高等数学第七版上册ppt

表示不同的函数，因为它们的定义域不同。 y = f( x )= lg x 2，x D =( - , 0 )∪( 0 ,+ ) ； y = g( x )= 2lg x，x E =( 0 ,+ ) ；
表示不同的函数，因为它们的定义域不同。 y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ ) ； y = f( t )= sin t，t R =( - ,+ ) ； u = f( t )= sin t，t R =( - ,+ ) ；
均表示同一个函数，因为它们的定义域 和对应法则都相同。
•练习： P16 第2题
如果自变量在定义域内任取一个数值时， 对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单 值函数，否则叫与多值函数．
例如，x2 y2 a2．
分段函数
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
如何学好微积分 ?
1、深刻理解基本概念
2、勤于思考，敢于提问，独立完 成作业
3、快乐学习，在学习中提升自己、
华罗庚
认识自己
第一章
函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一节 函数
一、基本概念 二、函数及其几种基本特性 三、反函数 四、复合函数 初等函数
一、基本概念
1、 计算曲面面积，如：由曲线 y2 2 x 和直线 y x 4所围成的图形的面积.
2、求空间立体的体积
y
y f (x)
o
x
z f ( x, y)
3、变速运动物体的瞬时速度
4、炮弹的最大射程
5、光滑曲线的切线和法线
什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
y log5 (x2 1)
ln x 0 x [1, 4) (4, )
x0
x2 1 0 x (, 1) (1, )
函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素： • 定义域 Df ： 自变量的变化范围。 • 对应法则 f ：自变量与因变量的对应规则。
函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即
例如,
f
(
x)
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
(1) 绝对值函数
y
0
x
(2) 符号函数
1 当x 0
y
sgn x
0
当x 0
1 当x 0
y
1
o
x
-1
4321
y
(3) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4
R f ={ y y = f( x )，x D f }= f( D f ).
结论：函数的两个要素实际也给出了判别两函数是 否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法 则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的。
例如：y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ )；
y = f( x )= sin x，x D =( - , )
a
a
a x
点a的去心的
邻域,
o
记作U
(a).
o
U (a) {x 0 x a }.
3.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 . U (a) {x a x a }.
阶梯曲线
(4) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
例
设
D(
x)
1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2).并讨论D(D( x))的性质. 5
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数， 辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.
高等数学的主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
教材:
《高等数学》(第七版)
同济大学应用数学系 主编 高等教育出版社, 2021.7.
数学 不仅是一种工具,
而且是一种思维模式;
数学 不仅是一种知识,
而且是一种素养;
数学 不仅是一种科学,
而且是一种文化;
何谓数学素养（数学素质）？
通俗说法——把所学的数学知识都排除或忘掉后， 剩下的东西。
微积分的创立背景
4.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
பைடு நூலகம்
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
二、函数
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集， 如果对于每个数x D , 变量 y 按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称 y 是 x的函数，记作
1.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
自然定义法: 定义域是自变量所能取的使算式 有意义的一切实数值.
例1 求下列函数的定义域
(1) y 3 x 1 x
x(,0) (0,3
(2) y lg(x2 4)
x (, 2) (2, )
练习：求下列函数的定义域
16 x2 0
(1) (2)
y 2x ln x 16 x2