第3章 流体运动学下--计算流体力学

例3-5 已知流场的速度分布为
u y ，v x ，w 0
求:流体质点的运动迹线和旋转角速度。
3.6 有旋运动的一般性质 (Rotational Flow)
有旋运动的基本特征: 存在涡量场 Ω v 0 。
3.6.1 涡线、涡管、涡通量和环量(Description of vorticity field)
v(x, y, z,t) ui vj wk
Taylor展开并略去高阶小量，有
vM
(x

x,
y

y, z

z,t)

v(x,
y, z,t)

v
x
x

v
y
y

v
z
z
uM
u u
x
x u
y
y u
z
z

vM
v v x v
v
ndS


t

V

dV
S

v

ndS

V

t
dV
—— Euler型连续性方程
它反映了cs上速度分布与cv内密度变化之间的积分关系。
特例：
S
v

ndS

V

t
dV
流动定常（ t 0 ）： S v ndS 0 （流入、流出CS 质量相等）
t t
t
M
Hale Waihona Puke Baidu
M0 一般运动 ＝ 平移 ＋ 线变形 ＋ 旋转 ＋ 角变形
3.5.1 亥姆霍兹（Helmholtz）速度分解定理
t 时刻：流体微团
M (x x, y y, z z)
M 0 (x, y, z)
vM (x x, y y, z z,t) uM i vM j wM k r xi yj zk
x
y
y v z
z

wM
w w
x
x w
y
y w
z
z
vM i

vi

vi x j

xj
i 1, 2, 3
vM
i

vi

vi x j

xj
vi x j
ij
ij

1 ( vi 2 xj
vj ) 1 ( vi xi 2 xj
在同一瞬时，沿涡管长度各截面的涡通量保持不变。
S ndS const
S3
S2
Ω2
C2
证明： 1 S1 n dS S2 n dS S3 n dS S1
S1 ndS S2 ndS
Ω1
C1
若涡量在截面 S1 , S 2 上均匀分布，记为 1 , 2，得
2 2
y
x
3.7 无旋运动的势函数(Velocity Potential)
v 0
v
速度势
d v dl
u , v , w
x
y
z
(x, y, z,t) udx vdy wdz
vr


r
,
v

1 r


d
Helmholtz速度分解定理 —— 流体微团中任意两点间速度关系：
vM i vi ij x j ij x j
vM v E r ω r
可见，流体微团中任意一点的速度由 平移、变形和旋转三部分速度构成。
E ijeie j
ij

1 ( vi 2 x j

0
连续流场中空间任意点上速度和密 度必须满足的微分（连续）方程。
v 0 （流场中）
t
u v w 0
t x y z
vr 1 v vz 0
t r r
z
v 0 ( t 0)
ω
dr
积分时时间变量t 作常数处理。
涡管(vortex tube): 某一时刻，由涡线组成的管状曲面。截 面积无限小的涡管称为涡束（涡线）。
Ω
涡通量(vortex flowrate): 涡量场的通量（涡强）。
J SΩ ds SΩnds
速度环量(velocity circulation):
c
v dl
c
3.6.2 速度环量定理（Stokes定理）
Ω
Sn
C
C vd l S vd s S Ωd s
C J
沿任意开口曲面边界线的速度环量等于通过该曲面的涡通 量。即：涡通量和速度环量都是反映旋涡作用的强弱。
3.6.3 涡管强度守恒定理(Conservation of vortex flowrate)
vj ) xi
ij

1 ( vi 2 x j

v j ) xi
ij

1 ( vi 2 x j

v j xi
)
xx xy xz
ij yx yy yz ij


zx
zy

zz

u
x


Incompressible Compressible Compressible Incompressible
classification of fluid motion
v 0 （在 流场中，irrotational flow）
v 0 （在 流场中，rotational flow）
平面流动：流线间距大，流速慢；间距小， 流速快。即流线的疏密反映了流速的大小。
例3-3 某瞬时水流通过具有自由 面的蓄水通道。
解： v1 A1 v2 A2 v3 A3
3.4.2 微分形式的连续方程
Gauss公式
S
v

ndS

V

t
dV
V
t

vdV
流体不可压缩 const ： v ndS 0 （流入、流出CS 体积相等） S
沿流管定常流动： 1v1S1 2v2 S2
沿流管不可压流动：
vS const （沿流管） vS const （沿流管）
不可压流动中，流管的截面积与流速成反 比，S小的地方流速快，S大的地方流速慢。
1 S1 2S const
可见，涡量与截面积S成反比，S大涡量小，S小涡量大。若 S缩为零，则涡量或角速度将增至无穷大。物理上不可能。
1 S1 2S const
涡管强度守恒定理的推论：
涡管不可能在流体中开始或终止， 它只能自成封闭形，或开始、终止于 边界面或伸展到无穷远。
如烟圈成呈环形、龙卷风开始和终 止于地面与云层。
dt

1 2
( v x

u ) y

xy
4 旋转运动
ij

1 ( vi 2 x j
v j ) xi
绕平行于z 轴的转动轴旋转角速度 ：
d1 v
dt x
d 2 u
dt y
绕z轴的平均旋转角速度：
z

1 (v 2 x

u ) y
ω

xi

一般运动 ＝ 平移 ＋ （线变形 ＋ 角变形 ）＋ 旋转
3.5.2 流体微团的运动（几何）分析
1. 平移运动——平移速度v 代表微团平移运动。
2. 线形变运动
xx

u x
：x方向流体线的线变形速率;
yy

v y
：y方向流体线的线变形速率;
zz

w z
：z 方向流体线的线变形速率。
3.4 连续方程
——质量守恒定律在流体力学中的应用。
3.4.1 积分形式的连续方程
在流场中任取一空间固定的封闭曲面S（控制面 control surface ） ， 所 围 体 积 V （ 控 制 体 control volume）。
质量守恒：单位时间流出控制面的净质量= 控制体内流体 质量的减少
S

v j ) xi
ω 1v 2
M (x x, y y, z z) M 0 (x, y, z)
vM (x x, y y, z z,t) uM i vM j wM k r xi yj zk
v(x, y, z,t) ui vj wk
el


l
2. 等势面与流面垂直 (平面流: 等势线与流线垂直)
梯度(速度)垂直等势面，流面与速度相切，故等势面垂直流面。
3. 不可压缩流体的势函数为调和函数 v 2 0
直系中:
2 2 2
0 2x 2y 2z
势流：不可压缩流体的无旋流动。
yz zx xy

1
2 1
2 1
( w y
( u z ( v

wuxvz )))
2 x y
xi


y
j

zk

ω

1 2


v
流体的变形张量： 二阶对称张量，有 6个独立分量。
流体运动的涡量
Ω v 2ω
流体平均旋转角速度
1 2 1 2
( v x ( u z

u ) y w ) x
1 (v u ) 2 x y
v
y 1 (w v ) 2 y z
1 (u w)
2 z x
1 2
(w y w
z
v z
)

x y z

4. 势函数具有可叠加性 若 21 0, 22 0,
令 1 2 3
2 21 22 0
3.8 流函数 (Stream Function)
dl
u v 0
引入
u , v
x y
dr d r
vr dr rv d
d l dxi dyj dzk
l
积分与路径无关，
drer rd eθ dzez
时间 t 为参数，积分 时当作常数处理。
yr x
速度势函数的性质：
1. 速度势沿任一方向的方向导数等于速度在该方向的投影；
微团体积膨胀率：流体微团的体积在单位时间的相对变化。
1 d ( V ) u v w v V dt x y z
3. 角变形运动
由对应的角速度 d1 v
dt x
d 2 u
dt y
平面上两垂直流体线的平均角变形速率：
1 2
(d1
d 2 )
Description and Classification of Fluid Motions
Continuum Fluid Mechanics
Time Space
steady
unsteady
1-D
2-D
3-D
Behavior Inviscid ( 0)
Viscous
irrotational rotational Laminar Turbulent
v 0 ( const)
不可压流动连续方程：速度场的散度为0
—— 体积膨胀速率为0。
3.5 流体微团的运动分析
流体在运动过程中可能发生变形或旋转， 只要微团的运动分析清楚了，流场的运动 就知道了。
流体微团：指大量流体质点组成的具有线 z 性尺度效应的微小流体团。
y
dy
M0
x
dx dz
流体微团的旋转运动与刚体转动的不同？
速度分解定理的意义：
（1）旋转运动从一般运动中分离出来，分为无旋和有旋运动;
Ω v 2ω v （0 无旋） v （ 0 有旋）
（2）变形运动从一般运动中分离出来，流体的变形速率与应
力联系起来，研究粘性流体运动规律。 ij ij
Description of velocity field: Streamline, Path line and Flowrate
涡线 (Vortex line): 任一时刻，涡线上每一点的切向量都与
该点的涡向量相切。涡线微分方程
Ω dr 0
dx
dy
dz


x (x, y, z,t) y (x, y, z,t) z (x, y, z,t)
y j zk

1 2

v
Summary:
t t
t
流体微团的运动由三部分组成：
• 以速度 v 作平移运动；
• 绕某瞬时轴以平均角速度 ω 旋转，不引起微团形状的改变； • 纯变形运动：线变形速率 xx , yy , zz 使微团的体积膨胀或
缩小，角变形速率 xy , yz , zx 使微团发生角变形。