第2节一元线性回归效果的显著性检验精品PPT课件

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又 yˆ i 是回归直线上的纵坐标 ，因此，yˆ1 , yˆ 2 , yˆ n 的
分散性来源于 x1 , x2 , xn 的分散性 , 它是通过 x 对 Y
的相关关系引起的，因此 U 称为回归平方和. 6
n
n
U ( yˆ i y)2 , Q ( yi yˆ i )2 , l yy U Q .
i 1
i 1
i 1
总平方和
回归平方和 残差平方和
（SST）
（SSR）
（SSE）
当
l
一定时，
yy
U
越大，Q
越小，则
x 对 Y 的线性
影响越大，反之，则越小. 特别地，
（1）Q 0, U l yy，Y与 x 完全线性相关； （2）U 0，Q l yy , Y与 x不相关，yi 的离差与 x无关.
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f (x)
F 检验的具体步骤：
（1）提出假设 H0 : b 0 ;
（2）在H
成立时，统计量
0
F
Q
1
O
U
x
~ F (1, n 2)，
第二节
1
上述方法得到的模型是否具有实际意义（事 实上任何一组数据代入都可以得到经验公式）， 需要建立一个合理的检验方法.
常用的方法有 F 检验,t 检验,R 检验方法.不 难证明，三种方法是一致的.
本节主要介绍 F 检验.
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一、平方和分解公式
观察值 yi 可以分解成如下两部分 ： yi yˆ i ( yi yˆ i )
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二、F 检验
比值U/Q反映了 x 与 Y 之间的线性相关关系与随 机因素对Y 的影响的大小，比值越大，说明线性相关 关系越强，但大到什么程度就能说明x 与 Y 有线性相 关关系呢？
用假设检验的方法进行检验，通常选用
F U Q /(n 2)
作为检验量.
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由前面的假设可知，Yi a bxi i ，其中 i 是相互
i 1
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n
(aˆ bˆxi aˆ bˆx)( yi y bˆx bˆxi )
i 1
n
bˆ( xi x)[( yi y) bˆ( xi x)]
i 1
n
n
bˆ[ ( xi x)( yi y) bˆ ( xi x)2 ]
i 1
i 1
bˆ[lxy bˆlxx ] 0 4
如 b 0，则Y a , 说明x 对 Y 没有线性影响，
亦即x、Y 之间不存在线性相关关系； 反之，若 b 0 ，x、Y 之间存在线性相关关系.
因此提出假设 H0 : b 0 . 可以证明，若H0成立，则统计量
F U ~ F (1, n 2) Q (n 2)
因此可用 F 检验法进行检验.
n
( yˆ i y)( yi yˆ i ) 0
i 1
n
n
所以 l yy ( yi y)2 [( yˆ i y) ( yi yˆ i )]2
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i 1
n
n
n
( yˆ i y)2 ( yi yˆ i )2 2 ( yˆ i y)( yi yˆ i )
i 1
则 yi y ( yˆ i y) ( yi yˆ i )
Y
yi
yˆ aˆ bˆx
yi yˆ i
yi y
y
yˆ i y
o
xi
X
3
yi y ( yˆ i y) ( yi yˆ i )
由于 aˆ y bˆx , 即 y aˆ bˆx , 因此有
n
n
( yˆ i y)( yi yˆ i ) (aˆ bˆxi y)( yi aˆ bˆxi )
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n
n
( yˆ i y)2 ( yi yˆ i )2 ,
i 1
i 1
n
n
记 U ( yˆ i y)2 , Q ( yi yˆ i )2 ,
i 1
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则 l yy U Q .
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n
n
U ( yˆi y)2 , Q ( yi yˆ i )2 , aˆ y bˆx ,
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Q 表示除去x 对 Y 的线性影响以 Y
外的所有其他影响之和，因此 Q yi
yi yˆi
称为残差平方和或剩余平方和.
yi y
从图上看有
y
yˆi y
y y ( y yˆ ) ( yˆ y)
yˆ aˆ bˆx
两端平方后求和有
o
n
n
n
( yi y)2 ( yˆ i y)2 ( yi yˆ )2
i 1
i 1
i 1
xi X
{ { {
总平方和
回归平方和 残差平方和
（SST）
（SSR）
（SSE）
7
n
n
n
( yi y)2 ( yˆ i y)2 ( yi yˆ )2
i 1
i 1
i 1
总平方和
回归平方和 残差平方和
（SST）
（SSR）
（SSE）
1. 总平方和(SST) 即 l yy
——反映因变量的n个观察值与其均值的总离差
2. 回归平方和(SSR) 即 U
——反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化 的影响，或者说，是由于x与y之间的线性关系引 起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和
3. 残差平方和(SSE) 即 Q
——反映除x以外的其他因素对y取值的影响， 也称为不可解释的平方和或剩余平方和
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n
n
n
( yi y)2 ( yˆ i y)2 ( yi yˆ )2
独立的随机变量，且都服从零均值同方差的正态分布，
即 i ~ N (a bxi , 2 ) ( 2 是与 x 无关的未知数)，
可以证明，
E(bˆ) b, E(aˆ) a, E( Q ) 2 ,
n2
即aˆ, bˆ, Q 分别是a, b, 2 的无偏估计量 ,
n 2
记 S2 Q . n2
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Biblioteka Baidui 1
i 1
由于
1 n
n i 1
yˆ i
1 n
n
(aˆ bˆxi )
i 1
yi
aˆ
bˆ
1 n
n i 1
xi
y
,
y
即y是yˆ1 ,
n
yˆ 2
,
yˆ n这n个数的平均数
，
o
Y
yi y
yi yˆi
yˆi y
yˆ aˆ bˆx
xi X
故 ( yˆ i y)2就是 yˆ1, yˆ 2 , yˆ n的分散程度 .
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关于 U 和 Q 的计算公式：
n
n
U ( yˆ i y)2 [aˆ bˆxi (aˆ bˆx)]2
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i 1
n
bˆ 2 ( xi x)2 bˆ 2lxx bˆ lxy , i 1
n
Q ( yi yˆ i )2 l yy U l yy bˆl xy . i 1