八年级上册几何知识点总结

几何部分

一．全等三角形

１、能完全重合的图像叫做全等图形。两个图形全等，它们的形状和大小都相同。

２、两个能重合的三角形叫全等三角形。

３、全等三角形的对应边相等，对应角相等。

４、三角形全等的判定：

1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)。

2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

4）有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)

5）三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形全等。

５、直角三角形全等的判定：

1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称HL或“斜边直角边”)。

2）以上判定方法对于直角三角形全部适用。

二．轴对称图形

（一）轴对称与轴对称图形

1.轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么

这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫

做对称点。

2.轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，

那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

3.轴对称和轴对称图形的区别和联系：

区别: ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形

的两个部分沿某直线对折能完全重合。

②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形

的特性。

联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。

②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；

如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。

4. 常见的轴对称图形：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、

等边三角形、角、线段、相交的两条直线等，正多边形等。

（分别指出这些图形的对称轴的条数）

直角坐标系内的点关于坐标轴以及一些特殊的直线的对称）

6.轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。

⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

（二）线段，角的轴对称性

1.线段的轴对称性

l

M

①线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线，

另一条是这条线段的垂直平分线。

②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。（可以证明）

A B

③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合

（注意：如何用尺规作图画线段的垂直平分线？）

例：求证：三角形三条边的垂直平分线交于同一点。

（结论：三角形的三条边的垂直平分线相交于同一点，这个点称为三角形的外心，这个点到

三角形三个定点的距离相等）

A

①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。

C

D

②角平分线上的点到角的两边距离相等。（可以证明）

P

③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上

结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合

O

E B

（注意：如何用尺规作图做角的平分线？）

例1：利用尺规作图：经过一点作已知直线的垂线（分点线上和点在线外两种）

例2：求证：三角形三个内角的角平分线交于同一点。（高斯课本P17例4）

（结论：三角形三个内角的角平分线相交于同一点，这个点称作三角形的内心，这个点到三角形三边的距离相等）

（三）等腰三角形的轴对称性

1.等腰三角形的性质

①等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴；

②等腰三角形的两个底角相等；（简称“等边对等角”）

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。( 简称“三线合一”) 2．等腰三角形的判定方法

①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形

②如果一个三角形有 2 个角相等，那么这 2 个角所对的边也相等；（简称“等角对等边”）

3.等边三角形

①等边三角形的定义：

三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。（等边三角形是等腰三角形的特例。

你还能列举一些特例吗？）

②等边三角形的性质：

等边三角形是轴对称图形，并且有 3 条对称轴；

等边三角形的每个角都等于600。

③等边三角形的判定：

3 个角相等的三角形是等边三角形；

有两个角等于60 0的三角形是等边三角形；

有一个角等于600 的等腰三角形是等边三角

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（简说成：30°所对的直角边是斜边的一半。故这时三角形斜边上的中线将这个直角三角形

分成了一个等边三角形和一个等腰三角形。）

补充：直角三角形性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。（直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成了两个等腰三角形）

3.三角形的分类

按角来分：分成锐角三角形，直角三角形和钝角三角形

按边来分：斜三角形：三边都不相等的三角形。

三角形只有两边相等的三角形。

等腰三角形

等边三角形

三．勾股定理

1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a

B

弦

c

a

勾

A C

b

股

勾：直角三角形较短的直角边

股：直角三角形较长的直角边

弦：斜边

直角三角形的一些性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

2 2 2

2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 有下面关系： a

＋b ＝c

，那么这个三角形是直角三角形。

注意：勾股定理的逆定理可以作为证明直角三角形的一种方法。

证明直角三角形的方法还有：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

注：若 a

2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边）；

2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）

若a

2＋b2＝c2 的三个正整数叫做勾股数3.

勾股数：满足a

（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc 同样也是勾股数组。）

常见勾股数：3,4,5 ；6,8,10 ；9,12,15 ；5,12,13 ；7,24,25 等

4. 勾股定理的作用：已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC 中， C 90 ，则 2 2

c a b ，

2 2

b c a ，

2 2

a c b