图论模型及其解答

各种图论模型及其解答

摘要：

本文用另一种思路重新组织《图论及其应用》相关知识。首先，用通俗化语言阐述了如何对事物间联系的问题进行图论建模；接着从现实例子出发，给出各种典型图论模型，每种图论模型对应于图论一个重要内容；再者，介绍相关知识对上述提到的图论模型涉及的问题进行解答；最后，补充一些图论其他知识，包括图论分支、易混概念。

符号约定：

Q(Question)表示对问题描述，M(Modeling)表示数学建模过程，A(Answer)表示原问题转化为何种图论问题。

一、引言

图论是研究点、线间关系的一门学科，属于应用数学的一部分。现实生活中，凡是涉及到事物间的关系，都可以抽象为图论模型。点表示事物，连线表示事物间的联系。整个求解过程如下：

原问题——>图论建模——>运用图论相关理论求解——>转化为原问题的解

整个过程关键在于图论建模，所谓图论建模，就是明确点表示什么，连线表示什么，原问题转化为图论中的什么问题。存在以下两种情况：

①若事物间联系是可逆的(比如双行道，朋友)，则抽象成无向图

②若事物间联系是不可逆的(比如单行道，状态转化不可逆)，则抽象成有向图

如果需要进一步刻画事物间的联系（比如城市间的距离），就给连线赋一个权值，从而抽象成赋值图。

综上，根据实际问题，可建模成下列图论模型的一种：无向赋权图、有向赋权图、无向非赋权图、有向非赋权图。

例1.宴会定理：任何一宴会中，一定存在两个人有相同的数量朋友M：点表示人，连线表示当且仅当该两个人是朋友

A：问题转化为任何一个图一定存在两个顶点的度相等

二、图论模型

接下来介绍若干典型的图论模型，每种模型几乎对应于图论的一个重要内容，这些内容将在第三章进行讨论，也就给出了这些模型的解答思路。

2.1 偶图模型

凡涉及两类事物间的联系（即只考虑两类事物间的联系，而不考虑同类事物间的联系），均可抽象成偶图模型。作图时，将两类事物分成两行或者两列。这类模型通常被包含在后续的模型中，但因许多现实问题可抽象成该模型，所以单列出来讨论。

(1) 仓库与销售间

M：点代表仓库或销售点，连线代表仓库与销售店间的关联

(2) 上课安排问题

Q：学校有6位教师将开设6门课程。六位教师的代号是Xi

（i=1,2,3,4,5,6)，六门课程代号是Yi （i=1,2,3,4,5,6)。已知，教师X1能够胜任课程Y2和Y3；教师X2能够胜任课程Y4和Y5；教师X3能够胜任课程Y2；教师X4能够胜任课程Y6和Y3；教师Y5能够胜任课程Y1和Y6；教师X6能够胜任课程Y5和Y6。

M：点表示教师或者课程，连线表示当且仅当该教师能胜任该课程

2.2 最短路模型

凡涉及到最小状态转换问题，均可转化为最短路模型。点表示允许的状态，连线表示状态的转换（可逆与不可逆分别对应于无向图、有向图）。

(1) 最短航线

M：点表示城市，连线表示当且仅当两城市有直达航线，并在该线上注明两城市的距离，即权值

A：问题转化为求两点间的最短路径

(2) 状态转换

Q：某两人有一只8升的酒壶装满了酒，还有两只空壶，分别为5升和3升。求最少的操作次数能均分酒。

M：设x1,x2,x3分别表示8,5,3升酒壶中的酒量，则

点表示组合(x1,x2,x3) ,连线表示当且仅当可通过倒酒的方式相互变换A：问题转化为在该图中求点(8,0,0)到点(4,4,0)的一条最短路

(3) 狼羊菜渡河

Q：在一河岸有狼，羊和卷心菜。摆渡人要将它们渡过河去，由于船太小，每次只能载一样东西。由于狼羊，羊卷心菜不能单独相处。问摆渡人至少要多少次才能将其渡过河？

M：但是以下组合不能允许出现：狼羊菜，羊菜，狼羊，人，人狼，人菜，共6种。岸上只能允许出现10种组合：人狼羊菜，人狼羊，人狼菜，人羊，空，菜，羊，狼，狼菜，人羊菜。

点表示可允许的组合，连线当且仅当两种情况可用载人(或加一物)的渡船相互转变。

A：问题转化为求由顶点“人狼羊菜”到顶点“空”的一条最短路。

2.3 最小生成树模型

道路铺设

Q：道路铺设，使得任意两个地方均可达，并且费用最小

M：点表示工厂(假设是工厂)，任意两点连线，并标出铺设需要的费用

A：问题转化为求该图的最小生成树

2.4 欧拉图模型

通俗地讲，G是欧拉图当且仅当G存在经过每条边恰好一次，并且回到起始点的迹。

(1) 哥尼斯堡七桥问题

Q：能否从一点出发，走遍7座桥，且通过每座桥恰好一次，最后仍回到起始地点

M：点表示陆地，连线表示桥

A：问题转化为G是否存在E图

(2) 中国邮递员问题

Q：邮递员必须走过他投递范围内的每一条街道至少一次，选择一条尽可能短的路线

M：点表示路口，连线表示当且仅当两路口有直达街道

A：若G是E图，通过Fleury算法构造Euler环游，即为所求。否则，按一定规则添加重复边，再用Fleury算法构造Euler环游。

2.5 哈密尔顿圈模型

(1) 旅行售货员问题——TSP

一售货员要到若干城市去售货，每座城市只经历一次，问如何安排行走路线，使其行走的总路程最短。

例子：

Q：一电脑代理商要从她所在城市出发，乘飞机去六个城市，然后回到出发点，如果要求每个城市只经历一次，能否办到？给出行走方案。

M：点表示城市，连线表示两城市有直达航线

A：该图是否存在H圈

(2) 圆桌会议座位安排

Q：若干人围圆周开会，每个人会不同的语言，如何安排座位，使得每个人能够和他身边的交流

M：点表示人，连线表示当且仅当两个人能交流，即至少会同一种语言。(可能你一下子想到的偶图模型，的确该问题可以抽象成偶图模型，但很难转化为图论问题)

A：给出该图的一个H圈

2.6 匹配模型