高等数学第七版上册ppt
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高等数学-第七版-课件-12-7 傅里叶级数
在 例3 将函数
上的傅里叶展开式
u
展开成傅里叶级数, 其中E 是正的常数 . O t
傅里叶级数
一、三角级数 二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
傅里叶级数
一、三角级数 二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶系数为
a0 f ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1
①
② 定义 由公式 ② 确定的 称为函数f(x)
的傅里叶系数 ; 以f (x)的傅里叶系数为系数的三角级数 a0 an cos nx bn sin nx 称为f(x)的傅里叶级数 . 2 n 1
x
分别展开成正弦级数和余弦级数.
将定义在[0,]上的函数展开成正弦级数与余弦级数 展开思路 在
奇延拓 (偶延拓) 傅里叶展开 在
上有定义 上, 上为奇函数(偶函数)
定义在 在
(0, π] 上 F ( x ) f ( x ) 的正弦级数 (余弦函数) 展开式
y
例6 将函数
O 分别展开成正弦级数和余弦级数.
2) 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 并且 当x 为f (x)的连续点时,级数收敛于 f ( x );
当x 为f (x)的间断点时,级数收敛于
1 [ f ( x ) f ( x )]. 2
例1 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
引言
简单的周期运动 ( A：振幅 ：角频率
？
复杂的周期运动
：初相 )
高中数学(人教版)高等数学第七版课件工程数学概率统计学绪论课件
甲乙二人各有赌本1元，约定谁先胜三局赢得全 部赌本2元，假定甲、乙二人每一局的取胜概率相 等。现已赌三局结果是：甲二胜一负。由于某种 原因赌博中止，问如何分赌本才合理？ 分析：甲、乙均分显然不合理，由甲二胜一负 能否依2：1来分？也是不合理的。 巴斯卡提出一个关键点是：如赌局继续下去， 各人取胜的概率，这将决定甲、乙二人的期望所 得（后者现在称数学期望）。
Bortkiewicz （ 1898 ）的马踏死骑兵人数的统计 。
被马踢死的骑兵数的频率分布 死亡人数/年.队 0 1 2 3 频数 109 65 22 3 1 相对频数 0.545 0.325 0.11 0.015 0.005 理论概率 拟合频数
4
要寻找死亡人数的合理分布。
使用 Poisson 分布也许是一个好的拟合，参数 的估计为
3、短期的机遇变异和长期的规律性
重复投掷一枚均匀硬币六次，观察每次 出现的面： （1）正反正反反正 （2）反反反正正正 （3）正反反反反反
直觉认为结果（1）是随机的，结果（2 ）和结果（3）很不随机。
从概率的观点认为结果（1）、（ 2）、（3）的发生有相同的概率， 因而没有哪一个结果比其他结果更
这种设计的优点在于有人性化，即较多 的病人接受较好的处理。
5、随机性是创造性不可缺少的一个因素。
（1）抽样调查和试验设计的随机性 （2）罐子模型
（3） Monte Carlo法与模拟
Monte Carlo法与模拟
图2：如何求不规则图形的面积— 蒙特卡罗法或模拟法
Monte Carlo法与模拟
不规则图形面积 落入不规则图形内的随 机点数 a m 正方形面积 正方形内随机点总数 m
参考书目
1、复旦大学数学系，概率论（第一、二册），北京：高 等教育出版社，1979 2、浙江大学数学系，概率论与数理统计，北京：高等教 育出版社，1979 3、王梓坤，概率论及其应用，北京：科学出版社，1976 4、陈希孺，数理统计学简史，长沙：湖南教育出版社， 2002 5、陈希孺，概率论与数理统计，合肥：中国科技大学出 版社，1992 6、G.R.Iverson and M.Gergen. Statistics-the conceptual approach. New York:Springer-Verlag,1997 7、D.Freedman, R.Pisaui, R.Purves and A.Adhikari. Statistics. New York:W.W.Norton&Company,1991
Bortkiewicz （ 1898 ）的马踏死骑兵人数的统计 。
被马踢死的骑兵数的频率分布 死亡人数/年.队 0 1 2 3 频数 109 65 22 3 1 相对频数 0.545 0.325 0.11 0.015 0.005 理论概率 拟合频数
4
要寻找死亡人数的合理分布。
使用 Poisson 分布也许是一个好的拟合，参数 的估计为
3、短期的机遇变异和长期的规律性
重复投掷一枚均匀硬币六次，观察每次 出现的面： （1）正反正反反正 （2）反反反正正正 （3）正反反反反反
直觉认为结果（1）是随机的，结果（2 ）和结果（3）很不随机。
从概率的观点认为结果（1）、（ 2）、（3）的发生有相同的概率， 因而没有哪一个结果比其他结果更
这种设计的优点在于有人性化，即较多 的病人接受较好的处理。
5、随机性是创造性不可缺少的一个因素。
（1）抽样调查和试验设计的随机性 （2）罐子模型
（3） Monte Carlo法与模拟
Monte Carlo法与模拟
图2：如何求不规则图形的面积— 蒙特卡罗法或模拟法
Monte Carlo法与模拟
不规则图形面积 落入不规则图形内的随 机点数 a m 正方形面积 正方形内随机点总数 m
参考书目
1、复旦大学数学系，概率论（第一、二册），北京：高 等教育出版社，1979 2、浙江大学数学系，概率论与数理统计，北京：高等教 育出版社，1979 3、王梓坤，概率论及其应用，北京：科学出版社，1976 4、陈希孺，数理统计学简史，长沙：湖南教育出版社， 2002 5、陈希孺，概率论与数理统计，合肥：中国科技大学出 版社，1992 6、G.R.Iverson and M.Gergen. Statistics-the conceptual approach. New York:Springer-Verlag,1997 7、D.Freedman, R.Pisaui, R.Purves and A.Adhikari. Statistics. New York:W.W.Norton&Company,1991
最新同济大学高等数学第七版上册定积分精品课件
则有
b
a f ( x)dx f [(t)] (t)dt
b
a f ( x)dx f [(t)] (t)dt
证 因为 f ( x) 在 [a, b] 上连续，故原函数存在，设 F( x) 是 f (x) 的一个原函数，则有
f [(t)](t)dt
f [(t)]d(t)
F[(t)] F[( )] F[( )]
2
三、小结
1、使用定积分的换元法时要注意积分限的对 应。
2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入 新的变量记号，积分限跟着变。
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分 部积分公式的用法类似。
作业
P254 1 (4) , (10) , (16) ,(24) ; 3 ; 6; 7 (4), (9), (10)
2 2arctant 1 2 .
0
2
例7
设
f
(x)
12xx, 1 x
,
x0 x0,
2
求 f ( x 1)dx . 0
解 令 x1 t，
原式
1
f (t)dt
1
f ( x)dx
1
1
1
2xdx
0 1 x dx
0
1 1 x
x2 1
0
(1
2 ) dx
0
1
1 x
1 1 2 ln(1 x) 0 2 ln 2 . 1
T f ( x)dx .
a
0
aT
证 a f ( x)dx
0
T
aT
a f ( x)dx 0 f ( x)dx T f ( x)dx ,
aT
f ( x)dx
xT t
高等数学同济七版-优秀PPT文档
y
2 (3) 0 是可以作为无穷小的唯一常数.
数值 f (x) 总满足不等式
(2) 无穷大不是很大很大的数；
O1
x
水平渐近线
f (x) 1 1 x
铅直渐近线
O1 x
第四节 无穷小与无穷大
三、无穷小与无穷大的关系
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果 f (x) 为无
穷大，则 1 为无穷小；反之，如果 f (x) 为无穷小， f (x)
三定、理无 1(无穷穷小小与与无函穷数大极的限关的系关系) 则定称理直 2 线在自x =变x量0 的是同曲一线变y化= 过f (x程) 中的，铅直
(定3)义01是如可果以函作数为无f (x穷) 小当的x 唯x一0 常(或数x. )时的极限为
y 1 (2) 无穷大不是很大很大的数；
f ( x) 2 正(3)数若M函(数不为论无它穷多大么，大则)，它必无界，反之不成立. x 1 总所存以在 函正数数x–1 为(或当正x 数1X时)，为无穷小.
1 0 , 所以函数 1 为当x-时为无穷小.
1 x
1 x
第四节 无穷小与无穷大
定义1 如果函数 f (x) 当 xx0 (或 x)时的极限为
零，那么称函数 f (x) 为当 xx0 (或 x)时的无穷小.
几点说明
(1) 无穷小不是很小很小的数； (2) 函数 f (x) 是不是无穷小与自变量的变化过程有关; 例如，f (x) = x – 1 ，当 x1 时是无穷小，当 x2 时不 是无穷小. (3) 0 是可以作为无穷小的唯一常数.
y
y 1 x 1
O1
x
第四节 无穷小与无穷大
铅直(垂直)渐近线
定义 lim lim 如果
高等数学-第七版-课件-高等数学课件介绍
反复、对照，也方便学生记笔记；
示例一：导数概念
（1）变速直线运动的速度 （2）平面曲线的切线
匀速运动： v s
t
物 理 问 题 变速运动： v(t0) ?
f (t0)
f (t0 t)
s f (t)
t0
t t0 t
t
s f (t0 t) f (t0 )
s v t
v(t0)
lim
t 0
R
,
2
k)
z
例5 求曲线 x t , y t 2 , z t3在点(1,1,1)处
的切线方程和法平面方程.
o
x
y
切线方程
x x0
(t0 )
y y0
(t0 )
z z0
(t0 )
法平面方程 (t0 )(x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
示例二：直线、平面的相互关系
本课件是为教师课堂教学而设计的,不是供学生学习的教案．
设计时,避免让课件“说话”,造成课件与讲授的冲突,而是
给教师讲授留出足够的空间．
这里为不此妨，啰采嗦取几了句许：多方法，比如：将要讲授的道理变成各种 流现 授程在课图某时、些就框课给图件人、常“表常念格把课、要件动讲”画的的；大感课段觉件原。中话其仅放实出在，现课如一件果个里真简。是明这这的样样论，的断在课， 教件师，再那围么绕听这众个多论半断会展不开由讲自解主等地等自．己“念课件”，而不再听 讲。老师的讲课反而影响了听众的“念”。不仅如此，由于 老师另不外知，听随众时念注到意了课哪件里的，播只放顾与自讲己解翻的屏同，步倒．是更加阻碍了 听众。这会导致不折不扣的“冲突”。因此，作者认为： “不让课件说话”是设计课件的一个重要原则
示例一：导数概念
（1）变速直线运动的速度 （2）平面曲线的切线
匀速运动： v s
t
物 理 问 题 变速运动： v(t0) ?
f (t0)
f (t0 t)
s f (t)
t0
t t0 t
t
s f (t0 t) f (t0 )
s v t
v(t0)
lim
t 0
R
,
2
k)
z
例5 求曲线 x t , y t 2 , z t3在点(1,1,1)处
的切线方程和法平面方程.
o
x
y
切线方程
x x0
(t0 )
y y0
(t0 )
z z0
(t0 )
法平面方程 (t0 )(x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
示例二：直线、平面的相互关系
本课件是为教师课堂教学而设计的,不是供学生学习的教案．
设计时,避免让课件“说话”,造成课件与讲授的冲突,而是
给教师讲授留出足够的空间．
这里为不此妨，啰采嗦取几了句许：多方法，比如：将要讲授的道理变成各种 流现 授程在课图某时、些就框课给图件人、常“表常念格把课、要件动讲”画的的；大感课段觉件原。中话其仅放实出在，现课如一件果个里真简。是明这这的样样论，的断在课， 教件师，再那围么绕听这众个多论半断会展不开由讲自解主等地等自．己“念课件”，而不再听 讲。老师的讲课反而影响了听众的“念”。不仅如此，由于 老师另不外知，听随众时念注到意了课哪件里的，播只放顾与自讲己解翻的屏同，步倒．是更加阻碍了 听众。这会导致不折不扣的“冲突”。因此，作者认为： “不让课件说话”是设计课件的一个重要原则
大学高等数学第七版----第一章第二讲
n
n
若0 q 1, xn 0 qn , n ln q ln ,
n ln , ln q
取N [ ln ], ln q
则当n N时,
就有qn 0 , limqn 0. n
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* 例4 证明
lim
n2 a2 1
n
n
证明
n2 a2 1 n
n2 a2 n
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定理3 收敛的数列的保号性.
设
lim
n
xn
a,且a 0(or
a 0), 那么存在正整数N
0,
当n N时, 都有xn 0( xn 0).
证 不 妨 设a 0, 对 a ,
2
则N ,使得当n N时恒有xn
即有a
xn
a
2
a
xn a
a 0. 2
a 2
.
a
a 2
1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以,
取N
[1],
则当n N时,
就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
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练习 证明 lim 2n 1 2 n 3n 2 3
证明 :
2n 1 3n 2
2 3
7
33n
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
2.N与任意给定的正数有关.
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N定义 :
lim
同济七版高等数学上册 大一上学期 映射与函数 ppt
于是,
四. 初等函数
(1) 基本初等函数 常数函数、幂函数、指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运 算和复合步骤所构成 ,并可用一个式子表示 的函数 ,称为初等函数 .否则称为非初等函数 .
例如
y x3 5x2 1
y ex ex
(1,0)
(a 1)
4.三角函数
正弦函数 y sin x
余弦函数 y cos x
正切函数 y tan x 余切函数 y cot x
正割函数 y sec x 余割函数 y csc x
5.反三角函数 反正弦函数 y arcsin x 反余弦函数 y arccos x
反正切函数 y arctan x
③牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函 数 极限的保号性质
④理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明 方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限
⑤正确理解连续概念，理解间断点的分类
⑥理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数 的性质
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
一、集合
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.
几个特殊的函数举例
y
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
y
(2) 取整函数 y=[x]
4 3
[x]表示不超过 x 的最大整数
2
阶梯曲线
1 -4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 x
大学高等数学第七版----第一章第六讲1
x
x
解 ： 原 式
lim ln[2x (1
x
1 2x
)] ln(1
3) x
lim {[(x ln 2)
x
ln(1
1 2x
)] ln(1
3 )}
x
3
1
3
lim [(x ln 2) ln(1
x
) x
ln(1
2x
)ln(1
)] x
lim [3ln 2
x
ln(1 3
3) x ]
lim
x
1 2x
原式 lim x x
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 x3 2
1
.
2
x0 (2 x)3 16
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例5 求 lim tan 5x cos x 1 .
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
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1.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在,但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点.
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
记作 ~ ;
(3) 如果lim C(C 0,k 0),就说是的k阶的 k
无穷小.
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例1 证明 :当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解
高等数学第七版上册总复习PPT课件.ppt
(一)函数
基本初等函数 复合函数
函数的定义
反函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
1
(二)数列极限
2
3
4
(三)函数极限
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(三)连续与间断
14
15
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
40
（2） 三角函数有理式的积分
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
16
17
18
19
第二章 导数与微分
20
21
22
23
24
25
26
第三章 中值定理和导数的应用
27
28
29
30
31
32
33
34
35
第四章 不定积分
36
37
38
39
四 、有理函数与可化为有理函数的积分
（1）有理函数的积分
P( Q(
讨论类型： R( x, n ax b) R( x, n ax b ) cx e
基本初等函数 复合函数
函数的定义
反函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
1
(二)数列极限
2
3
4
(三)函数极限
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(三)连续与间断
14
15
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
40
（2） 三角函数有理式的积分
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
16
17
18
19
第二章 导数与微分
20
21
22
23
24
25
26
第三章 中值定理和导数的应用
27
28
29
30
31
32
33
34
35
第四章 不定积分
36
37
38
39
四 、有理函数与可化为有理函数的积分
（1）有理函数的积分
P( Q(
讨论类型： R( x, n ax b) R( x, n ax b ) cx e
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表示不同的函数，因为它们的定义域不同。 y = f( x )= lg x 2，x D =( - , 0 )∪( 0 ,+ ) ； y = g( x )= 2lg x，x E =( 0 ,+ ) ；
表示不同的函数，因为它们的定义域不同。 y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ ) ； y = f( t )= sin t，t R =( - ,+ ) ； u = f( t )= sin t，t R =( - ,+ ) ；
均表示同一个函数，因为它们的定义域 和对应法则都相同。
•练习： P16 第2题
如果自变量在定义域内任取一个数值时， 对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单 值函数，否则叫与多值函数．
例如，x2 y2 a2．
分段函数
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
如何学好微积分 ?
1、深刻理解基本概念
2、勤于思考，敢于提问，独立完 成作业
3、快乐学习，在学习中提升自己、
华罗庚
认识自己
第一章
函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一节 函数
一、基本概念 二、函数及其几种基本特性 三、反函数 四、复合函数 初等函数
一、基本概念
1、 计算曲面面积，如：由曲线 y2 2 x 和直线 y x 4所围成的图形的面积.
2、求空间立体的体积
y
y f (x)
o
x
z f ( x, y)
3、变速运动物体的瞬时速度
4、炮弹的最大射程
5、光滑曲线的切线和法线
什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
y log5 (x2 1)
ln x 0 x [1, 4) (4, )
x0
x2 1 0 x (, 1) (1, )
函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素： • 定义域 Df ： 自变量的变化范围。 • 对应法则 f ：自变量与因变量的对应规则。
函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即
例如,
f
(
x)
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
(1) 绝对值函数
y
0
x
(2) 符号函数
1 当x 0
y
sgn x
0
当x 0
1 当x 0
y
1
o
x
-1
4321
y
(3) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4
R f ={ y y = f( x )，x D f }= f( D f ).
结论：函数的两个要素实际也给出了判别两函数是 否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法 则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的。
例如：y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ )；
y = f( x )= sin x，x D =( - , )
a
a
a x
点a的去心的
邻域,
o
记作U
(a).
o
U (a) {x 0 x a }.
3.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 . U (a) {x a x a }.
阶梯曲线
(4) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
例
设
D(
x)
1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2).并讨论D(D( x))的性质. 5
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数， 辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.
高等数学的主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
教材:
《高等数学》(第七版)
同济大学应用数学系 主编 高等教育出版社, 2021.7.
数学 不仅是一种工具,
而且是一种思维模式;
数学 不仅是一种知识,
而且是一种素养;
数学 不仅是一种科学,
而且是一种文化;
何谓数学素养（数学素质）？
通俗说法——把所学的数学知识都排除或忘掉后， 剩下的东西。
微积分的创立背景
4.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
பைடு நூலகம்
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
二、函数
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集， 如果对于每个数x D , 变量 y 按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称 y 是 x的函数，记作
1.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
自然定义法: 定义域是自变量所能取的使算式 有意义的一切实数值.
例1 求下列函数的定义域
(1) y 3 x 1 x
x(,0) (0,3
(2) y lg(x2 4)
x (, 2) (2, )
练习：求下列函数的定义域
16 x2 0
(1) (2)
y 2x ln x 16 x2
表示不同的函数，因为它们的定义域不同。 y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ ) ； y = f( t )= sin t，t R =( - ,+ ) ； u = f( t )= sin t，t R =( - ,+ ) ；
均表示同一个函数，因为它们的定义域 和对应法则都相同。
•练习： P16 第2题
如果自变量在定义域内任取一个数值时， 对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单 值函数，否则叫与多值函数．
例如，x2 y2 a2．
分段函数
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
如何学好微积分 ?
1、深刻理解基本概念
2、勤于思考，敢于提问，独立完 成作业
3、快乐学习，在学习中提升自己、
华罗庚
认识自己
第一章
函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一节 函数
一、基本概念 二、函数及其几种基本特性 三、反函数 四、复合函数 初等函数
一、基本概念
1、 计算曲面面积，如：由曲线 y2 2 x 和直线 y x 4所围成的图形的面积.
2、求空间立体的体积
y
y f (x)
o
x
z f ( x, y)
3、变速运动物体的瞬时速度
4、炮弹的最大射程
5、光滑曲线的切线和法线
什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
y log5 (x2 1)
ln x 0 x [1, 4) (4, )
x0
x2 1 0 x (, 1) (1, )
函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素： • 定义域 Df ： 自变量的变化范围。 • 对应法则 f ：自变量与因变量的对应规则。
函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即
例如,
f
(
x)
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
(1) 绝对值函数
y
0
x
(2) 符号函数
1 当x 0
y
sgn x
0
当x 0
1 当x 0
y
1
o
x
-1
4321
y
(3) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4
R f ={ y y = f( x )，x D f }= f( D f ).
结论：函数的两个要素实际也给出了判别两函数是 否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法 则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的。
例如：y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ )；
y = f( x )= sin x，x D =( - , )
a
a
a x
点a的去心的
邻域,
o
记作U
(a).
o
U (a) {x 0 x a }.
3.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 . U (a) {x a x a }.
阶梯曲线
(4) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
例
设
D(
x)
1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2).并讨论D(D( x))的性质. 5
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数， 辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.
高等数学的主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
教材:
《高等数学》(第七版)
同济大学应用数学系 主编 高等教育出版社, 2021.7.
数学 不仅是一种工具,
而且是一种思维模式;
数学 不仅是一种知识,
而且是一种素养;
数学 不仅是一种科学,
而且是一种文化;
何谓数学素养（数学素质）？
通俗说法——把所学的数学知识都排除或忘掉后， 剩下的东西。
微积分的创立背景
4.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
பைடு நூலகம்
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
二、函数
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集， 如果对于每个数x D , 变量 y 按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称 y 是 x的函数，记作
1.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
自然定义法: 定义域是自变量所能取的使算式 有意义的一切实数值.
例1 求下列函数的定义域
(1) y 3 x 1 x
x(,0) (0,3
(2) y lg(x2 4)
x (, 2) (2, )
练习：求下列函数的定义域
16 x2 0
(1) (2)
y 2x ln x 16 x2