江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期中检测数学试题

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
南京市秦淮中学 2019~2020 学年第二学期
高二数学期中检测
2020—5—27
时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答．题．卡．相．应．位．置．上.
（1）因为 a0 = f (0) = −1，
由题意 a0 + a1 + a2 ++ a9 = f (1) = 1，
所以 a1 + a2 + a3 + + a9 = f (1) − a0 = 2 .
（2）因为 f '(x) = 2 9 (2x −1)8 = a1 + 2a2 x + 3a3x2 + + 9a9x8 ，
分.
9. AC 10. AD 11. BC 12. ABC
三、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 0.8 14. 6
15. 285
16.(1, 1 ) 2
四、解答题：共 6 小题，共 70 分.
17. 解：记 f (x) = (2x −1)9 = a0 + a1x + a2x2 + + a9x9 ，
19（. 12 分）一辆汽车前往目的地需要经过 4 个有红绿灯的路口.汽车在每个路口遇到绿灯的概率为 3 4
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（可以正常通过），遇到红灯的概率为 1 （必须停车）.假设汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止 4
前进，用随机变量 表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值. （1）求汽车在第 3 个路口首次停车的概率； （2）求 的概率分布和数学期望.
函数，则 f '( x1 ) 与 f '( x2 ) 的大小关系是（ ）
A. f '( x1 ) f '( x2 )
B. f '( x1 ) f '( x2 )
C. f '( x1 ) = f '( x2 )
D. 不能确定
4.有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取两件，若 X 表示取得次品的个数，则 P(X<2)等于( )
9. 下列各式中，等于 n!的是（
）
A.
An−1 n
B.
An n+1
C. nAnn−−11
D. m!Cnm
( ) 10.对于二项式
x3 + 1 x
n
（ n N ），以下判断正确的有（
）
A．存在 n N ，展开式中有常数项
B．对任意 n N ，展开式中没有常数项
C．对任意 n N ，展开式中没有 x 的一次项 D．存在
（）
A. 2019 f (2020) 2020 f (2019)
B. f (2019) f (2020)
C. 2019 f (2020) 2020 f (2019)
D. f (2019) f (2020)
二、多项选择题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分，请将正确选项填涂在答．题．卡．相．应． 位．置．上.
0
2
4
54
120
82
P
256
来自百度文库
256
256
数学期望 E( ) = 0 54 + 2 120 + 4 82 = 71 ． 256 256 256 32
20. 解：（1） f (x) = ax2 − x − x ln x, (x 0)
a = 1时， f (x) = x2 − x − x ln x ，
则
的可能取值为
0，2，4，则
P(
=
0)
=
P( X
=
2)
=
C42
(
3 4
)2
(
1 4
)2
=
54 256
，
P(
=
2)
=
P( X
= 1) +
P( X
= 3) ， P(
=
3)
=
C41
(
3 4
)(
1 4
)3
+
C43
(
3 4
)3
(
1 4
)
=
120 256
，
P( = 4) = P(X = 4) + P(X = 0) = ( 3)4 + (1)4 = 82 ， 的概率分布列为： 4 4 256
19.解：（1）由题意知汽车在前两个路口都遇到绿灯，在第 3 个路口遇到绿灯，
汽车在第 3 个路口首次停车的概率为： p = 3 3 1 = 9 ．
4 4 4 64
（2）设前往目的地途中遇到绿灯数为 X ，则 X ~ B(4, 3) ，
4
用随机变量 表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值．
x
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g(x) = a − 1 = ax −1 ， xx
若 a 0 ，则 g(x) 0 恒成立， g(x) 在 (0, +) 单调递减；
若 a 0 ，令 g(x) 0 ，得 x 1 ， g(x) 单调递增， a
令 g(x) 0 ，得 0 x 1 ， g(x) 单调递减. a
校去支教，每个学校至少去 1 人，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（ ）
A．180 种
B．150 种
C．90 种 D．114 种
7.
1
+
1 x
(1
+
2x)4
展开式中
x2
的系数为（
）
A．10
B．24
C．32
D．56
8. 已知函数 f ( x) 的导函数为 f ( x) ，在 (0, + ) 上满足 xf ( x) f ( x) ，则下列一定成立的是
第一步 将 4 名男生排成一排，有 A44 种排法；
第二步 排 2 名女生.由于 2 名女生不相邻，可以在每 2 名男生之间及两端共 5 个位置中选出 2 个
排 2 名女生，有 A52 种排法.
根据分步计数原理，不同的排法种数是
A44 A52 = 24 20 = 480 .
（注：如无必要的文字说明扣 1 分） （2）女生甲必须排在女生乙左边的排列可以分成 2 步完成： 第一步 排 2 名女生.女生的顺序已经确定，这 2 名女生的排法种数为从 6 个位置中选出 2 个位置的
n N ，展开式中有 x 的一次项
11. 已知 f '( x) 是定义域为 R 的函数 f ( x) 的导函数，如图是
函数 y = xf '( x) 的图象，则下列关于函数 f ( x) 性质说法正确
的是（
）
A. 单调递增区间是 (−, −3) ， (0,3)
B. 单调递减区间是 (−, −3) ， (3, +)
)
，则切线的斜率为
−
1 x02
切线方程为
y−
1 x0
=
−
1 x02
(x −
x0 ) ，
切线过点 (4, 0) ，
−
1 x0
=−
1 x02
(4 −
x0 ) ，解得 x0
=
2，
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所求切线方程 y − 1 = − 1 (x − 2) ， 24
为 即x+4y−4 = 0.
14. 设 n 为正整数， (a + b)2n 展开式的二项式系数最大值为 x， (a + b)2n+1 展开式的二项式系数的最
大值为 y，若13x＝7 y ，则 n＝
．
( ) 15. (1+ x)3 + (1+ x)4 ++ (1+ x)12 x −1, n N * 的展开式中 x2 的系数是__________.
20. （12 分）已知函数 f (x) = ax2 − x − x ln x, (x 0) ． （1）设 a = 1时，求 f (x) 的导函数 f (x) = h(x) 的递增区间； （2）设 g(x) = f (x) ，求 g(x) 的单调区间；
x
（3）若 f ( x) 0 对 x (0, +) 恒成立，求 a 的取值范围．
（2） f ( x) 在 (0, +) 上有且仅有 2 个零点.
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南京市秦淮中学 2019~2020 学年第二学期
高二数学期中检测答案
一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1-5：CAACC
6-8：DDA
二、多项选择题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错得 0
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C. f (−3) 是极小值
D. f (3) 是极小值
12.
已知函数
f
(x)
=
x2
+x ex
−1 ，则下列结论正确的是（
）
A. 函数 f ( x) 存在两个不同的零点
B. 函数 f ( x) 既存在极大值又存在极小值
C. 当 −e k 0 时， f ( x) = k 有且只有两个实根
f (x) = 2x −1− ln x −1 = 2x − ln x − 2 ，
令 h(x) = f (x) = 2x − ln x − 2 ， 则 h(x) = 2 − 1 = 2x −1 ，
xx 令 h(x) 0 ，得 x 1 ，
2 h(x) 的单调递增区间为 (1 , +) ；
2 （2） g(x) = f (x) = ax −1− ln x, (x 0)
1.若 9 人乘坐 2 辆汽车，每辆汽车最多坐 5 人，则不同的乘车方法有多少种？（ ）
A. A94 + A95
B. A94 A95
C. C94 + C95
D. C94 C95
2.若随机变量
X
~
B
5,
1 3
，则
P(
X
=
3)
等于（
40
1
A.
B.
243
3
）
10
C.
27
3
D.
5
3. 如图，点 A( x1, f ( x1 )) ， B ( x2, f ( x2 )) 在函数 f ( x) 的图象上，且 x2 x1 ， f '( x) 为 f ( x) 的导
综上所述，
当 a 0 时， g(x) 的单调递减区间为 (0, +) ，无单调递增区间；
当 a 0 时， g(x) 的单调递减区间为 (0, 1 ) ，单调递增区间为 ( 1 , +) ；
a
a
（3） f ( x) 0 对 x (0, +) 恒成立可转化为 a ln x +1 恒成立，
x
设(x)
D.
若
x t, +) 时，
f
(x) max
=
5 e2
，则 t
的最
小值为 2
三、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．位．置．上.
13. 在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N (2, 2 )( 0) ，若 在(0，4)内取值的概率为 0.6，
则 在(0，+∞)内取值的概率为__________
16.已知函数
f
(x)
=
1+ ln
x
x
,
x
0
方程
f
2 ( x)
−
2mf
(x)
=
0(m
R)
有五个不相等的实数根，则实
log2 x , x 0
数 m 的取值范围是______．
四、解答题：共 6 小题，共 70 分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
=
ln
x +1 ，(x) x
=
− ln x2
x
，
则当 x (0,1) 时， (x) 0 ，(x) 单调递增，
当 x (1, +) 时， (x) 0 ，(x) 单调递减，
(x)max = (1) = 1 ， a 1，即 a 的取值范围为[1, +).
21. 解：（1）2 名女生不相邻的排列可以分成 2 步完成：
21. （12 分）2 名女生、4 名男生排成一排，求： （1）2 名女生不相邻的不同排法共有多少种？ （2）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？
22. （12 分）已知函数 f ( x) = sin x − ex−2 ，求证：
（1）
f
(x)
在区间
0,
2
存在唯一极大值点；
A. 7
B. 8
C. 14
D. 1
15
15
15
5.若直线 y = x + m 是曲线 y = ex 的一条切线,则实数 m 的值是( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
1/9
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
6. 为支援边远地区教育事业的发展，现有 5 名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区三所不同的学
17. （10 分）设 (2x −1)9 = a0 + a1x + a2x2 + + a9x9 ，求：
（1） a1 + a2 + a3 + + a9 ；
（2） a1 + 2a2 + 3a3 + + 9a9 .
18. （12 分）（1）求曲线 y = 1 在点 (−1，−1) 处的切线方程； x （2）求经过点（4，0）且与曲线 y = 1 相切的直线方程. x
所以1 + 2a2 + 3a3 + + 9a9 = f '(1) = 2 9 (−2 +1)8 = 18 .
18.（1）当 x = −1 时，得在点 (−1，−1) 处 切线的斜率为 −1，
的 切线方程为： y +1 = −(x +1) ，即 x + y + 2 = 0 ；
（2）设切点为
(
x0
,
1 x0