【压轴卷】高一数学下期中第一次模拟试卷(附答案)(1)

2．已知点 P x, y 是直线 kx y 4 0k 0 上一动点， PA, PB 是圆
C : x2 y2 2 y 0 的两条切线，切点分别为 A, B ，若四边形 PACB 的面积最小值为 2 ， 则 k 的值为（ ）
A．3
B． 21 2
C． 2 2
D．2
3．如图是某四面体 ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为 1，则四
在 ABC 中，设外接圆的直径为 2r 2 3 4 ， sin120
则： r 2 ，
2
所以：外接球的半径 R
22
2 2
9， 2
则： S 4 9 18 ， 2
故选：C． 【点睛】 本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】 由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】
小值.
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一、选择题
1．A 解析：A 【解析】 【分析】 由题意得：圆心在直线 x=-1 上，又圆心在直线 x+y=0 上，故圆心 M 的坐标为（-1，1），
再由点点距得到半径。 【详解】 由题意得：圆心在直线 x=-1 上， 又圆心在直线 x+y=0 上， ∴圆心 M 的坐标为（-1，1），
22
7 2
2
9，
2
4
故该球的表面积为 S 4 R2 81 . 4
故选：B.
【点睛】
本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
首先确定三角形 ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定
球的表面积．
【详解】
解：如图所示：
A．64
B． 64 3
C．16
D． 16 3
二、填空题
13．已知平面 α 与正方体的 12 条棱所成角相等，设所成角为 θ，则 sin ______.
14．给出下面四个命题：
①“直线 l 平面 内所有直线”的充要条件是“ l 平面 ”；
②“直线 a / / 直线 b ”的充要条件是“ a 平行于 b 所在的平面”；
______________.
三、解答题
21．已知点 P 1, 0，圆 C : x2 y2 6x 4 y 4 0 .
（1）若直线 l 过点 P 且到圆心 C 的距离为 2 ，求直线 l 的方程；
（2）设过点 Q0, 1 的直线 m 与圆 C 交于 A 、 B 两点（ m 的斜率为负），当|AB | 4
26．已知圆 M : x2 y2 2x a 0 （1）若 a 8，过点 P(4, 5) 作圆 M 的切线，求该切线的方程； （2）当圆 N : (x 1)2 ( y 2 3)2 4 与圆 M 相外切时，从点 Q(2, 8) 射出一道光线， 经过 y 轴反射，照到圆 M 上的一点 R ，求光线从点 Q 经反射后走到点 R 所走过路线的最
又
两圆相交. 选 B
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得.
【详解】
根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：
由图可知在长方体中的四棱锥 P ABCD 完全满足题意，
故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，
故外接球半径
R
22
A． 81 2
B． 81 4
C． 65
D． 65 2
6．在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC，BAC 120，AP 2, AB 2 ，M 是线
段 BC 上一动点，线段 PM 长度最小值为 3 ，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积是
（）
A． 9 2
B． 9 2
C．18
D． 40
25．四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， AB / /CD ， BCD 90 ，
AB AD 2DC 2 .△PAD
为正三角形，二面角 P-AD-C 的大小为 2 . 3
（1）线段 AD 的中点为 M.求证：平面 PMB 平面 ABCD；
（2）求直线 BA 与平面 PAD 所成角的正弦值.
【压轴卷】高一数学下期中第一次模拟试卷(附答案)(1)
一、选择题 1．圆心在 x+y=0 上，且与 x 轴交于点 A（-3，0）和 B（1，0）的圆的方程为（ ）
A． (x 1)2 ( y 1)2 5
B． (x 1)2 ( y 1)2 5
C． (x 1)2 ( y 1)2 5
D． (x 1)2 ( y 1)2 5
A．m，n 是平面 内两条直线，且 m / / ， n / /
B． 内不共线的三点到 的距离相等
C． ， 都垂直于平面
D．m，n 是两条异面直线， m ， n ，且 m / / ， n / /
12．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则
该多面体的体积为（ ）
面体 ABCD 外接球的表面积为
A． 20
4．已知圆
B． 125 6
C． 25
D．100
截直线
所得线段的长度是 ，则圆 与
圆
的位置关系是（ ）
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
5．四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD为正方形， PA 底面 ABCD， AB 2 ，
PA 7 ，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） 2
ab 2
设长方体的棱长分别为
a,
b,
c
，则
bc
3
，
ac 6
a 2
所以 abc2
36 ，于是
b
1
，
c 3
设球的半径为 R ，则 4R2 a2 b2 c2 14 ，所以这个球面的表面积为 4 R2 14 ．
本题选择 C 选项. 【点睛】 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和 接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切 点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点 均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC，AP 2, AB 2 ，
M 是线段 BC 上一动点，线段 PM 长度最小值为 3 ， 则：当 AM BC 时，线段 PM 达到最小值， 由于： PA 平面 ABC ， 所以： PA2 AM 2 PM 2 ， 解得： AM 1， 所以： BM 3 ， 则： BAM 60 ， 由于： BAC 120 ， 所以： MAC 60 则： ABC 为等腰三角形． 所以： BC 2 3 ，
题.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形 BCD 为等腰直角三角形，
其外心为 BD 中点 O1 ，设 O 为 AD 中点，
则 O 为外接球球心，
半径长度为 1 AD 5 ，
2
2
所以表面积为 25 .
4．B
解析：B 【解析】
化简圆
到直线
的距离
，
EC
17．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D， 满足 PD=DA，PB=BA，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 .
18．如图：点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥 A D1PC 的体积不变； ② A1P ∥面 ACD1 ；③ DP BC1 ；
2 3
，即 1 1 DQ 3
2 ，∴ DQ 3
2 ，设球心为 O ，半径为 R ，则在直角
AQO 中， OA2 AQ2 OQ2 ，即 R2 12 2 R2 ，∴ R 5 ，则这个球的表面积
O2
的体积为 V1
,球 O 的体积为 V2
，则 V1 V2
的值是_____
16．如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD, AD AB, AB / /DC, AD DC AP 2, AB 1，若 E 为棱 PC 上一点，满足
BE AC ，则 PE __________．
（Ⅰ）求证：平面 PBD 平面 BCD ； （Ⅱ） M 为 BC 上一点，且 BM 2CM ，求证： OM / / 平面 PCD.
24．已知点 P1,0， Q4,0 ，一动点 M 满足 MQ 2 MP .
（1）求点 M 的轨迹方程；
（2）过点 A2,3 的直线 l 与（1）中的曲线有且仅有一个公共点，求直线 l 的方程.
8．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据题意知， ABC 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心 在斜边 AC 的中点上，设小圆的圆心为 Q ，若四面体 ABCD 的体积的最大值，由于底面
积 S ABC 不变，高最大时体积最大，所以， DQ 与面 ABC 垂直时体积最大，最大值为
1S 3
ABC ·DQ
③“直线 a ， b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线 a ， b 不相交”；
④“平面 / / 平面 ”的必要不充分条件是“ 内存在不共线三点到 的距离相等”.
其中正确命题的序号是____________________
15．如图，在圆柱 O1 O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱 O1
又 A（-3，0），半径|AM|= -1+32 + 1-02 = 5 ，
则圆的方程为（x+1）2+（y-1）2=5． 故选 A． 【点睛】 这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来 解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到 直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或 者切线长时，经常用到垂径定理。
1
且
S四边形PACB
=2
1 2
PA 1
PA
2．
当 PA 最小时， S四边形PACB 最小，
此时 PC 最小且 PC 垂直于 kx y 4 0k 0 ．
又 PC min
5
k
2
1
，
5
2
22 +12 ，k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 ，故选
D.
k2 1
【点睛】
圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档
④面 PDB1 面 ACD1 ．其中正确的命题的序号是__________.
19．已知球的表面积为 20π ，球面上有 A 、 B 、 C 三点．如果 AB AC 2 ， BC 2 2 ，则球心到平面 ABC 的距离为__________． 20．已知直线 l1 : y x 1 上有两个点 A(x1, y1) 和 B(x2 , y2 ) , 且 x1, x2 为一元二次方程 x2 6x 1 0 的两个根, 则过点 A, B 且和直线 l2 : x 1相切的圆的方程为
D． 25 4
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C．
D．
10．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）
A．20＋3π
B．24＋3π
C．20＋4π
D．24＋4π
11．α，β 是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面 α，β 平行的是（ ）
时，求以线段 AB 为直径的圆的方程. 22．如图，在三棱台 DEF ABC 中， AB 2DE,G, H 分别为 AC, BC 的中点．
（Ⅰ）求证： BD / / 平面 FGH ； （Ⅱ）若 CF 平面 ABC , AB BC,CF DE ， BAC 45 ，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小． 23．在梯形 ABCD中， AD / /BC ， AC BD 于点 O ， BC 2AD ， AC 9，将 ABD 沿着 BD 折起，使得 A 点到 P 点的位置， PC 3 5 .
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
当且仅当 PC 垂直于 kx y 4 0k 0 时，四边形 PACB 的面积最小，求出 PC 后可
得最小面积，从而可求 k 的值.
【详解】
圆 C 方程为 x2 y 12 1，圆心 C 0,1 ，半径为 1．
因为 PA ， PB 为切线，
PC 2
PA 2
7．长方体的三个相邻面的面积分别为 2，3，6，则该长方体外接球的表面积为 ( )
A． 7 2
B． 56
C．14
D． 64
8．点 A、B、C、D 在同一个球的球面上，AB=BC= 2 ，AC=2，若四面体 ABCD 体积的最大
值为 2 ，则这个球的表面积为（ ） 3
A． 125 6
B． 8
C． 25 16