课程教学大纲word版

《空间解析几何》课程教学大纲

课程英文名称:Spatial Analytic Geometry

学时数： 48

其中：实验学时：

课外学时：

学分数： 3

适用专业：小学教育（数学方向）

执笔者：王豫黔

编写日期：2011年2月

（1）课程的性质、目的和任务

本课程的授课对象小学教育本科专业（数学方向）的学生。属于专业必修课，在人才培养计划中安排在第7个学期开设。作为一个合格的小学数学教师，《空间解析几何》在培养学生具有良好的空间观念和素养上具有不可代替的作用。学生通过本课程的学习，使他们受到几何直观化及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，培养抽象的空间想象能力，运算能力和逻辑思维能力，能运用解析方法研究几何图形的性质，并对解析表达式予以几何解释，为进一步学习其他数学课程打下坚实基础。同时通过本课程的学习，进一步提高学生对初等几何理论与方法的理解，联系小学数学的教学，获得高观点下处理小学几何问题的能力，以及几何画图能力。

（2）课程教学的基本要求

本课程由二次曲线、向量代数、空间直线与平面、常见曲面四大模块构成。

二次曲线模块：了解两种坐标变换公式、理解坐标变换在化简二次曲线中的作用和二次曲线方程在坐标变换中系数变化的规律，掌握用坐标变换化简二次曲线的方法；了解二次曲线的不变量，理解不变量在判定曲线类型中的作用，掌握用不变量判断二次曲线类型的方法和根据不变量写出二次曲线的标准方程。

向量代数模块：了解空间直角坐标系的结构，理解坐标系在刻画空间元素中的意义，掌握几何元素在坐标系中的表示；了解向量的概念和各种运算法则、理解向量运算的意义

，掌握向量运算在刻画空间关系中应用方法；了解“坐标”的思想、理解向量坐标的意义以及用坐标表示向量关系的方法，掌握用坐标工具解决几何问题的方法。

空间平面与直线模块：了解空间平面与直线的各种方程的表现形式，理解用向量工具求解平面与直线方程的作用，掌握用向量工具求解平面与直线方程的方法；了解空间平面与直线的各种位置关系和度量关系，理解方程在判断空间直线与平面的各种关系中的作用，掌握用方程和向量方法断定空间各种关系的方法。

常见曲面模块：了解柱面、锥面、旋转面的几何特征，理解向量在推导上述曲面方程中的地位与作用，掌握推导上述曲面方程的方法；了解常见二次曲面的几何特征，理解二次曲面标准方程的结构，掌握二次曲面与其对应标准方程的关系，以及根据方程判定曲面类型的方法。了解直纹曲面的概念，理解直纹曲面直母线方程的特征，掌握求直母线的方法。

（3）课程的教学内容、重点和难点

整个课程内容分为四章，第一章为二次曲线简介，第二章为向量代数，第三章为平面与直线，第四章为常见曲面简介。课程的重点内容是向量代数和空间平面与直线，课程的难点内容是运用向量代数建立空间曲线（直线）与曲面的方程。具体要求如下：

第一章，二次曲线简介：二次曲线在解析几何中应该占有比较重要的地位，但当前高中数学中对二次曲线的讨论还相当肤浅，仅涉足于不含交叉项的二次曲线方程，因此本章着重于讨论利用坐标变换将含有交叉项的二次曲线方程化简成标准方程、利用二次曲线的不变量判断二次曲线的类型，重点放在二次曲线的非退化类型。本章的教学难点是对二次曲线不变量的不变性的理解。具体教学内容为：平面直角坐标平移变换和旋转变换，平移和旋转的复合变换；二次曲线方程在坐标平移变换和旋转变换下系数的变化规律；中心型和非中心型二次曲线的化简步骤和方法；二次曲线的不变量和用不变量判断二次曲线的类型和用不变量确定二次曲线的标准方程。

第二章，向量代数：向量代数是解析几何的重要工具，目前中学数学以及在前修课程《高等代数》中均有比较详细的介绍，因此本章的重点内容应放在向量的外积和混合积以及

向量代数的几何应用上。本章的教学难点是对向量的外积及混合积的的正确法则理解。具体教学内容为：空间直角坐标系的结构，向量的概念，向量的线性运算、空间向量的坐标向量的内积、向量外积和混合积、向量代数的几何应用实例。

第三章，空间平面与直线：平面与直线的讨论是本课程的重点内容。教学重点放在根据各种条件推导出平面与直线的方程、利用条件判断和计算平面与直线的各种位置关系与度量关系。本章的教学难点是异面直线位置关系的判定以及异面直线公垂线方程的求法。具体教学内容为：平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程和参数式方程；直线的点向式方程、直线的一般式方程和参数式方程；平面与平面、平面与直线、直线与直线的各种位置关系（垂直、平行、相交、包括、异面）的判定，各种度量关系（距离、夹角）的确定。平面束在实际问题中的应用。

第四章，常见曲面简介。本章内容的地位属于了解的范畴。同时由于开设的时间在培养计划中与《大学数学II》相同，二次曲面在这门课程中也属于重点内容，在内容上有重叠，因此本章的教学重点主要放在“简介”上。教学难点是柱面、锥面、旋转曲面方程的确定、直纹曲面的直母线族方程的确定。具体教学内容为：空间曲线与曲面的方程在结构方面的特征；利用向量代数为工具推导某些特殊位置的柱面、锥面和旋转面的方程；根据直纹曲面方程写出它的直母线（族），根据标准方程判断二次曲面的类型和位置、形状。

（4）课程各教学环节要求

课外作业：每次课堂教学（2学时为一次课堂教学）后，原则上应布置不少于2小时的作业完成量（以中等学力学生的作业完成时间计算），具体各章的题量参见（5）。作业总次数不少于20次。每次作业批改的情形计入学生的平时成绩。

考试：在总教学时数不受放假等因素影响的前提下，学期中途安排一次期中测验（测验成绩占平时成绩的35%），期中测验与期末考试均采用闭卷形式。期末考试试题内容的覆盖范围大体比例为：第一章25%，第二章20%，第三章35%，第四章20%。期末总评成绩的计算方法如下：

期末总评成绩=平时成绩30%+期末考试成绩70%

平时成绩=期中测验成绩35%+作业平均成绩35%+考勤成绩30%

考勤成绩=出勤率100%

另：有下列情形之一者取消期末考试资格：出勤率不足65%（缺旷达16学时及以上者）、作业上缴率不足65%。

（5）学时分配

章节主要教学内容

各教学环节学时分配

作

业

题

量

备

注

讲

授

实

验

讨

论

习

题

课

外

其

他

累

计

1.1平面直角坐标变换224 1.2二次曲线方程在坐标变换下系数的变化244 1.3二次曲线方程的化简264 1.4二次曲线方程类型的判定4108

第一章小结与习题讲解212

2.1空间直角坐标系·向量概念2144 2.2向量的线性运算2164 2.3空间向量的坐标2184 2.4向量的内积、外积和混合积4228 2.5向量代数的几何应用实例2244

第二章小结与习题讲解226

期中测验228

3.1平面的方程2304 3.2空间直线的方程2324

3.3平面与平面、直线与平面、直线与直线

位置关系

4368

3.4点、直线和平面之间的度量关系2384

3.5平面束1392

第三章小结与习题讲解1141

4.1空间的曲面与曲线2434

4.2柱面、锥面与旋转曲面2454

4.3常见二次曲面及其方程146

4.4直纹曲面的直母线1472

期末总结148（6）课程与其它课程的联系

本课程应该在学习《大学数学I》和《高等代数》之后开设。与《高等代数》课程有着紧密的联系：行列式、线性方程组的相关理论是学习本课程的重要工具，二次型的理论是学习本课程的重要基础，同时学好本课程也为《大学数学II》中重积分的学习提供了必不可少的支撑和依托。