1.1正弦定理
版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
必修5课件 1.1.1 正弦定理
当A为锐角
当A为直角或钝角
我舰在敌岛A南50西相距12 nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北 10西的方向以10nmile/h的速度航行，问：我舰需要以多大速度， 沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ 即追击速度为14mile/h
AC BC 又：∵△ABC中，由正弦定理： sin B sin A
AC
2.找 j 与 AB 、AC 、 的夹角 CB
3。利用等式
AC + CB = AB ，与 j 作内积
比值的意义：三角形外接圆的直径2R
注意： （1）正弦定理适合于任何三角形。
a b c （2）可以证明 = = =2R（R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一
ABC中，c 10, A 45 0 , C 30 0 , 求a, b和B 例1、已知在
例2、在 ABC中，b
3, B 60 0 , c 1, 求a和A, C
例3、ABC中，c
6 , A 45 0 , a 2, 求b和B, C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解三角形时，注意大边对大角
小结：1。正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的 问题。 2。正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边 和角的问题。 3。正弦定理及应用于解决两类问题，注意多解情况。 注意： ABC中，已知a, b和A时解三角形的情况： 在
人教版 必修五
第一章
解三角形
1.1.1 正弦定理
正弦定理 证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中：
1 1 1 ab sin C ac sin B bc sin A S△ABC= 2 2 2 1 b a c abc 两边同除以 即得： = = 2 sin C ， sin A sin B
课件9：1.1.1 正弦定理
则 AC 的长为( )
A．4 3
B．2 3
C． 3 【答案】B
D．
3 2
3．已知△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，∠B＝60°，
那么∠A 等于____________． 【解析】根据正弦定理sina A＝sinb B得sin2A＝sin 630°，
所以 sin A＝
2 2.
又因为 a<b，所以∠A<∠B，
2．判断三角形的形状，有两个途径： (1)化角为边； (2)化边为角．灵活运用正弦定理的变形公式进行边角 互化，是解题的关键．
失误防范 (1)利用正弦定理解“已知两边及其中一边对角，求另 一角”的问题时，由于三角形内角正弦值都为正，而 这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准 出错．做题时结合图形并根据“大边对大角”来进行 判断，作出正确的取舍．
2．在△ABC 中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C， 则△ABC 是________三角形．
【解析】由已知得 sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定 理知 a2－b2＝c2，故 b2＋c2＝a2.所以△ABC 是直角三 角形． 【答案】直角
探究点 4 正弦定理的综合应用 例 4 已知△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 所对的边分 别是 a，b，c，向量 m＝(1，1－ 3sin A)，n＝(cos A，1)， 且 m⊥n. (1)求∠A； (2)若 b＋c＝ 3a，求 sin(B＋π6)的值．
解：由正弦定理sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 得： a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 代入coas A＝cobs B＝cocs C中， 得2cRossinAA＝2cRossinBB＝2cRossinCC，
1.1正弦定理
解三角形1.1正弦定理一、知识要点1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等。
即a/sinA==2、解三角形2.1定义：一般的，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做。
2.2利用正弦定理可以解决一下两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另两角及另一边。
3、正弦定理的变形式3.1定理公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R为△ABC外接圆的直径）3.2“角到边”的转换：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R3.3“边到角”的转换：，，3.4“边角”互换：，，，3.5比例性质：4、利用正弦定理解三角形时解的情况二、实操演练题型1：正弦定理的理解1、在△ABC中，一定成立的等式是（）A、asinA=bsinBB、acosA=bcosBC、asinB=bsinAD、acosB=bcosA2、以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是（）A、在△ABC中，a:b:c=sinA:sinB:sinCB、在△ABC中，若sin2A=sin2B，则a=bC、在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B；若A>B，则sinA>sinBD、在△ABC中，a/sinA=（b+c）/（sinB+sinC）3、在△ABC中，下列关系式中一定成立的是（)A、a>bsinAB、a=bsinAC、a<bsinAD、a≥bsinA4、已知△ABC的外接圆半径是2cm，∠A=60°，则BC边长为cm。
题型2：已知两角及一边解三角形5、在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°,BC=3√2，则最长边为( )A、4√3B、2√3C、√3D、√3/26、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对应的边。
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1 正弦定理和余弦定理知识点归纳： 一.正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆的半径） （1）变形公式 ：1.化边为角：2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，；2.化角为边：Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3.::sin :sin :sin a b c A B C = 4.三角形的内切圆半径cb a S r ABC++=∆2二.余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=；变形：（1）bc a c b A 2cos 222-+=；B ac c a b cos 2222-+=； ac b c a B 2cos 222-+=；C ab b a c cos 2222-+=. abc b a C 2cos 222-+=变形：（2）A C B C B A cos sin sin 2sin sin sin 222-+=B C A C A B cos sin sin 2sin sin sin 222-+= C B A B A C cos sin sin 2sin sin sin 222-+=三.三角形中的边角关系和性质：（1）π=++C B A2222π=++C B A 在Rt △中，222c b a =+，C=A+B=900.（2）-tanC B)+(A tan -cosC, B)+cos(A sinC,=B)+sin(A ==（3）2cos 2sinC B A =+ 2sin 2cos CB A =+ 2c o t 2t a nC B A =+ （4）tanA+tanB+tanC= tanA ·tanB ·tanC（5）b a >⇔B A >⇔B A sin sin >.⇔cosA<cosB （6）21sin 21==C ab S ×底×高Rabc 4=.)(2c b a r ++=（三角形的内切圆半径r ，外接圆半径R ）（7）ma+nb=kc ⇔msinA+nsinB=ksinC （8）ma=nb ⇔ msinA=nsinB(9)若A 、B 、C 成等差数列，则B 060=.(10)若三角形中三内角成等差数列，三边成等比数列⇔三角形为正三角形（11）余弦定理是勾股定理的推广：判断C ∠为锐角222c b a >+⇔，C ∠为直角222c b a =+⇔， C ∠为钝角222c b a <+⇔．课堂训练 一、选择题1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于……………………....( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为…………..( ) A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于………………………..( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶2 4．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为…..( ) A ．(2，＋∞) ] B ．(-∞，0) C ．(-21，0)D ．(21，＋∞)5． 在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是………………………..( ) A ．b ＝7，c ＝3，C ＝30° B ．b ＝5，c ＝42，B ＝45° C ．a ＝6，b ＝63，B ＝60° D ．a ＝20，b ＝30，A ＝30° * 6．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则sin sin sin a b cA B C++++等于….( )A ．33B ．3392C ．338D ．239二、填空题7．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． 8．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．9．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．10*．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________． 三、解答题11．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16． (1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．12．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．13．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA b a b a -=+-．14*．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．同步提升 一、选择题：1、在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝120°，则a 等于( )A ．2B ．6C ．2 或6D ．272、在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，则∠C 等于 ( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°3、已知在△ABC 中:，sinA: sinB: sinC ＝3: 5 :7，那么这个三角形的最大角是 ( )A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°4、在△ABC 中，若c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则C 等于 ( )A ．90°B ．120°C ．60°D ．120°或60° 二、填空题：5、已知△ABC 中,A ＝60°,最大边和最小边是方程x 2－9x ＋8＝0的两个正实数根,那么BC 边长______．6、△ABC 中，a 、b 分别是角A 和角B 所对的边，a ＝3,b ＝1,B 为30°，则角A 的值为______.7、在△ABC 中，cos A ＝135,sin B ＝53,则cos C 的值为______. 8、在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 22C ，则△ABC 为______.9、若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，外接圆半径等于_______． 三、解答题：10、在ABC ∆中，,15,8,2==+=+ac c a B C A 求b 的值。
正弦定理课件人教新课标
首页
上一页
下一页
末页
结束
故 A＝90°.
∴C＝90°－B，cos C＝sin B. ∴2sin B·cos C＝2sin2B＝sin A＝1.
∴sin
B＝
2 2.
∴B＝45°或 B＝135°(A＋B＝225°＞180°，故舍去)．
∴△ABC 是等腰直角三角形．
首页
上一页
下一页
末页
首页
上一页
下一页
末页
结束
3．在△ABC 中，已知 A＝30°，B＝60°，a＝10，则 b 等于
A．5 2
B．10 3
()
C.103 3 解析：选 B
D．5 6
由正弦定理得，b＝assiinnAB＝10×1
3 2 ＝10
3.
2
首页
上一页
下一页
末页
结束
4．在△ABC 中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有
首页
上一页
下一页
末页
结束
[活学活用] 在△ABC 中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且 sin A＝2sin B·cos C．试判 断△ABC 的形状． 解：由正弦定理，得 sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴2aR2＝2bR2＋2cR2， 即 a2＝b2＋c2，
下一页
末页
结束
已知两边及其中一边的对角解三角形
[典例] 在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求 A，C，c.
[解]
由正弦定理及已知条件，有sin3A＝sin
425°，得
sin
A＝
3 2.
正弦定理(1)
2 ;
当当当当当AAAA＝＝A＝＝＝11212101202°20°0时0°时°时°时时,,CC,C＝,,＝CC＝＝1＝181801810°808°－0°－0－°°－44－545°45°4－5°－5－°°－11－21201202°10°＝02°＝＝°0＝1°151＝5°15°,5°,c1c,°＝c5＝,＝c°＝b,bscssbissi＝inbsinnisninsinBinBbCnCsBsCi＝B＝inC＝n＝BC66＝－6－226－2－2262.2－.22. .
1.1.1 正弦定理
思考 1 如图，在 Rt△ABC 中，sina A，sinb B，sinc C分别等于什么？
思考 2 在一般的△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C还成立吗？
正弦定理证明：
A
A
B Ob C B`
OC B` B b
b sinB =2R
A b OC
B
a＝ b ＝c sinA sinB sinC
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋30°)＝90°.
∴c＝ b sin
1 B＝1＝2.
2
(3)根据正弦定理，sin A＝asin B＝ 3sin 120°＝3>1.
b
1
2
因为 sin A≤1.所以 A 不存在，即无解．
引申探究 若把本例中的条件“C＝60°”改为“A＝60°”，则角C有 几个值？
＝2R.
梳理 在任意△ABC 中，都有sina A＝sinb B＝sinc C=2R，这就是正弦定理.
特别提醒：正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的 正弦的连等式. (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关 系，可以实现三角形中边角关系的互化.
1.1.1正弦定理(1)课件人教新课标
∴原式 = CF - BD + AE - CF + BD - AE = 0
CF,AE,BD都 是三角形的高.
5.在△ABC中,若B=30°,AB= 2 3 ,AC=2,
求△ABC的面积. B
解：由正弦定理
A
AB = AC sinC sinB
C
得 C = 600或1200，所以 A = 900或300
C. 2
D. 3 3
【解析】由正弦定理， BC = 3 ， sin 45 sin 75
得BC＝3 3 ，故选A.
2.（19广东）已知△ABC中，∠A，∠B，
∠C的对边分别为a，b，c．若a＝c＝
6 2 ，且∠A＝75°，则ｂ＝（ Ａ）
A．2
B．4 2 3
C．4 2 3
D． 6 2
【解析】本题考查三角函数的基本公式、
解：根据正弦定理
a=c sinA sinC
得到a = 10 2.由三角形内角和可以知道 B = 1050
由
b=c
sinB sinC
得到 b = 20sin1050
例3 在ΔABC中，AD为∠A的平分线，请用
正弦定理证明：BD = AB DC AC
A
解：在ΔABD中，AB = BD sinα sinβ
则B = ___3_0_。___
有一解
(3)在ΔABC中，已知a = 2 2,b = 2 3，A = 1200,
则B = __无__解___
无解
注意
在ΔABC中，已知a, b和A时,解三角形的情况： 当A为锐角
当A为直角或钝角
C a
b
A a>b一解 B
Ca
b A
1.1.1正弦定理
1.1.1正弦定理正弦定理是中学数学中比较重要的一个定理，它可以用来求解任意三角形的边长和角度大小。
正弦定理是三角形学中最基本、最通用的定理之一，它的应用范围很广，并且在其他分支学科中也有很多实际应用。
在三角形ABC中，假设BC=a，AC=b，AB=c，∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c。
则正弦定理的表述是：$$\frac{a}{\sin\angle A} = \frac{b}{\sin\angle B} = \frac{c}{\sin\angle C}$$其中，a、b、c分别为三角形ABC中BC、AC、AB的边长，∠A、∠B、∠C分别为三角形ABC的内角大小，sin指的是这些角的正弦值。
正弦定理解题的基本步骤有以下几步：（1）确定三角形ABC的已知数据，包括三边和三角度数中的已知数据；（2）应用正弦定理，根据已知数据求解未知数据；（3）特别注意角度的选择，有时需要用到角的补角或余角。
以下是一些正弦定理的应用实例：例1：已知三角形的两条边及夹角，求第三边的长度。
则：由正弦定理，有：即：因为$\sin\angle C\leq 1$，所以：同理，可以求得BC的另一角度∠C。
解：设三角形ABC的第一边为AB=a，角度A为∠A，角度B为∠B，已知数据为a和∠A、∠B，要求的为第二边的长度BC=b。
所以：其中，角B的大小为：其中角C可以用第二个角度公式求得，即：（注：第二个角度公式指的是正弦公式的逆变形式，即给定三角形的两条边和夹角，则可以根据正弦公式求得未知角度。
）正弦定理不仅仅在数学中有重要的应用，它也被广泛应用于实际生活中的许多领域。
例如，它在建筑学中可以用来计算建筑物的高度和角度；在航空和航海中可以用来计算航线的长度和方向；在地理和地质学中可以用来计算地球上两个点之间的距离等等。
因此，熟练掌握正弦定理的公式和应用方法是十分必要的。
1.1.1正弦定理
正弦定理在解斜三角形中的 三类应用:
(1)、已知两角和任一边,求一角和其他两条边.
aa
bb
c 2R
sin A sin BB sin CC
(2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的 对角(进而求其他的角和边)
4、在ABC中，若 3a=2bsinA,那么B的值是 C
A 、
B 、
3
6
C、 或 2
33
D、 或 5
66
5、在ABC中，AC= 3，A=45 ，C=75 ，那么 BC=___2__
6、在ABC中，a+b=12, A=60 ,B=45 , 那么a=__3_6_-1_2___6___,b=_1_2___6_-_2_4__
(3)S 1 absin C 1 bc sin A 1 ac sin B
2
2
2
例题讲解：
例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B
解：∵c=10 A=450,C=300
∴B= 1800 -(A+C)=1050
由
a sin
A
c
=sin C
得
a=a sin A
sin C
一、前提测评
回顾三角形中的边角关系:
1、边的关系：
1）两边之和大于第三边；两边之差小于第三边
2）在直角三角形中：a2+b2=c2
2、角的关系：
1）A+B+C=1800
2) sin( A B) sin C
sin A B cos C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.1.1正弦定理课件(PPT)
sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
C/ 能否运用向量的方法
a b c 2R 来证明正弦定理呢? sin A sin B sin C
向量法
利用向量的数量积，产生边的长与内角 的三角函数的关系来证明.
在直角三角形中
A
c
b
B
a DC
在锐角三角形中
B
jc
a
A
b
C
证 明 ： 过 点A作 单 位 向 量j垂 直
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a; (2)已知c 10, A 45 ,C 30 , 求b, SABC .
(3)已知A 300 , B C 600 , a 2,求c.
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a; (2)已知c 10, A 45 ,C 30 , 求b, SABC .
b c, sin B sinC
图1 D
C
同理可得 a c ,
sin A sinC
即： a b c sin A sin B sinC
3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
此时也有
sin B
AD c
且
sin（
C）
AD b
sinC
仿(2)可得 a b c
一解
ｂa
作三角形
案例小结！
C
（1）A为锐角 C
b
a
ba a
A
B
a = bsinA (一解）
C
b
A B2
B1
bsinA<a<b
§1 1.1 正弦定理
已破损.现测得如下数据：BC=2.57cm，CE=3.57cm，
BD=4.38cm, C 120 , B 45 .为了复原,请计算原 玉佩两边的长（结果精确到0.01cm）. 分析：将BD,CE分别延长相交于一点A，在
D
A
△ABC中，已知BC的长及角B与C，可以通过
正弦定理求AB，AC的长.
1 中， AB ( x, y), AC (u, v) .求证 ABC 的面积为
1 | xv yu | . 2 1 证明： S | AB | | AC | sin A 2 S
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 | AB | | AC | sin 2 A 2 2 | AB | | AC | (1 cos 2 A) 2 2 | AB | | AC | (| AB | | AC | cos A) 2 2 2 (| AB | | AC |) ( AB AC )
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的
a b c sin A sin B sin C
变式:
a b b c c a ; ; 1 sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2 sin A :sin B :sin C a : b : c
例1 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角
t 2 t1 8.6 2.0 6.6(h)
答：约 2h 后将要遭受台风影响，持续约 6.6h.
问题1 由例2我们发现，已知两边和其中一边的对角，解三角形 时会出现两解的情况.还会出现其他情况吗？你能从代数或 几何角度给出解释吗？
问题2 如图，在Rt △ABC中，斜边AB是△ABC外接圆的直径（设 Ｒt△ABC外接圆的半径为R），因此
1.1.1正弦定理课件人教新课标2
此时也有
sin B
AD c
且
sin（
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
AD b
sinC
可得
abc sin A sin B sin C
B
A c
b
图2 C D
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即 abc sin A sin B sinC
思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？
另证1:
a b c 2R sin A sin B sinC
3 sin30
3
a
16
2
16 3 16
16
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
c asinC 16. sin A
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
C
26
30
得 sin B bsin A 26sin30 13 A 300
B
a
30 30
所以Ｂ＝25.70, 或Ｂ＝1800－25.70=154.30
由于154.30 +300>1800 故B只有一解 （如图）
C=124.30, c asinC 49.57
sin A
sin 25.7 13 30
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形
1 ac sin B 2
剖析定理、加深理解 正弦定理： a b c 2R
sin A sin B sinC
1、正弦定理可以解决三角形中的问题：
人教版必修五1.1.1正弦、余弦定理课件
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则
sinA+sinB__>__sinC.
(3)在ABC中，C 2B,则sin 3B 等于(B) sin B
A.b/a
B.a/b
C.a/c
D.c/a
正弦定理、余弦定理
正弦定理、余弦定理
例题讲授
例1，在ABC中，已知A 32.0, B 81.8, a 42.9cm,解三角形 解：根据三角形内角和定理， C 180 ( A B) 180 (32.0 81.8 ) 66.2 根据正弦定理，b asin B 42.9sin 81.8 80.1(cm)
c a sin C 20sin 24 13(cm). sin A sin 40
正弦定理、余弦定理
例题讲授
例3 在 ABC 中，B 45,C 60,a 2( 3 1) ，求
ABC的面积S．
解： A 180 (B C ) 75
A
∴由正弦定理得 b a sin B 2(
3
1)(
练习：
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. asin A bsinB
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）在 ABC中，若
a cos
A
b cos B
c cos C
，则 ABC 是(
D)
2
2
2
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
sin A sin 32.0 根据正弦定理，c asin C 42.9sin 66.2 74.1(cm)
第1章1.1.1第2课时 正弦定理课件人教新课标
1．满足 B＝60°，AC＝12，BC＝k 的△ABC 恰有一个，则 k 的
取值范围是( )
A．k＝8 3
B．0＜k≤12
C．k≥12
D．0＜k≤12 或 k＝8 3
D [已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的 对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况进行讨论：当 AC＜ BCsin B，即 12＜ksin 60°，即 k＞8 3时，三角形无解；当 AC＝BCsin B，即 12＝ksin 60°，即 k＝8 3时，三角形有一解；当 BCsin B＜AC ＜BC，即 23k＜12＜k，即 12＜k＜8 3时，三角形有两解；当 0＜ BC≤AC，即 0＜k≤12 时，三角形有一解．综上，0＜k≤12 或 k＝8 3 时，三角形有一解．]
＋B>2π⇔A>π2－B⇔sin A>cos B，cos A<sin B.
【例 3】 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c， m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝－sin 2C.
(1)求 C 的大小； (2)若 c＝2 3，A＝6π，求△ABC 的面积． 思路探究：(1)由 m·n＝－sin 2C，利用三角恒等变换求出 C 的大 小； (2)由正弦定理可得 b 的大小，利用三角形的面积公式求解．
bsin A<a<b
两__解__
A为
___a_<_b_s_i_n_A_
无解
锐角
思考：在△ABC 中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的
个数．
[提示] sin B＝basin A＝190× 23＝5 93，
而
35 2<
9
1.1.1公开课正弦定理ppt
3
2（三角形中大边对大角）
a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 750
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
变式: 1 a b ; b c ; c a
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
定理的应用举例
例1
在ABC中，已知A 32.00 , B 81.80 , a 42.9cm, 解三角形
从表达式的结构看，正弦定理所表达的边与对角 正弦的比是严格的对边与对角的正弦比。
正 弦 定
abc sin A sin B sin C
理
bsin C csin B b sin B c sin C
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
1、已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形 的其他的边和角。
2.已知三角形 ABC 中，a=50,B=450,C=1050,求 S ABC.
62（5 3 1）
3.在ABC中, a 3,b 1, B 30, 则其面积等于 __3_或___3____
24
1.在△ABC中，A 750, B 300, AC 10, 求AB, BC。
2 1
2
a
10
C
2
sin B sin C
∴ b c sin B 10sin 105
sin C sin 30
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
9、练习2课本49页1,2
（1）在什么情况下会出现两个解？
10、解的情况小结
（1）先按边角关系写出正弦定理 （2）再按照边角大小关系来决定
（大边对大角）
11、同ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ们，再见
下回继续
6、大功告成
a/sinA=b/sinB=c/sinC在三角形中总是 成立的，它叫正弦定理。有点小激动 了，先歇会儿，记住它，指不定练习 就能用上了。
7、练习1课本47页1,2
（1）先写出定理，看看能用上吗？ （2）结果是多少呢？
8、问题一
（1）在例2中，已知两边和其中一 边的对角，解三角形时会出现两解 的情况，还会有其它情况吗？
1.1正弦定理
1、问题提出：三角形的边和角有什么关 系呢？在直角三角形中， a/sinA=b/sinB=c/sinC 这个等式对等边三角形明显也成立，对一 般的锐角，钝角三角形是否成立呢？
2、在锐角三角形中先试试吧
？？？ 只知道在直角三角形中的，这个锐角 三角形如何处理呢（思考中…….）
3、锐角三角形转化为直角三角形
一分为二，这回总可以了吧
4、怎么表达呢
这两个直角三角形有一公共边AD哦 左边直角三角形：AD/AB=sinB 右边直角三角形：AD/AC=sinC 那么，ABsinB=ACsinC=AD,这回差不多 了。
5、继续思考~~~~~~
再来一条高就可以了，在锐角三角 形中完成了。 钝角三角形估计也可试试。