全等三角形的判定复习与总结

全等三角形的判定

一、知识点梳理

知识梳理:

SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。

技巧平台：

证明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法。根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证题思路如下表：

AC边即可构造全等三角形。

B D C

解：相等。理由：连接AC ，在△ABC 和△ADC 中，⎪⎩⎪

⎨⎧===AC AC CD CB AD AB

∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠B=∠D （全等三角形的对应角相等）

点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。

例2.（SSS ）如图，△ABC 是一个风筝架，AB=AC,AD 是连接A 与BC 中点D 的支架，证明：AD ⊥BC.分析：要证AD ⊥BC ADB=∠

ADC 可由△ABD ≌△ACD 求得。 证明： D 是BC 的中点，∴BD=CD

在△ABD 与△ACD 中，⎪⎩

⎪

⎨⎧===AD AD CD BD AC

AB

∴△ABD ≌△ACD(SSS)，∴∠ADB=∠ADC （全等三角形的对应角相等） ∠ADB+∠ADC=︒180（平角的定义）

∴∠ADB=∠ADC=︒90，∴AD ⊥BC （垂直的定义）

例3.（SAS ）如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C. 分析：利用SAS 证明两个三角形全等，∠A 是公共角。

证明：在△ABE 与△ACD 中,⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=AD AE A

A AC AB

∴△ABE ≌△ACD(SAS),∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）

例4.（SAS ）如图，已知E,F 是线段AB 上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：DF=CE.

分析：先证明AF=BE ，再用SAS 证明两个三角形全等。

证明： AE=BF(已知)

∴AE+EF=BF+FE,即AF=BE

在△DAF 与△CBE 中,⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=BE AF B A BC AD

∴△DAF ≌△CBE(SAS),∴DF=CE （全等三角形的对应角相等）

点评：本题直接给出了一边一角对应相等，因此根据SAS 再证出另一边（即AF=BE ）相等即可，进而推出对应边相等。

练习、如图，AB,CD 互相平分于点O ，请尽可能地说出你从图中获得的信息（不需添加辅助线）。

例5.（ ASA ）如图，已知点E,C 在线段BF 上，BE=CF,AB ∥DE,∠ACB=∠F,求证：AB=DE. 分析：要证AB=DE ，结合BE=CF ，即BC=EF ，∠ACB=∠F 逆推，即要找到证△ABC ≌△DEF 的条件。

证明: AB ∥DE,∴∠B=∠DEF.

又 BE=CF ，∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.

在△ABC 与△DEF 中,⎪⎩⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠F ACB EF BC DEF

B

∴△ABC ≌△DEF(ASA),∴AB=DE.

例6.（AAS ）如图，已知B,C,E 三点在同一条直线上，AC ∥△ABC ≌△CDE.

分析：在△ABC 与△CDE 中，条件只有AC=CE,

A

由AC ∥DE ，可知∠B=∠D,于是△ABC ≌△CDE 的条件就有了。

证明： AC ∥DE ，∴∠ACB=∠E,且∠ACD=∠D. 又 ∠ACD=∠B,∴∠B=∠D.

在△ABC 与△CDE 中,⎪⎩⎪

⎨⎧=∠=∠∠=∠CE AC E ACB D B ,

∴△ABC ≌△CDE(AAS).

解题规律：通过两直线平行，得角相等时一种常见的证角相等的方法，也是本题的解题关键。

例7.（HL ）如图，在Rt △ABC 中，∠A=︒90,点D 为斜边BC 上一点，且BD=BA,过点D 作BC 得垂线，交AC 于点E ，求证：AE=ED.

分析：要证AE=ED ，可考虑通过证相应的三角形全等来解决，但图中没有现成的三角形，因此要考虑添加辅助线构造出两线段所在的三角形，结合已知条件，运用“三点定形法”知，连接BE 即可。 证明：连接BE.

ED ⊥BC 于D,∴∠EDB=︒90.

在Rt △ABE 与Rt △DBE 中，⎩⎨⎧==BE

BE BD BA

∴Rt △ABE ≌Rt △DBE(HL),∴AE=ED.

解题规律：连接BE 构造两个直角三角形是本题的解题关键。 特别提醒：连公共边是常作得辅助线之一。 三、课堂同步练习

1.如图，AB=AD,CB=CD,△ABC 与△ADC

C B

B D C

B D

2.如图，C 是AB 的中点，AD=CE,CD=BE,

3.如图，△ABC 中，AB=AC,AD 是高，求证：

4.如图，AC ⊥CB,DB ⊥CB,AB=DC,求证∠ABD=∠

B F

C E

A

D

A B

O

D C

5.如图，点B,E,C,F 在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证∠A=∠D.

6.如图，AC 和BD 相交于点O ，OA=OC,OB=OD.求证DC ∥AB.

7.如图，点B,E,C,F 在一条直线上，FB=CE,AB ∥ED,AC ∥FD.求证AB=DE,AC=DF.

8.如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB 。求证：AB=DC 。