一元一次方程知识点及练习完整版

一元一次方程知识点及基础训练全章知识网络图：知识详解：一、等式的概念和性质1、等式的概念：用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式。

2、等式的性质等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

若a b=，则a m b m±=±；等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b=，则am bm=，a bm m=(0)m≠注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边。

（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同。

（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a b=，那么b a=；②等式具有传递性，即：如果a b=，b c=，那么a c=；判断题2）12S ah=是等式；（3）等式两边都除以同一个数，等式仍然成立；（4）若x y=，则44x m y m+-=+-；下列说法不正确的是（）A．等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式；B．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；C．等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式；D．一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式；回答下列问题，并说明理由．（1）由2323a b+=-能不能得到a b=？（2）由56ab b =能不能得到56a =？（3）由7xy =能不能得到7y x =？ （4）由0x =能不能得到11x x x+=？下列结论中正确的是（ ）A ．在等式3635a b -=+的两边都除以3，可得等式25a b -=+；B ．如果2x =-，那么2x =-；C ．在等式50.1x =的两边都除以0.1，可得等式0.5x =；D ．在等式753x x =+的两边都减去3x -，可得等式6346x x -=+；根据等式的性质填空（1）4a b =-，则 a b =+； （2）359x -=，则39x =+ ； （3）683x y =+，则x = ； （4）122x y =+，则x = ． 用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的（1）如果23x =+，那么x = ；（2）如果6x y -=，那么6x =+ ；（3）如果324x y -=，那么2y -=- ； （4）如果324x =，那么x = ．二、方程的相关概念1、方程：含有未知数的等式叫作方程。

注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母，二者缺一不可。

2、方程的次和元：方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元。

3、方程的已知数和未知数已知数：一般是具体的数值，如50x +=中（x 的系数是1，是已知数．但可以不说）。

5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a 、b 、c 、m 、n 等表示。

未知数：是指要求的数，未知数通常用x 、y 、z 等字母表示。

如：关于x 、y 的方程2ax by c -=中，a 、2b -、c 是已知数，x 、y 是未知数。

4、方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

5、解方程：求得方程的解的过程。

注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程。

6、方程解的检验:要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是。

下列各式中，哪些是等式？哪些是代数式，哪些是方程？①34a +； ②28x y +=； ③532-=； ④1x y ->； ⑤61x x --；⑥83x -=； ⑦230y y +=； ⑧2223a a -； ⑨32a a <-．判断题．（1）所有的方程一定是等式。

（ ）（2）所有的等式一定是方程。

（ ）（3）241x x -+是方程。

（ ）（4）51x -不是方程。

（ ）（5）78x x =不是等式，因为7x 与8x 不是相等关系。

（ ）（6）55=是等式，也是方程。

（ ）（7）“某数的3倍与6的差”的含义是36x -，它是一个代数式，而不是方程。

（ ）判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由。

（1）373x x -=-+； （2）223y -=； （3）2351x x -+；（4）112--=-； （5）42x x -=-； （6）152x y -=．下列说法不正确的是（ ）A ．解方程指的是求方程解的过程；B ．解方程指的是方程变形的过程；C ．解方程指的是求方程中未知数的值，使方程两边相等的过程；D ．解方程指的是使方程中未知数变成已知数的过程；检验括号里的数是不是方程的解：()3212y y -=（1y =，32y =）在1y =、2y =、3y =中， ______ 是方程104y y =-的解．三、一元一次方程的定义1、一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程。

这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数。

2、一元一次方程的形式标准形式：0ax b +=（其中0a ≠，a ，b 是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式． 最简形式：方程ax b =（0a ≠，a ，b 为已知数）叫一元一次方程的最简形式． 注意：（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证，如方程22216x x x ++=-是一元一次方程。

如果不变形，直接判断就出会现错误。

（2）方程ax b =与方程(0)ax b a =≠是不同的，方程ax b =的解需要分类讨论完成。

下列各式中：①3x +；②2534+=+；③44x x +=+；④12x=；⑤213x x ++=；⑥44x x -=-；⑦23x =；⑧2(2)3x x x x +=++。

哪些是一元一次方程？下列方程是一元一次方程的是（ ）（多选）A ．1xy =B ．225x+= C ．0x =D ．13ax +=E ．235x +=F ．2π 6.28R =已知方程2(63)70n m x -+=是关于x 的一元一次方程，求m ，n 满足的条件。

若2(1)(2)(3)0k x k x k -+-+-=是关于x 的一元一次方程，求k 。

已知2(1)(1)30k x k x -+-+=是关于x 的一元一次方程，求k 的值。

若22(1)(1)20a x a x -+-+=是关于x 的一元一次方程，求a 。

若关于x 的方程2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x = 。

求关于x 的一元一次方程21(1)(1)80k k x k x --+--=的解．已知方程1(2)40a a x --+=是一元一次方程，则a = ；x = ．四、一元一次方程的解法1、解一元一次方程的一般步骤（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边． 注意：①移项要变号；②不要丢项．（4）合并同类项：把方程化成ax b =的形式． 注意：字母和其指数不变．（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a （0a ≠），得到方程的解b x a=． 注意：不要把分子、分母搞颠倒．2、解一元一次方程常用的方法技巧解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等。

（1）基本类型的一元一次方程的解法解方程：6(1)5(2)2(23)x x x ---=+解方程：3(3)52(25)x x-=--解方程：2(43)56(32)2(1)x x x--=--+解方程：12225y yy-+ -=-解方程：122233x xx-+ -=-解方程：2321 64x x++=+解方程：2135 43x x+--=解方程：1121321 32xx-+-=强化训练解方程：10.50.210.30.30.30.02x x x---=解方程：0.10.020.10.130.0020.05x x-+-=解方程：0.40.90.10.50.030.020.50.20.03x x x+-+-=解方程：0.10.020.10.10.30.0020.05x x-+-=解方程：421.7 30%50%x x-+-=（3）含有多层括号的一元一次方程的解法解方程：11133312242y⎧⎫⎛⎫---=⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭解方程：1112{[(4)6]8}19753x++++=解方程：11111[(1)]3261224x------=-解方程：11110721()3(2)33623x x xx x+-⎡⎤⎡⎤--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解方程：1112(1)(1) 223x x x x⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦（4）一元一次方程的技巧解法解方程：1123(23)(32)11191313x x x -+-+=解方程：113(1)(1)2(1)(1)32x x x x +--=--+解方程：11311377325235x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解方程：2009122320092010x x x +++=⨯⨯⨯L解方程： (200613352003200520052007)x x x x ++++=⨯⨯⨯⨯ 解方程：20181614125357911x x x x x -----++++=解方程：2325118357911x x x x x -----++++=解方程：20101309720092007x x x ---++=解方程：3x a b x b c x c a c a b ------++=，（1110a b c++≠）解方程：4x a b c x b c d x a c d x a b d d a b c ------------+++=（11110a b c d+++≠）已知1abc =，求关于x 的方程2004111x x x a ab b bc c ca++=++++++的解．若1abc =，解关于x 的方程：2221111ax bx cx ab a bc b ca c ++=++++++五．实际问题与一元一次方程（这部分，建议基础不好的学生仅适当尝试做做）（1）、售价指商品卖出去时的的实际售价。