解三角形章末检测卷(含答案)

解三角形章末检测卷 (时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.在△ABC 中，a cos(π2－A )＝b cos(π

2－B )，则△ABC 的形状是( )

A.等边三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

2.在△ABC 中，sin A ＝3

4，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )

A.(

15

2

，＋∞) B.(10，＋∞) C.(0,10)

D.(0，403

]

3.在△ABC 中，若a ＝5

2

b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.

53B.54C.55 D.56

4.已知△ABC 的外接圆的半径是3，a ＝3，则A 等于( ) A.30°或150° B.30°或60° C.60°或120° D.60°或150°

答案 A

5.在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

D.等腰三角形 6.在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A.2 5 B. 5 C.25或 5

D.以上都不对

7.已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A.(2，＋∞) B.(－∞，0) C .(－1

2

，0)

D.(1

2

，＋∞) 8.△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为1

3，则其外接圆的直径为( )

A.

92B.92C.92

D.9 2 9.在△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin C cos B ＋cos C ，则△ABC 为( )

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰或直角三角形

10.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形

C.△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形

D.△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形

11.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A.a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B.b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C.a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D.a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解

12.在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21B.106C.69D.154

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C ＝________.

14.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.

15.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边.若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.

16.太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos B ＝35.

(1)若b ＝4，求sin A 的值；

(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b 、c 的值.

18.(12分)如图，已知A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB 与BC 各等于1 km ，从三点分别遥望塔M ，在A 处看见塔在北偏东45°方向，在B 处看见塔在正东方向，在C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路ABC 的最短距离.

19.(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos A ＝45.

(1)求sin 2B ＋C

2

＋cos 2A 的值；

(2)若b ＝2，△ABC 的面积S 为3，求a .

20.(12分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值.

21.(12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2). (1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π

3，求△ABC 的面积.

22.(12分)如图所示，一船在海上由西向东航行，测得某岛M 在A 处的北偏东α角，前进4 km 后，测得该岛在B 处的北偏东β角，已知该岛周围3.5 km 范围内有暗礁，现该船继续东行.

(1)若α＝2β＝60°，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B 处向东航行多少距离会有触礁危险？ (2)当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？

答案

1.答案 B

解析 原式可化为a sin A ＝b sin B ，由正弦定理知a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形. 2.答案 D

解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，

∴c ＝

403sin C .∴0

. 3.答案 B

解析 由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，

∴a ＝

52b 可化为sin A sin B ＝52

. 又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，

∴cos B ＝

54

. 4.答案 A

解析 根据正弦定理得

a sin A ＝2R ，sin A ＝a 2R ＝12

， ∵0°

解析 由cos A cos B >sin A sin B ， 得cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角. 6. 答案 C