16.1.1 二次根式的定义 公开课课件
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二次根式的ppt课件
将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
16.1.1二次根式的概念
2
归纳
一般地， （a≥0） ( a) a
2
2 22 ___,
5
2
5 ___,
2 | 2 | ___; 5 | 5 | ___; 0 | 0 | ___.
0 02 ___,
a a
2
请比较左右两边的式子,议一议: a2 与| a | 有什么关 系?当 a 0 时, a 2 ____; a . a ;当a 0 时, a 2 ____
3
想一想： 10 、 -5 、 8 5 3 、 (-2)
2
2
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例 1：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足 什么条件？
解：由 x-1≥0，得 x≥1。
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字母 x 的取值必须 满足什么条件呢？
x≤1
y
想一想： 已知：y= x-2 + 2-x +3，求 x 的值。
解：由 x-2≥0 且 2-x≥0， 得 x≥2 且 x≤2 ∴x=2。 ∴y= 0 + 0 +3=3 ∴x =2 =8
y 3
x-2 例 2：要使 有意义，字母 x 的取值必须满足 x-3 什么条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0, 得 x ≥2 且 x ≠3 。
2
4 4 4 _________
2
x 1 ( x 1)
2
x 1
( a ) 与 a 有区别吗 ?
2
2
1:从运算顺序来看,
2
a 先开方,后平方 a a≥0
人教版八年级下册16.1.1《二次根式》二次根式的概念课件
m m2
2 4
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，
解得m≥2且m≠-2，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 x2 6xm都有意 义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
二5的次算根术式平的方被根开是方_数__非_.负
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 二一((12))次般若(3根 地)二(5式，次)(的如7根)实果均式质一不是个是表数二示的次一平有根个方意式非等义. 负于，数a求，（m那的或么取式x 这值）个范1的数围算叫．术做平a方的根平.方根.
即求(二x+次3根)2式+m中-字9≥母0.的取值范围的基本依据2：
（）
一定是二次根式的有
（）
解：由题意得x2+6x+m≥0，
3个
B.
解：∵被开方数需大于或等于零，
16.1.1 二次根式的概念 4 已知y=
,求3x+2y的算术平方根.
解：∵被开方数需大于或等于零，
一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式.
问题2 这些式子有什么共同特征？
注意：a可以是数，也可以是式.
x＞2 B.
一定是二次根式的有 (本2)节无课论主x取要任学何习实了数二，次代根数式式的定义及被开方数都的有取意值义范，围求.m的取值范围．
(若2)式无子论为x取分任式何，实应数同，时代考数虑式分母不为零. 都有意义，求m的取值范围．
一(2)个无正论数x取有任两何个实平数方，根代；数式
都有意义，求m的取值范围．
最新人教版八年级数学下16.1二次根式的概念ppt公开课优质课件
(2) 2 a 3 2 (4) 5a
3 (1) a-1 0， a 1. (2) 2a 3 0， a . 2
(3) a
(3) a 0， a 0.
(4) 5 a＞0， a＜5.
5.要画一个面积为24cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，
想一想：
当x是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？ x3 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
二 二次根式的双重非负性
思考: 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平
方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
问题1 上面问题的结果分别是
3, s, 65， h ，它们表示一些 5
正数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？ 我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平 方时，被开方数只能是正数或0. 问题2 上面问题的结果分别是
3, s, 65， h ，分别从形式上 5
和被开方数上看有什么共同特点？ ①含有“ ” ②被开方数a ≥0
a C D
2 2.式子 3x 6 有意义的条件是
（ A ） D.x≤2
A.x＞2
3.若
B.x≥2
C.x＜2
95 n 是整数，则自然数n的值有 （ D ）
B.8个 C.9个 D.10个
A.7个
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)
a 1
是
不是
当m>0时被开 方数是负数
不是
xy＜0
(4) -m
人教版八年级数学下册课件16.1.1二次根式的概念
(判1)断这给些出式的子式分子别是是不表是示二什次么根意式义.？
(游4)戏当规a≥则0时：, 5个金表蛋示中a的任算选术一平个方,如根果. 出现金花,你不需要回答问题,直接加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.
(（4)3当）a一≥0个时物, 体从表高示处a的自算由术落平下方，根落.到地面所用的时间ts，与开始落下时离地面的高度hm。
3，S，65， h 5
(1)这些式子分别是表示什么意义？ 分别表示 3, s,65, h 的算术平方根
5
(2)这些式子有什么共同特征？
1.根指数都是2
a
2.被开方数为非负数 ，a≥0
二次根式的定义
a 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”
称为二次根式， 叫做被开方数。
1
2
3
4
5
游戏规则：5个金蛋中任选一个,如果出现金花,你不需 要回答问题,直接加5分，不出现金花则判断给出的式 子是不是二次根式.
判断给出的式子是不是二次根式.
a （3 a 5）
判断给出的式子是不是二次根式.
a2 3
判断给出的式子是不是二次根式.
3 10
(1)这些式子分别是表示什么意义？
恭喜你，加5分 代数式 的值为0，则a= .
代数式 的值为0，则a= .
【变式训练】若式子1+
有意义,则x的取值范围是
.
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
(如2)果在其二面次积根为式S中，,被则开它方的数边可长以是是具. 体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.
游 【戏变规式则 训： 练5】个若金式蛋子中1+任选一个有,如意果义出,则现x金的花取,值你范不围需是要回答问题,直接. 加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.
16.1二次根式第1课时爱的教育上课用
\
a - b + 6 = 0，a + b - 8 = 0
a－ b = － 6 a＋ b = 8 a ＋ b－ 8 = 0 a=1 b=7
∴ a － b＋ 6 = 0
在实数范围内分解因式:4 x - 3
解: ∴ ∵ 3
2
2
3
2
2
4 x 3 (2 x) 3
2
(2 x 3 )(2 x 3 )
\ a=
2 2
2，b = 2
\ a + b - 2b + 1 =
( 2) + 2 2
2
2? 2 1
= 2 + 4- 4 + 1 = 3
10. 已知 a - b + 6与 a + b - 8互为相 反数，求 a、b的值。 解:
a- b+ 6 0，a + b - 8
0
பைடு நூலகம்
而 a - b + 6+ a + b - 8 = 0
a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看 , 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
a
2
2
2
=a
a (a≥ 0) -a (a＜0)
= ∣ a∣ =
m4 思考：若 ( m 4 ) 4 m , 则 m 的取值范围是 _________
3， x ＋ 1，
144,
7. 三角形三边长分别是a、b、c，且 a > c ， 那么 c - a - (a + c - b)2等于（ D ）。
二次根式二次根式的概念八年级数学下册PPT公开课
－x2－3， yx(xy＞0)．
解： 15， x－3(x≥3)， （x＋1）2， 中被开方数依次是 15，x－3，(x＋1)2，yx
yx(xy＞0)是二次根式，其
二次根式性
例1 当x 是怎样的实数时，x - 2 在实数范围内有 意义？
解：要使
x - 2 在实数范围有意义， 必须 x-2≥0， ∴ x≥2．
3掌握若二次根式有意是义整的数条，件则. 自然数n 的值为 （算3术）平方根的式．子，叫做二次根式．
（一3般）地由，我们把形≥0如，得（a为a≥0任）何的实式数子．叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
当2．边式长子为a＋4，1a2－，22有时意，义不，符则合实实数际a情的况取，值舍范去围；是( )
分别表示3，S，65 的算术平方根． 3(2)用若40块大小相同是的整正数方，形则地自板然砖数刚n 好的把值这为个过道铺满，求这种地板砖的边长．
总结 请比较 a 和0 的大小．
掌握二次根式有意义的条件.
必须 x-2≥0，
2．式子a＋1a－2有意义，则实数a的取值范围是( )
解：由x2＋1≥0，得x为任意数
（2）中得到的式子有什么意义？
∴ x≥2．
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 当边长为4，4，2时，符合实际情况，4×2＋2＝10.
人教版
第十六章 二次根式
16．1 二次根式
第1课时 二次根式的概念讲解及习题练习
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
提出问题
问题：
（1）面积为3 的正方形的边长为_____3 __，面积为S 的正方形 的边长为___S ____．
解： 15， x－3(x≥3)， （x＋1）2， 中被开方数依次是 15，x－3，(x＋1)2，yx
yx(xy＞0)是二次根式，其
二次根式性
例1 当x 是怎样的实数时，x - 2 在实数范围内有 意义？
解：要使
x - 2 在实数范围有意义， 必须 x-2≥0， ∴ x≥2．
3掌握若二次根式有意是义整的数条，件则. 自然数n 的值为 （算3术）平方根的式．子，叫做二次根式．
（一3般）地由，我们把形≥0如，得（a为a≥0任）何的实式数子．叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
当2．边式长子为a＋4，1a2－，22有时意，义不，符则合实实数际a情的况取，值舍范去围；是( )
分别表示3，S，65 的算术平方根． 3(2)用若40块大小相同是的整正数方，形则地自板然砖数刚n 好的把值这为个过道铺满，求这种地板砖的边长．
总结 请比较 a 和0 的大小．
掌握二次根式有意义的条件.
必须 x-2≥0，
2．式子a＋1a－2有意义，则实数a的取值范围是( )
解：由x2＋1≥0，得x为任意数
（2）中得到的式子有什么意义？
∴ x≥2．
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 当边长为4，4，2时，符合实际情况，4×2＋2＝10.
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第十六章 二次根式
16．1 二次根式
第1课时 二次根式的概念讲解及习题练习
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
提出问题
问题：
（1）面积为3 的正方形的边长为_____3 __，面积为S 的正方形 的边长为___S ____．
人教初中数学八年级下册 16.1《二次根式》二次根式的概念和性质课件1
通常把形如 m a(a 0)的式子也叫做二
次根式,如 3 2, 2a b2 1 等. 24
例题1 化简二次根式:
1 72; 2 12a3; 3 18x2 x 0.
注意判断根号 内字母的取值 范围，
25
例题2 化简二次根式:
1 a;
3
2 5 ;
2x
3 b2 b 0;
aa 0.
29
9a
4 a 1.
a
注意判断根号内 字母的取值范围，
26
写出下列等式成立的条件：
1 (x 2)(x 6) x 2 x 6
2 y 2 y 2
6 y 6 y
27
小结
1.掌握化简二次根式的两个基本步骤: ⑴ 将二次根式中的分母化去; ⑵ 把二次根式中所含的完全平方因式移
不要忽略 4
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
5
a2 1
3 -2
2a 1
a
a 12
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗？
6
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3
在实数范围内有意义？
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式 在实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5 ； （3） 3 x
7
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
16.1_二次根式定义.ppt
2
下列各式是二次根式吗?
(5) xy (x,y 异号)， (7)
3
(6) a 1 , (8) 2 3
5
?
7
例1
a是怎样的实数时，下列二次根式在实数范围内有意义？
(1) a 1
(2) 1 3a
由a+1 0 得a -1 解：（1）
当a 1时，二次根式 a 1在实数范围内有意义。
方法构想
一个式子中： 若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0； 若含有分式，则要求分母的值不等于0； 若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.
试一试
要使下列各式有意义，字母的取值必须满足什么条件？
(1)
( 2)
x 2 1 (6) ( 3)x 2且x 3 （ 3）x>0 (6) x3 x （4） x 为任何实数 2 x2 ( 4)x x3 1 (7) (7) （5） xx≤0 (5) 3 x 3
16.1.1 二次根式
汉沽八中：陈玉莲
1. 了解二次根式的概念。
2.理解
a (a≥0)，能利用 a (a≥0)解决关于二次根式中
字母取值范围的问题。
3. 学习过程中注重知识间的前后联系，养成及时归纳总结
的良好学习习惯。
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
5
2 3
也叫二次根式。
定义详解
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2.a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号 4. a≥0,
a ≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
下列各式是二次根式吗?
(5) xy (x,y 异号)， (7)
3
(6) a 1 , (8) 2 3
5
?
7
例1
a是怎样的实数时，下列二次根式在实数范围内有意义？
(1) a 1
(2) 1 3a
由a+1 0 得a -1 解：（1）
当a 1时，二次根式 a 1在实数范围内有意义。
方法构想
一个式子中： 若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0； 若含有分式，则要求分母的值不等于0； 若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.
试一试
要使下列各式有意义，字母的取值必须满足什么条件？
(1)
( 2)
x 2 1 (6) ( 3)x 2且x 3 （ 3）x>0 (6) x3 x （4） x 为任何实数 2 x2 ( 4)x x3 1 (7) (7) （5） xx≤0 (5) 3 x 3
16.1.1 二次根式
汉沽八中：陈玉莲
1. 了解二次根式的概念。
2.理解
a (a≥0)，能利用 a (a≥0)解决关于二次根式中
字母取值范围的问题。
3. 学习过程中注重知识间的前后联系，养成及时归纳总结
的良好学习习惯。
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
5
2 3
也叫二次根式。
定义详解
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2.a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号 4. a≥0,
a ≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
人教版八年级数学下册课件：16.1二次根式1.1二次根式的定义(共24张PPT)
.
6.已知∣a+1∣+
＝0，则a+b＝
.
7.已知
+
＝b+8.
(1)求a的值;
(2)求a2-b2的平方根
19
知识点三：二次根式的“双重”非负性
归纳总结
二根式的双重非负性：“a≥0， a ≥0”
在解题中的应用有两种情况: 一是当一个式子有两个二根式，且被开方数互为相反
数时，通常先利用二次根式的被开方数的非负性 ， 建立不等式组，再解不等式组确定未知数的值.
20
知识点三：二次根式的“双重”非负性
归纳总结
ニ是当一个式子含有几个非负数：“绝对值的非负性， 偶次方的非负性，二次根式的非负性，即：
“∣a∣≥0， a2n≥0， a ≥ 0.”式子的和为0时，通常
先利用每个式子都为0建立方程组，再解这个方程 组确定未知数的值.
21
思维导图 二次根式
二次根式的定义以及 二次根式有意义的条件
()
A.12 B.10 C.8 D.6
2.已知y＝
+
-3，则2xy的值为( )
A.-15 B.15 C .-
D.
3.若∣3x-2y-1∣+
＝0，则x= ,y=
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ18
知识点三：二次根式的“双重”非负性
学以致用
4.若(x-2)2+
＝0，则xy的值为( )
A.6 B.-6 C.1 D.-1
5.若
+
＝0，则x的值为
(1)
; (2)
; (3)
;
(4)
+
; (5)
; (6) + .
二次根式的概念八年级数学下册PPT公开课
m.
（1）如左图所示，礼盒的上面是正方形，其面积为3，则它的边长是
3 3 要使二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数≥0
（2）这些式子有什么共同的特征？ 长方形的围 栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为
m.
要使二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数≥0
4
4 2
平方根
11
2
3
42
只有零和正数有算术平方根和平方根，负数没有。
2没有意义
（1）如左图所示，礼
盒的上面是正方形，其 若（二1）次如根左式图在所分示母，的礼位盒置的，上还面要是满正足方分形母，不其能面为积0为3，则它的边长是
要（使2）二如次左根图式所在示实，数一范个围内有意义，需满足被开方数≥0
面积为3，则它的边长 要 只使有二零次 和根 正式 数在 有实 算数 术范 平围方内 根有 和意 平义 方， 根需 ，满 负足 数被 没开 有方 。数≥0
例题2
1 要使二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数≥0 （ 1）要使式子 有意,则 义 x的取值范围是 （2）这些式子有什么共同的特征？
x1 长方形的围 栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为
（2）这些式子有什么共同的特征？
m.
（2）如左图所示，一个
要使二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数≥0
x2 a(x为任意数）
a叫做被开方数
x
a
a
0
a0
根指数为 2
求下列数的算术平方根和平方根
（2）这些式子有什么共同的特征？ 求下列数的算术平方根和平方根 （2）如左图所示，一个
算术平方根
求下列数的算术平方根和平方根
（2）这些式子有什么共同的特征？
八年级数学下册教学课件《二次根式的性质》
A.3
B.﹣3
C.1
D.﹣4 D.﹣1
3.在下列各式中，不是代数式的是( B ).
A.3
B.3＞1+1 C. x
D. x2 3
3
4.a，b，c为三角形的三边长，化简： (a b c)2 b a c .
解：由三角形两边之和大于第三边得： a+b-c>0，a+c-b>0. ∴ (a b c)2 b a c =a+b-c+(a+c)-b=2a.
问题4：回顾我们学过的式子，如5，a，a+2b，﹣ab， s ，
﹣x3， 3 ， a (a≥0)，这些式子有哪些共同特征？
t
含有数或表示数的字母； 用基本运算符号连接数或表示数的字母．
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子， 我们称这样的式子为代数式.
整式 分式 二次根式
练习
4.下列式子：(1)x; (2)a-b；(3) m ；(4) n
这个式子对所有的二次根式都成立吗？
问 题 2 ： 验证 问 题 1的结论是否具有广泛性，下面根据算术 平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0)
a
( a )2
0
0
0
2
算术平方根
2
平方运算
2
4
2
4
1
1
1
3
3
3
…
…
…
根据 问 题 2直接写出结果，然后根据 问 题 2的探究过 程说明理由：
2 4 =__4__；
例3 化简：
（1） 16 ；
（2） (5)2 .
解：（1） 16 = 42 =4； （2） (5)2 = 52 =5.
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( B) A．20或16
B．20
C．16
D．以上答案均不对
1 知识小结
1．形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式，“ ” 称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被 开方数是非负数．
2 易错小结
若式子
(
x
x1 3)2
有意义，则实数x的取值范围是(
B)
A．x≥－1
B．x≥－1且x≠3
C．x >－1
D．x >－1且x≠3
本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意 知x＋1≥0且(x－3)2≠0，解得x≥－1且x≠3.
易错点：考虑不全造成答案不完整.
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
(2)由2a＋3≥0，得a≥－ 3 ，
所以当a≥－
3
2 时，2a＋3在实数范围内有意义．
2
(3)由－a≥0，得a≤0，
所以当a≤0时， a 在实数范围内有意义．
(4)由5－a≥0，得a≤5，
所以当a≤5时， 5 a 在实数范围内有意义．
2 【 2017·成都】二次根式 x 1 中，x的取值范
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
(1)3 64 ；(2) x2 1 ；(3) -5a ；(4) a ＋1(a≥0);
(5) 1
（x 3）2
；(6)
（ - a-4）2 ；(7)
x2 2x 2 ；(8) x .
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具
备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．
二次根式．
1
(5)当x＝－3时，（x 3）2 无意义，∴
（x
1
3）2
也无意义；
当x≠－3时，（x
1
3）2
＞0，∴
1 （x 3）2
是二次根式．
1
∴ （x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0， （ - a-4）2 不是二次根式．
围是( A )
A．x≥1
B．x＞1
C．x≤1
D．x＜1
3
【 2017·日照】式子
a＋1 有意义，则实数 a－2
a的取值范围是( C )
A．a≥－1
B．a≠2
C．a≥－1且a≠2
D．a＞2
4 (中考·滨州)如果式子 2 x 6 有意义，那么x的取值 范围在数轴上表示正确的是( C )
5 【中考·黄冈】下列结论正确的是( B ) A．3a3b－a2b＝2 B．单项式－x2的系数是－1 C．使式子 x 2有意义的x的取值范围是x＞－1 D．若分式 a2 1 的值等于0，则a＝±1 a1
解：(1)∵ 3 64的根指数是3，∴ 3 64 不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x2 1 是二次根式． (3)当－5a≥0，即a≤0时， -5a 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式．
∴ -5a 不一定是二次根式． (4) a ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为
知识点 1 二次根式的定义
思考 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： (1)面积为3的正方形的边长为_____3____，面积为S的正
方形的边长为_____S_____. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,则
它的宽为____1_3_0__m. 2
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t
例2 当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？
解：由x-2≥0，得x≥2. 当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
1 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有 意义？
(1) a 1； (2) 2a 3； (3) a； (4) 5 a .
解：(1)由a－1≥0，得a≥1，所以当a≥1时， a 1 在 实数范围内有意义．
D．5个
知识点 2 二次根式有意义的条件
式子 a 只有在条件a≥0时才叫二次根式． 即a≥0是 a 为二次根式的前提条件.
总结
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反 之也成立，即： a 有意义⇔a≥0.
2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之 也成立，即： a 无意义⇔a＜0.
总结
两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0．
1 【中考·攀枝花】若 y＝ x－3＋ 3－x＋2 ，
则xy＝____9____.
2 【2016·泰州】实数a，b满足 a 1 ＋4a2
＋4ab＋b2＝0，则ba的值为( B )
A．2 C．－2
B. 1
2
D．－
1 2
3 已知实数x，y满足|x－4|＋ y 8 ＝0，则以 x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是
A. x 2
B. x
C. x2 2
D. x2 2
3 下列式子不一定是二次根式的是( A )
A. a C. 0
B. b2 1 D. （a b）2
4 下列式子：
7，2x , 1 m , a2 b2 , 100 , 5 , a 1
中，一定是二次根式的有( C )
A．2个
B．3个
C．4个
(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)
满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为 ___h___.
5
上面问题的结果分别是 3， S , 65 , h ，它 5
们表示一些正数的算术 平方根.
定义 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式； 其中“ ”称为二次根号，a称为被开方数(式)．
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的 定义
1 课堂讲解 二次根式的定义
二次根式有意义的条件 二次根式的“双重”非负性(a≥0， a≥0)
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
填空： 一个正数有___两__个__平方根，它们_互__为__相__反__数___； 0的平方根是__0__；___负__数____没有平方根.
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
1 要画一个面积为18 cm2的长方形，使它的长 与宽之比为3 : 2，它的长、宽各应 取多少？
解：设长方形的长、宽分别为3x cm，2x cm， 由题意得2x×3x＝18， 解得x＝ 3 (负值舍去)．
答：长方形的长、宽应分别取3 3 cm和2 3 cm.
2 下列式子一定是二次根式的是( C )
6 【 2017·绵阳】使代数式 有意义的整数x有( B )
1 ＋ 4－3x x＋3
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
7 【 2017·济宁】若 2x－1＋ 1－2x＋1 在实数范
围内有意义，则x满足的条件是( C )
A．x≥ 1
2
C．x＝
1 2
B．x≤
1 2
D．x≠ 1 2
知识点 3 二次根式的“双重”非负性（a≥0， a ≥0）
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
同时 a (a≥0)也是一个非负数，我们把这个性 质叫做二次根式的双重非负性.
例3 若 x y 1 （y 3）2 0 ，则x-y 的值为 ( C )
A．1 B．－1
C．7
D．－7
分析：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入 代数式进行计算即可得解．因为 x y 1 + (y+ 3)2=0都是非负数，它们的和为0，所以(y+3)2= 0， x y 1 0 ，所以y+3=0，x+y-1=0， 解得y=-3，x=4，所以x-y=7.故选C．
∴ （ - a-4）2 不一定是二次根式．
(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，
∴ x2 2x 2 是二次根式．
(8)∵|x|≥0，∴ x 是二次根式．
总结