t),t T是独立增量过程。进一步，如X(t),t T是独立增量过程，对任意s t，随机变量X(t) X(s)的分

布仅依赖于t s，则称X(t),t T是平稳独立增量过程。

(4 )马尔可夫过程：如果随机过程X(t),t T具有马尔可夫性，即对任意正整数n及

t1 t2 t n T , P(X(tJ X1, ,X(t n1) X nJ 0，都有

P X(t n)人X(tJ X1, ,X(tnJ P X(t n) X n X(t n 1)粘，则则称X(t),t T

是马尔可夫过程。