沪教高三数学第一轮复习排列组合与概率
高考数学一轮复习必备：第86课时：第十章排列组合和概率随机事件的概率
高考数学一轮复习必备：第86课时：第十章排列组合和概率随机事件的概率一．课题：随机事件的概率二．教学目标：1．了解随机事件、必定事件、不可能事件的概念；2．把握等可能事件的概率公式，并能熟练地运用排列组合的知识解决等可能事件的概率咨询题；三．教学重点：等可能事件的概率的运算．四．教学过程：〔一〕要紧知识：1．随机事件概率的范畴；2．等可能事件的概率运算公式；〔二〕要紧方法：1．概率是对大量重复试验来讲存在的一种规律性，但对单次试验而言，事件的发生是随机的；2．等可能事件的概率()mP An=，其中n是试验中所有等可能显现的结果〔差不多事件〕的个数，m是所研究事件A中所包含的等可能显现的结果〔差不多事件〕个数，因此，正确区分并运算,m n的关键是抓住〝等可能〞，即n个差不多事件及m个差不多事件都必须是等可能的；〔三〕基础训练：1．以下事件中，是随机事件的是〔C〕〔A〕导体通电时，发热；〔B〕抛一石块，下落；〔C〕掷一枚硬币，显现正面；〔D〕在常温下，焊锡融解。
2．在10张奖券中，有4张有奖，从中任抽两张，能中奖的概率为〔C〕()A 12()B13()C23()D453．6人随意地排成一排，其中甲、乙之间恰有二人的概率为〔 C 〕()A 13()B14()C15()D1104．有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，那么所取的两个数之和为偶数的概率为〔C〕()A 12()B12n()C121nn--()D121nn++〔四〕例题分析：例1．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回抽三次，运算以下事件的概率：〔1〕三次颜色各不同；〔2〕三种颜色不全相同；〔3〕三次取出的球无红色或无黄色；解：差不多事件有3327=个，是等可能的，〔1〕记〝三次颜色各不相同〞为A ，332()279A P A ==； 〔2〕记〝三种颜色不全相同〞为B ，2738()279P B -==； 〔3〕记〝三次取出的球无红色或无黄色〞为C ，332215()279P C +-==； 例2．将一枚骰子先后掷两次，求所得的点数之和为6的概率。
2019年上海高考数学·第一轮复习讲义 第26讲 排列组合
2019年上海高考数学·第一轮复习（第26讲 排列组合）[基础篇]一、知识梳理1、乘法原理与排列乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有123n N m m m m =⋅⋅⋅种不同的方法。
乘法原理的核心：分步在乘法原理的应用中，首先要正确分清做一件事的步骤，其次要搞清楚每一个步骤的方法数。
排列的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。
【说明】如果两个排列相同，那么必须满足：1、元素完全相同；2、元素的排列次序相同。
排列数：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示。
排列数公式：!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =--⋅⋅⋅-+=-；规定：0!1= 2、加法原理与组合做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法。
【说明】计数原理⎩⎨⎧乘法原理（分步）且加法原理（分类）或组合的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C mn 表示.组合数公式C mn =!)!(!m m n n -. 组合数的两个性质：（1）C m n =C m n n -； （2）C m n 1+=C m n +C 1-m n . 排列与组合的区别与联系：都是从n 个不同元素中取出m 个不同的元素，都是研究无重复元素问题，但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。
高考数学一轮复习必备：第87课时：第十章排列组合和概率互斥事件有一个发生的概率
高考数学一轮复习必备：第87课时：第十章排列组合和概率互斥事件有一个发生的概率一．课题：互斥事件有一个发生的概率二．教学目标：了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式运算一些事件的概率． 三．教学重点：互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式． 四．教学过程： 〔一〕要紧知识：1．互斥事件的概念： ； 2．对立事件的概念： ； 3．假设,A B 为两个事件，那么A B +事件指 ．假设,A B 是互斥事件，那么()P A B += ． 〔二〕要紧方法：1．弄清互斥事件与对立事件的区不与联系； 2．把握对立事件与互斥事件的概率公式；〔三〕基础训练：1．某产品分甲、乙、丙三个等级，其中乙、丙两等级为次品，假设产品中显现乙级品的概率为0.03，显现丙级品的概率为0.01，那么在成品中任意抽取一件抽得正品的概率为〔 〕()A 0.04 ()B 0.96 ()C 0.97 ()D 0.992．以下讲法中正确的选项是 〔 〕()A 事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大 ()B 事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小 ()C 互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件()D 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件3．一盒内放有大小相同的10个球，其中有5个红球，3个绿球，2个白球，从中任取2个球，其中至少有1个绿球的概率为 〔 〕()A 152 ()B 158 ()C 52 ()D 1574．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以107为概率的事件是〔 〕()A 都不是一等品()B 恰有一件一等品()C 至少有一件一等品()D 至多一件一等品5．今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，显现二级品的概率为 〔 〕()A 35350C C ()B 123555350C C C C ++ ()C 1－345350C C ()D 1221545545350C C C C C + 〔四〕例题分析：例1．袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求以下事件发生的概率：(1)摸出2个或3个白球；(2)至少摸出1个白球；(3)至少摸出1个黑球.解：从8个球中任意摸出4个共有48C 种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A 1，恰有2个白球为事件A 2，3个白球为事件A 3，4个白球为事件A 4，恰有i 个黑球为事件B ｉ，那么(1)摸出2个或3个白球的概率：223153531121224488C C C C 336()()()C C 777P P A A P A P A =+=+=+=+= (2)至少摸出1个白球的概率P 2＝1－Ｐ〔B 4〕＝1－0＝1(3)至少摸出1个黑球的概率Ｐ3＝1－Ｐ〔A 4〕＝1－1413C C 4845=答：(1)摸出2个或3个白球的概率是67；(2)至少摸出1个白球的概率是1； (3)至少摸出1个黑球的概率是1314. 例2． 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求以下事件的概率：(1)取到的2只差不多上次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只； (3)取到的2只中至少有一只正品.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法.(1)取到的2只差不多上次品情形为22＝4种.因而所求概率为91364=.(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为 P =9436423624=⨯+⨯(3)由于〝取到的两只中至少有一只正品〞是事件〝取到的两只差不多上次品〞的对立事件.因而所求概率为P =1-9891=答：(1)取到的2只差不多上次品的概率为19；(2)取到的2只中正品、次品各一只的概率为49；(3)取到的2只中至少有一只正品的概率为89.例3．从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.假如选得同性委员的概率等于21，求男女生相差几名?解：设男生有x 名，那么女生有36-x 名.选得2名委员差不多上男性的概率为3536)1(C C 2362⨯-=x x x选得2名委员差不多上女性的概率为3536)35)(36(C C 236236⨯--=-x x x 以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于21，得 213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x ，解得x =15或x =21即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名. 答：男女生相差6名.例4．在某地区有2000个家庭，每个家庭有4个小孩，假定男孩出生率是21.(1)求在一个家庭中至少有一个男孩的概率；(2)求在一个家庭中至少有一个男孩且至少有一个女孩的概率；解： (1)P(至少一个男孩)＝1-P(没有男孩)＝1-(21)4＝1615；(2)P(至少1个男孩且至少1个女孩)＝1-P(没有男孩)-P(没有女孩)＝1-161-161＝87；五．课后作业：1．假如事件A 、B 互斥，那么 〔 B 〕()A A +B 是必定事件 ()B A +B 是必定事件()C A 与B 一定互斥()D A 与B 一定不互斥2．甲袋装有m 个白球，n 个黑球,乙袋装有n 个白球,m 个黑球,(m n ≠),现从两袋中各摸一个球,A ：〝两球同色〞,B ：〝两球异色〞，那么()P A 与()P B 的大小关系为( )()A ()()P A P B < ()B ()()P A P B = ()C ()()P A P B > ()D 视,m n 的大小而定3．甲袋中装有白球3个，黑球5个，乙袋内装有白球4个，黑球6个，现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋，那么甲袋中的白球没有减少的概率为 ( )()A 1437 ()B 4435 ()C 4425 ()D 4494．一盒内放有大小相同的10个球，其中有5个红球，3个绿球，2个白球，从中任取2个球，其中至少有1个绿球的概率为 ( )()A 152 ()B 158 ()C 52 ()D 1575．一批产品共10件，其中有2件次品，现随机地抽取5件，那么所取5件中至多有1件次品的概率为〔 〕()A 114 ()B 97 ()C 21()D 92 6．从装有10个大小相同的小球〔4个红球、3个白球、3个黑球〕口袋中任取两个，那么取出两个同色球的概率是 〔 〕()A 415 ()B 51 ()C 31()D 527．在房间里有4个人，至少有两个人的生日在同一个月的概率是 〔 〕()A 41 ()B 21()C 4196 ()D 55968.战士甲射击一次，咨询： (1)假设事件A (中靶)的概率为0.95，A 的概率为多少?(2)假设事件B (中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数小于6)的概率为多少?事件D (中靶环数大于0且小于6)的概率是多少?9.在放有5个红球、4个黑球、3个白球的袋中，任意取出3个球，分不求出3个全是同色球的概率及全是异色球的概率.10.某单位36人的血型类不是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人.现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率.11.在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个.试求：(1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率；(3)取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率.12.在房间里有4个人，咨询至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?答案：9641。
2019年上海高考数学第一轮复习 第42讲 排列组合
第42讲 排列与组合[基础篇]一、乘法原理和加法原理：（1）乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法，，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =种不同的方法.（2）加法原理：如果完成一件事有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法.二、排列组合：（1）排列的概念：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号mn P 表示. （2）排列数公式：!(1)(2)(1)(,*,)()!m n n P n n n n m m n N m n n m =---+=∈≤-，!n n P n =，规定：0!1=. （3）组合的概念：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号mn C 表示. （4）组合数公式：(1)(2)(1)!!!()!m mn nm m P n n n n m n C P m m n m ---+===- （5）组合的两个性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -++=[技能篇]例题1(1)将4封信投寄到3个邮箱中，有多少种不同的投寄方法？(2)将4封信投寄到3个邮箱中，每个邮箱至少一封信，有多少种不同的投寄方法？(3)将4封信投寄到3个邮箱中，恰好有一个邮箱没有投递，有多少种不同的投寄方法？例题2 9名身高各不相同的人排队，按下列要求，各有多少种不同的排法？（1）排成一排；（2）排成前排4人，后排5人；（3）排成一排，其中A 、B 两人不相邻；（4）排成一排，其中,C D 两人必须相邻；（5）排成一排，其中E 不在排头，F 不在排尾；（6）排成一排，其中A 必须站在B 的右侧；（7）排成一排，身高最高的人站在中间且向两边递减；（8）排成一排，其中,H I 之间必须间隔2个.例题3 （1）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数的个数.（2）求用1,2,3,4四个数字组成四位数的个数.（3）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字且比2000小的四位数的个数.（4）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位奇数的个数.（5）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，其中2在3的左边的个数.例题4 (1)22361212x x x C C -+=,求x . (2) 333333345678C C C C C C +++++= .(3) 173213n n n n C C -++= .例题5 有15本不同的书，其中6本是数学书，问：（1）分给甲4本，且都不是数学书；（2）平均分给3人；（3）若平均分为3份；（4）甲分2本，乙分7本，丙分6本；（5）1人2本，1人7本，1人6本.例题6 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，问:(1)从中任取4个球，红球的个数不少于白球的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7的取法有多少种？例题7 设A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同A ∠的顶点共有10个点，以这些点为顶点，可以构成 个三角形。
上海市高三数学 排列组合 二项式 概率统计复习题(含解析)沪教版(1)
排列组合二项式概率统计概念：1、排列数：!(1)(2)(1)()!mn n P n n n n m n m =---+=-2、组合数：(1)(2)(1)!!!()!m mn nm m P n n n n m n C P m m n m ---+===-，规定01n C =。
3、组合数的性质：m n m n n C C -=， 111m m m n n n C C C ++++=，11k k n n kC nC --=， 1121m m mm m m m m n n C C C C C ++++++++=。
4、排列与组合的关系m m mn n m P C P =5、二项式定理：011222()n n n n r n r rn nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b---+=+++++6、1r n r rr n T C a b -+= b 的指数与组合数的上标一致。
7、 ○1二项展开式的各二项式系数之和0122nn n n n n C C C C ++++=○2二项展开式的奇数项之和024n n n C C C +++=偶数项之和13512n n n n C C C -+++=8、 总体平均数121()N x x x Nμ=++9、 总体中位数的意义：从小到大的次序排列，位于正当中位置的数是中位数，当N 为偶数时，当中位置的两个数的平均数是总体中位数 10、总体方差2222121[]N x x x Nσμμμ=-+-++-（）（）（）=2222121N x x x Nμ=+++-（）11、样本方差(总休标准差的点估计值)：s =12、随机抽样(抽签法、随机数表法):13、系统抽样:等间隔抽样，(每一个间隔抽取一个) 14、分层抽样:按比例抽样，比例n =N nk N=样本数总体数(一)排列与组合1、在一块并排10垄的田地中，选择两垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一 垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6 ，不同的种植方法共有多少种？解：第一步：选垄 ，分类完成。
高三数学第一轮复习：排列、组合知识精讲
高三数学第一轮复习：排列、组合【本讲主要内容】排列、组合分类计数原理、分步计数原理、排列、排列数公式、组合、组合数公式【知识掌握】 【知识点精析】1. 两个原理 （1）分类计数原理 做一件事，完成它可以有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同方法，在第2类办法中有m 2种方法，……，在第n 类办法中有m n 种方法，那么完成这件事共有N=m m m n 12+++…种不同方法。
（2）分步计数原理做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同方法，做第2步有m 2种不同方法……做第n 步有m n 种不同方法，那么完成这件事共有N m m =⋅12……m n 种不同方法。
说明：两个原理的运用、理解须注意的几点：（1）必须搞清楚两个原理的条件和结论，分清它们的异同，分类完成用分类计数原理，即独立事件相加；分步完成用分步计数原理，即相连事件相乘。
（2）处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么。
因此，在解题时必须认真审题，搞清楚题目的条件、结论。
（3）对于一些比较复杂的既要运用分类计数原理，又要运用分步计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题的分析更直观、清楚，积累解决实际问题的经验。
框图和树形图是解决这类问题的有效的直观形象工具。
（4）分类计数原理与分步计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数公式、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想方法。
2. 排列（1）排列、排列数公式①排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
其中，“一定的顺序”指每一次取出的元素与它所排的“位置”有关，两个排列相同，不但所有元素相同，而且排列顺序也要相同。
②排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A n m 表示，其中A n n是全排列。
高三数学排列组合,概率第一轮复习资料
组合一、基础知识1、一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素 ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
2、如果两个组合中的元素 ，那么不管元素的顺序如何，都是相同组合，只有当两个组合中的元素 时，才是不同的组合。
3、排列和组合都是从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素，但排列与元素的顺序 ，而组合与元素的顺序 。
4、m n C = = =5、从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素。
因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n m -个元素的一个组合 ，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n m -个元素的组合数，既6、从123,,,a a a ……，1n a +，这1n +个不同的元素中取出m 个的组合数是1m n C +，这些组合数可以分为两类：一类含有1a ，一类不含1a ，含有1a 的组合数是1m n C -，不含1a 的组合数是m nC ，由加法原理可得 二、强化训练1、给出下面几个问题：（1）由1，2，3，4构成的2元素集合；（2）五个队进行单循环比赛的分组情况；（3）由1，2，3组成两位数的不同方法数；（4）由1，2，3组成无重复数字的两位数。
其中是组合问题的有2、若集合{}{}1,2,3,1,4,5,6A B ==，从这两个集合中各取1个元素，作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定的不同点的个数为（ ）A 11个B 12个C 23个D 24个3、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）A 140种B 84种C 70种D 35种4、若46,n n C C n >则的集合是5、三名教师教六个班，每人教两个班，分配方案共有（ ）A 8种B 24种C 45种D 90种6、以正方体的顶点为顶点，所作三棱锥的个数为（ ）A 48CB 1387C C C 4812C -D 138712C C -7、某科技小组有六名同学，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生数目为（ ）A 2B 3C 4D 58、某学校举行足球单循环赛（既每个队都与其它各队比赛一场），有8个队参加，共需要举行比赛 场9、一个小组有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学，要从小组选出3名代表，至少有1名女同学，共有 种不同的选法。
高三数学第一轮复习讲义(小结)排列、组合、概率小结
高三数学第一轮复习讲义（小结）一．课前预习： 排列、组合、概率1．从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数其各位数字之和等于9的概率为 （ D ）()A 19 ()B 49 ()C 14 ()D 132．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任男、女教师都有，则不同的选派方案共有 （ B ）()A 210种 ()B 420种 ()C 630种 ()D 840种3．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 （ D ）()A 110 ()B 120 ()C 140 ()D 11204．若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=- )(R x ∈，则010********()()()...()a a a a a a a a ++++++++ 2004 (用数字作答) ．5．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1,2,,k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”， 令1, 0, ij i j a i j ⎧=⎨⎩第号同学同意第号同学当选第号同学不同意第号同学当选其中1,2,,i k = ，且1,2,,j k = ，则同时同意第1,2号同学当选的人数为（ B ）()A k k a a a a a a 2222111211+++++++ ()B 2122211211k k a a a a a a +++ ()C 2221212111k k a a a a a a +++++++ ()D k k a a a a a a 2122122111+++6．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共18种．四．例题分析：例1．对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A ：甲正好取得两只配对手套；②B ：乙正好取得两只配对手套； （Ⅱ）A 与B 是否独立？并证明你的结论．（Ⅰ)①125841021()9C A P A A ⨯⨯==． ②125841021()9C A P B A ⨯⨯==． （Ⅱ）2152410221()63C C P AB A ⨯⨯⨯==, 又1()()81P A P B =， ∴()()P A P B ≠()P AB ，故A 与B 是不独立的．例2．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）分别求甲答对试题数(0,1,2,3)k k =的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.24.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力.满分12分.k 的概率分布如下：,A B ，则2136463102()3C C C P A C +==，21382831014()15C C C P B C +==． 因为事件,A B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为2141()(1)(1)31545P A B ⋅=--= ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为441()45P P A B =-⋅=， 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544． 例3．袋中装有m 个红球和n 个白球，2m n ≥≥，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同.从袋中同时取出2个球.(1)若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证m 必为奇数；(2)在,m n 的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求失和40m n +≤的所有数组(,)m n .解：(1)设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k 倍(k 为整数)则有21122m m n m n m nC C C k C C ++= ∴(1)2m m kmn -= ⇒ 21m kn =+ ∵,k Z n Z ∈∈，∴21m kn =+为奇数(2)由题意，有221122m n m n m n m n C C C C C C +++=，∴(1)(1)22m m n n mn --+= ∴2220m m n n mn -+--=即2()m n m n -=+，∵2m n ≥≥，∴4m n +≥，∴47m n ≤-≤，m n -的取值只可能是2,3,4,5,6相应的m n +的取值分别是4,9,16,25,36， ∴31m n =⎧⎨=⎩或63m n =⎧⎨=⎩或106m n =⎧⎨=⎩或1510m n =⎧⎨=⎩或2115m n =⎧⎨=⎩，注意到2m n ≥≥∴(,)m n 的数组值为(6,3),(10,6),(15,10),(21,15)五．课后作业： 班级 学号 姓名1．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（ ） ()A 21p p ()B )1()1(1221p p p p -+-()C 211p p -()D )1)(1(121p p --- 2．某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览.如果,A B 为必选 城市，并且在游览过程中必须按先A 后B 的次序经过,A B 两城市（,A B 两城市可以不相邻），则有不同的游览线路 （ ）()A 120种 ()B 240种 ()C 480种 ()D 600种3．某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍教育子女的情况，那么这4位中至多一对夫妻的选择方法为 （ ）()A 15种 ()B 120种 ()C 240种 ()D 480种4．由等式223144322314)1()1()1(+++++=++++x b x b x a x a x a x a x 413)1(b x b +++定义),,,(),,,(43214321b b b b a a a a f =，则),1,2,3,4(f 等于 （ ）()A )4,3,2,1( ()B )0,4,3,0( ()C )2,2,0,1(-- ()D )1,4,3,0(--5．若123(32)na a -展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 86．三人传球由甲开始发球，并作第一传球，经5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法共有 （ ）()A 6种 ()B 8种 ()C 10种 ()D 16种7．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是 （ ） ()A 234 ()B 346()C 350 ()D 3638．口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 ．9．若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 ．10．将标号为1,2,,10 的10个球放入标号为1,2,,10 的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 ．11．已知10件产品中有3件是次品.（1）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；（2）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？12．已知：有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列各事件的概率：（1）事件A：指定的4个房间各有1人；（2）事件B：恰有4个房间各有1人；（3）事件C：指定的某个房间有2人.13．已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.4和0.6．现让每人各投两次，试分别求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投进两球；（Ⅱ）两人至少投进三个球.14．从汽车东站驾车至汽车西站的途中要经过8个交通岗，假设某辆汽车在各交通岗遇到红1.灯的事件是独立的，并且概率都是3（1）求这辆汽车首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；（2）这辆汽车在途中恰好遇到4次红灯的概率．。
高考数学一轮复习排列组合和概率必考知识点归纳
高考数学一轮复习排列组合和概率必考知识点归纳
高考数学一轮复习排列组合和概率必考知识点归纳
解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法。
二项式系数与展开式某一项的系数易混，第r+1项的二项式系数为。
二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混。
二项式系数最大项为中间一项或两项;展开式中系数最大项的求法要用解不等式组来确定r
你掌握了三种常见的概率公式吗?(①等可能事件的'概率公式;②互斥事件有一个发生的概率公式;③相互独立事件同时发生的概率公式。
) 二项式展开式的通项公式、n次独立重复试验中事件A发生k次的概率易记混。
通项公式：它是第r+1项而不是第r项;
事件A发生k次的概率：。
其中k=0，1，2，3，…，n，且0
求分布列的解答题你能把步骤写全吗?
如何对总体分布进行估计?(用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图;理解频率分布直方图矩形面积的几何意义。
)
你还记得一般正态总体如何化为标准正态总体吗?(对任一正态总体来说，取值小于x的概率，其中表示标准正态总体取值小于的概率)。
2024届高考数学一轮总复习第九章计数原理概率随机变量及其分布第二讲排列与组合课件
课标要求
考情分析
1.以实际问题为背景，考查排列数、组 1.理解排列和组合的概念. 合数，同时考查分类讨论的思想及解决 2.能利用计数原理推导排 问题的能力.
列数公式和组合数公式 2.以选择、填空的形式考查，或在解答
题中和概率相结合进行考查
1.排列与组合的概念
名称
定义
区别
排列 从 n 个不同元素 按照一定的顺序排成一列 排列有序，组
中取出 m(m≤n) 组合 个元素
合成一组
合无序
2.排列数与组合数 内容 排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出
从n个不同元素中取出
m(m≤n)个元素的所有不同排 m(m≤n)个元素的所有不同组
列的个数，叫做从n个不同元 合的个数，叫做从n个不同元
素中取出m个元素的排列数. 素中取出m个元素的组合数.
(2)捆绑法，将男生看成一个整体，进行全排列，有 A33种，再 与 2 名女生进行全排列有 A33种，故共有 A33A33＝36 种；
(3)插空法，先排女生，再在空位中插入男生，共有 A22A33＝12 种；
(4)定序排列用除法，共有AA5533＝20 种； (5)位置分析法(特殊位置优先安排).先排最左边，除去甲外， 余下的 4 个位置全排有 A14A44，但应剔除乙在最右边的排法数 A31A33 种.故共有 A14A44－A31A33＝78 种； (6)插空法，先排男生，再将女生插入其中的连续的三个空位， 共有 2A33A33＝72 种；
(5)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边，共___ 种排法；
(6)若再加入一名女生，全体排成一行，男女各不相邻，共___ 种排法；
(7)排成前后两排，前排 3 人，后排 2 人，共____种排法； (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有 1 人，共____种排 法.
沪教版高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习之矩阵排列组合二项式定理系列之随机变量与数学期望②
沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习矩阵排列组合二项式概率系列之随机变量和数学期望②教学目标1. 理解随机变量、随机变量分布的概念及其数字特征；2. 会根据随机变量分布求出期望值．知识梳理1. 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为则称1122n n E x p x p x p ξ=+++L 为ξ的数学期望或均值,数学期望又简称为期望．用文字语言描述抽象的数学公式1122n n E x p x p x p ξ=+++L ，即：离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应概率分别相乘后相加．2. 如果设,1,2,,k p k n =L 是分布律，那么它满足：（1）01,1,2,,k p k n ≤≤=L ； （2）121n p p p +++=L3.E ξ是一个确定的常量，而非变量，它从本质上体现了随机变量ξ取可能值的真正平均值，也称均值．平均数一般指n 个数12,,,n x x x L 的算术平均数12nx x x n+++L ，数学期望是以概率为加权的加权平均数1122n n x p x p x p +++L ，其中i p 是随机变量取i x 的概率，1,2,,i n =L ．这是平均数与期望的主要差异．4. 数学期望的性质：（1） 设ξ是随机变量，c 是任一实数，那么()E c cE ξξ=；（2） 设ξ是随机变量，12n ξηηη=+++L ，(1,2,,)i i n η=L 都是存在数学期望的随机变量，那么12n E E E E ξηηη=+++L ；（3） 常数C 的数学期望是常数本身，即EC C =．5．一般地，如果随机变量ξ可以取12,,,n x x x L 中的任意一个值，对应的概率分布律为12,,,n p p p L ，随机变量的数学期望为E ξ，那么2221122()()()n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-++-L 叫做随机变量的方差．方差的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差． 随机变量的方差或标准差刻画了随机变量取值的离散程度．典例精讲 例1. （★★）已知随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量101ξ+的均值是 ．解：由概率和为1，故0.1a =(101)=110.1+210.4+310.2+410.1+510.2=30E ξ+⨯⨯⨯⨯⨯【总结1：E ξ从本质上体现了随机变量ξ取可能值的真正平均值，也称均值．】 【总结2：设,1,2,,k p k n =L 是分布律，那么121n p p p +++=L ．】 【总结3：()E a b aE b ξξ+=+．】例2. （★★★）随机变量ξ的分布列如下：其中a b c ，，成等差数列，若13E ξ=，则D ξ的值是 ．解：59例3. （★★★）袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为P ．（1）从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．① 求恰好摸5次停止的概率；② 记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布律及数学期望E ξ．（2）若A 、B 两个袋子中的球数之比为1:2，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求P 的值．解：(1) ①2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ② 随机变量ξ的取值为0,1,2,3． 由n 次独立重复试验概率公式()()1n k k kn nP k C P P -=⨯⋅- 可得()0P ξ==50513213243C ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，()1P ξ==4151180133243C ⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()2P ξ==23251180133243C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3P ξ==3280217124381+⨯-=． 随机变量ξ的分布列是因此ξ的数学期望是E ξ=320243⨯801243+⨯802243+⨯17381+⨯13181=． （2）设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球，由122335m mpm +=，得P =1330． 课堂检测 1.（★★）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望ξE = （结果用最简分数表示）． 解：472.（★★★）毕业生小王参加人才招聘会，分别向A 、B 两个公司投递个人简历．假定小王得到A 公司面试的概率为13，得到B 公司面试的概率为p ，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数．若0=ξ时的概率1(0)2P ξ==，则随机变量ξ的数学期望()E ξ= ．解：7123. （★★★）随机变量x 的分布图如图所示，则数学期望Ex = ． 解：1.74.（★★）一盒中有7件正品，3件次品，无放回地每次取一件产品，直至取到正品．已知抽取次数ξ 的概率分布律如下表，那么抽取次数ξ的数学期望E ξ= ．解：1185.（★★）某学生在参加语、数、外三门课程的学业水平考试中，取得A 等第的概率分别为54、53、52，且三门课程的成绩是否取得A 等第相互独立．记ξ为该生取得A 等第的课程数，其分布律如表所示，则数学期望ξE 的值为． 解：956.（★★）一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量x 表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量x 的数学期望=Ex ． 解：927. （★★★）在()91x +的二项展开式中任取2项，i p 表示取出的2项中有i 项系数为奇数的概率． 若用随机变量ξ表示取出的2项中系数为奇数的项数i ，则随机变量ξ的数学期望E ξ= ．解：458.（★★★）为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）．现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中34是境外游客，其余是境内游客．在境外游客中有13持金卡，在境内游客中有23持银卡． （1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（2）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 解：（1）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡．设事件B 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件1A 为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件2A 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”．()()()12111921962112333636927363417085C C C C C P B P A P A C C =+=+=+= 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685． （2）ξ的可能取值为0，1，2，3 ．()33391084C P C ξ===,()1263393114C C P C ξ===,()21633915228C C P C ξ===，()36395321C P C ξ===,所以ξ的分布列为：ξ0[ 1 2 3P184314 1528 521所以0123 2.84142821E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=回顾总结1. 1122n n E x p x p x p ξ=+++L ．2. 与算术平均数的区别是什么？（详见知识梳理）3. 如果设,1,2,,k p k n =L 是分布律，那么它满足：（1）01,1,2,,k p k n ≤≤=L ； （2）121n p p p +++=L。