圆锥曲线的范围最值问题

圆锥曲线的最值、范围问题

与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,本文从下面几个方面阐述该类题型的求解方法,以引起读者注意． 一、利用圆锥曲线定义求最值

借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．

【例1】已知(40),(2)A B ，，2是椭圆22

1259

x y +

=内的两个点,M 是椭圆上的动点,求MA MB +的最大值和最小值．

【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论A M B 、、三点是否共线,总有

MA MB AB +>,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村

的作用．

【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化．

【小试牛刀】【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知P 为抛物线

x y 42=上一个动点,Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点,当点P 到点Q 的距离与点P

到抛物线的准线的距离之和最小时,点P 的横坐标为（ ）

A ．

8179- B ．8

9

C ．817

D ．17

【分析】根据抛物线的定义,点到抛物线的准线的距离等于点到抛物线的焦点的距离,所以点P 到点Q 的距离与点P 到准线距离之和的最小值就是点P 到点Q 的距离与到抛物线焦点距离之和的最小值,因此当三点共线时,距离之和取最小值. 【解析】设P 到抛物线准线的距离为d ,抛物线的焦点为F ,圆心为C ,则

()()min min 171PQ d PQ PF CF r +=+=-=

,故选A.

二、单变量最值问题转化为函数最值

建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量．

【例2】已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成

等腰直角三角形,直线01=++y x 与以椭圆C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆的方程.

（2）设P 为椭圆上一点,若过点)0,2(M 的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点S 和T ,且满足OP t OT OS =+(O 为坐标原点),求实数t 的取值范围.

【分析】（1）由题意可得圆的方程为222)(a y c x =+-,圆心到直线01=++y x 的距离

=

d a c =+2

1；

根据椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角

三角形, b=c, c b a 22==代入*式得1b c ==,即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由

题意知直线L 的斜率存在,设直线L 方程为)2(-=x k y ,设()00,y x p ,将直线方程代入椭圆方程得：()028*******=-+-+k x k x k ,

根据()()081628214642224>+-=-+-=∆k k k k 得到2

1

2

达定理2

22122

21212

8,218k k x x k k x x +-=+=+.讨论当k=0,0≠t 的情况,确定t 的不等式. 【解析】（1）由题意：以椭圆C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为222)(a y c x =+-, ∴圆心到直线01=++y x 的距离=

d a c =+21*

∵椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角

三角形, b=c, c b a 22==代入*式得1b c == ∴22==b a

故所求椭圆方程为.12

22

=+y x

（Ⅱ）由题意知直线L 的斜率存在,设直线L 方程为)2(-=x k y ,设()00,y x p 将直线方程代入椭圆方程得：()028*******=-+-+k x k x k ∴()()081628214642224>+-=-+-=∆k k k k ∴2

1

2

设()11,y x S ,()22,y x T 则2

22122

21212

8,218k k x x k k x x +-=+=+………………8分 当k=0时,直线l 的方程为y=0,此时t=0,t =+成立,故,t=0符合题意. 当0≠t 时

得⎪⎩

⎪

⎨⎧+=

+=+-=-+=+=2

22102

21210218214)4(k k x x tx k k x x k y y ty

∴,218122

0k k t x +•=2

2141k k

t y +-•= 将上式代入椭圆方程得：1)

21(16)21(322

222

2224=+++k t k k t k 整理得：2

2

2

2116k

k t += 由2

1

2

所以22t ∈-（，）

【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于a b c 、、的等量关系；直线和椭圆的位置关系问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点P 在椭圆上和向量式得()t f k =,进而求函数值域．

【小试牛刀】【2017河南西平县高级中学12月考】已知中心在原点O ,焦点在x 轴上,

． （1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ,Q 两点,满足直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列,求OPQ ∆面积的取值范围．

【答案】（1）2

214

x y +=；（2）(0,1)．

【解析】（1）由题意可设椭圆方程22

221(0)x y a b a b

+=>>,