线性代数-行列式(完整版)

此即
23
（二）n阶行列式定义

分析：
a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a11a 22a 33 a12a 23a 31 a13a 21a 32 a 33 a13a 22a 31 a12a 21a 33 a11a 23a 32
(1) N ( j1 j2 j3 ) a1 j1 a2 j2 a3 j3
a21 a22 a31 a32
可以用对角线法则来记忆如下.
8
主对角线法
a11
a12
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a21 a22 a31 a32
9
例4 计算三阶行列式
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组 成部分.它是研究矩阵、线性方程组、 特征多项式的重要工具.本章介绍了n 阶行列式的定义、性质及计算方法， 最后给出了它的一个简单应用——克 莱姆法则.
第1章

行列式
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式的一个简单应用 数学实验

对换：对换在一个排列i1…is…it …in中，若其中某 两数is和it互换位置, 其余各数位置不变得到另一 排列i1…it…is …in,这种变换称为一个对换, 记为 ( is it).
例3
N 5
3421 1423 1243 1234
( 31)
( 42)
( 43)
N 2
N 1
N 0
n!个） 称为一个n级排列（总数为 . 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个： 123 132 213 231 312 321 注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相
反)——构成逆序.
15
(2)排列的逆序数

定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in).
(i) a1 j1 a2 j2 anjn 是取自不同行、不同列的n个元素的乘积； (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 N ( j j j ) 1 2 n 决定每一项的符号； (iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
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例1 证明下三角行列式
a11 0 0 a21 D a31 an1 a22 a32 an 2
定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。
证明：
19

对换在相邻两数间发生，即
设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成 …kj… (2) 此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未 发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化： 若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1) 若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)
例２
1 (1)当 为何值时，D 0,
(2)当 为何值时
设 D
3

2

3
,
D 0.
2 3 0 0，或 3 2 2 D
解
3
1
例3
求二阶行列式
a 1 b 2
(2)三阶行列式 记号
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
1 0 1 3 5 0 4
2
0 1
x 1 x2

1 0 1 3 5 0 4
( x 1) ( x x 1) 1 x 2 x2 x 1 x3 1 2 x
1
0 1 5 1 1 3 4 7 1
§1.2
1.排列及其逆序数
n阶行列式
(1)排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in
逆序之和就是 i1i2 in的逆序数， 即
N (i1i2 in ) t n t n1 t1
例2
t
j 1
n
j
N(n(n-1)…321) =0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2
N(135…(2n-1)(2n)(2n-2) …42) =2+4…+(2n-2)=n(n-1)
1 1 a1 j a2 j a3 j
1 2 3
N ( j1 j2 ) a11 a12 a11a22 a12 a21 (1) a1 j1 a2 j2 a21 a22 12 21 j1 j2 取12 和21 1 0

推广之，有如下n 阶行列式定义

定义：
a11 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
2
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第1.1节
n阶行列式的定义
本节从二、三阶行列式出发，给 出n阶行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 转置行列式
3
a11 a12 记号： a21 a22
它表示数：
称其为二阶行列式 .
a11a22 a12a21
即
a11 a12 a21 a22
10
14
例5
1 4 1 1 0 1 2 0 0 0 2 0 3 5 1 0 6 2 5 (1) 3 4 0 3 0 (1) 2 4 6 1 5 0 6 10 48 58 1 1 1 2 3 0 1 ( 1) 1 0 0 3 1 2 ( 1) 0 0 3 1 0 1
2
22
n( n 1) 故排列 x1x2…xn 与 xnxn-1…x1 中逆序之和为 2 依题意，有 n(n 1) N ( xn xn 1 x1 ) I. 此即 2
n! n( n 1) C n 2!(n 2)! 2
方法2
n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排列
(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的
乘积构成，除符号外可写为 a1 j1 a2 j2 a3 j3 (ii)符号为 (1) N ( j1 j2 j3 ) “+” 123 231 312 （偶排列） (iii) 项数为 3！=6 24 “-” 321 213 132 （奇排列）
a11 a 21 a 31
奇偶排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列.
17
逆序数的计算方法
并规定从小到大 不妨设元素为 1至n的自然数， 设i1i2 in为一个n级排列。 为标准次序。 考虑元素i j (i 1,2 n), 如果比i j 大，且排在 i j前面的元素有 t j 个， 那么ji的逆序是t j 个， 全体元素
例7
a
1 0
1 a 0 0 的充分必要条件是什么？ 4 1 1
解
a 1 4
2
1 a 1
0 0 a2 1 1
a1 Biblioteka Baidu
或 a 1
a 1 0
1 a 0 0 a 1 或 a 1
4 1 1
a 1 0
练习： 计算下列行列式
x 1 x
解
2 2
1 x x 1
a1 j1 a2 j2 anjn 0
所以
27
D (1)
N (123n )
a11a22 ann a11a22 ann
下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
D 0
0 a11 0 a12 a 22 0 0 a13 a 23 a 33 0 a1 n a2n a3n a nn
称为三阶行列式.
它表示数
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
即
7
a11
a12
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
例1
N (2413)=3
N(312) =2
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(2)排列的逆序数

定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in).
例1

N (2413)=3
N(312) =2
定理1.2． n个数码共有n!个排列，其中奇偶排列各占 n! 一半, 各为 . 2
思考练习（排列的逆序数详解）
方法1 在排列x1x2…xn中，任取两数xs和xt(s<t),
则它们必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中构成逆序，
且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列 x1x2…xn中取两数的方法共有
6 2 8
例6 a, b R,
a , b 满足什么条件时有
a b 0 b a 0 0 1 0 1
解
a b 0 2 a b a 0 b2 1 0 1
由题可得，即使
a 2 b2 0,
a, b R, a b 0.
即 a b 0 时， 给定的行列式为零．
n2个元素aij (i, j 1, 2, , n)排成的n阶行列式
a 21 D a n1
(1)
N ( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn Det (aij )
记
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn N ( j1 j2 jn ) 并冠以符号 (1) 的项的和.
x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构
成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和 为 li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n)
从而 N ( x1 x2 xn ) N ( xn xn 1 x1 ) n(n 1) (n 1) (n 2) 2 1 2 n(n 1) N ( xn xn 1 x1 ) I. 2
1 2 4 D 2 2 1 3 4 2
解:由主对角线法，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 ( 4 ) 2 ( 3 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 1 1 4 4 6 32 24 8 4

一般情形
设排列 …ji1…isk… (3) 经j,k对换变成 …k i1…is j… (4) 易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到： k经s+1次相邻对换成为 …kj i1…is … j经s次相邻对换成为 …ki1…is j … 即经2s+1次相邻对换后(3) 成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶 性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变 . || 20
a12 a 22 a 32
a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a 33
321
213
a13
123
0
231
2
312
2
132

j1 j2 j3 取遍所有的 三级排列
(1)
3
N ( j1 j2 j3 )

0 0 0 a11a22 ann
0 a33
证： 由定义 和式中,只有当
D (1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn
an 3 ann
jn n, jn1 n 1,, j2 2, j1 1时，
a11a22 a12a21
数a（ ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，横 排称为行， 竖排称为列 ,
aij中i称为行标, j称为列标, aij 表示第i行第j列元素, 左上角到右下角表示主对角线，
4
右上角到左下角表示次对角线， 例１
5 1 3 2
5 2 (1) 3 13