物理学中的对称性

物理学中的对称性

摘要：物理学中关于对称性探索的一个重要进展就是建立诺特定理，定理指出，如果运动定律在某一变换下具有不变性，必然相应地存在着一条守恒定律。守恒定律与对称性之间也存在着莫大的联系，各种守恒定律的出现不是偶然的，是物理规律具有多种对称性的必然结果。

关键词：物理学、对称性、守恒定律

对称现象遍布于自然界中，人体的左右对称，平面镜成像的对称，正方形的中心对称等等。对称现象是物质世界某种本质和内在规律的体现，物理学以研究物理世界规律为对象，是研究自然界中物体运动变化规律的一门科学，它是自然科学中的一个重要的组成部分，那么物理中蕴含着对称性也是必然的。例如：宏观物质世界中的时空对称性，微观物质世界中的对称性，物理量之间的对称性，物理学中的形体对称性等。物理学是美的，这些对称性都完美的体现出了物理学之美。本文将分别从四个方面来研究物理学中的对称性。前三个方面主要讲解物理学中对称性的概念、对称性与守恒定律以及物理学中的形体对称，第四个方面是通过对电与磁的对称性分析，用更直观的对比来认识物理学中的对称性。一、什么是对称性？

按照对称的定义来讲，对称就是指物体相对而又相称，或者说它们相仿，相等。所谓对称性是指：某种变化下的不变性。自然界中的事物的对称性表现在两方面。第一：物体的形状或几何形体的对称性。例如：五角星的旋转对称，正方体的中心对称性。这是根据对称性的定义，我们使五角星和正方体都绕它们的中心旋转180°，在这样的变换下，变换后图形具有不变性。第二：事物进程或物理规律的对称性。所谓物理规律的对称性是指：物理规律在某种变换下的不变性。例如：一个物体做平抛运动，水平初速度为V，抛出时离水平地面的高度为H，空气阻力忽略不计。在其他外部条件都相同的情况下，在不同的地方使该物体做如上所述的运动，该物体的运动状况是否相同呢？我们知道，平抛运动可以看成

两种运动的合成：水平方向上是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动。在其他条件相同的情况下，水平方向上都是以速度V 作匀速直线运动。在竖直方向上，

下落的时间可以由公式g 为重力加速度）求出，我们知道重力加速度在不同的地方是不相同的，也就是说上述例子中的物体在不同地方的下落时间是不相同的。这就说明了自由落体运动在不同的地方并不具有不变性，但是，我们不可否认的是下落时间和高度以及加速度它们之间的相互关系是并不会因为地点的不同而不相同，所以它的物理规律始终是保持不变的。 二、对称性和守恒定律

对物质运动基本规律的探索中，对称性和守恒定律的研究占有重要的地位。从历史发展过程来看，无论是经典物理学还是近代物理学，一些重要的守恒定律常常早于普遍的运动规律而被认识。质量守恒、能量守恒、动量守恒、电荷守恒就是人们最早认识的一批守恒定律。它们的出现也不是偶然的，而是因为物理规律具有多种对称性的必然结果。这些守恒定律的确立为后来认识普遍运动规律提供了线索和启示。

物理学中关于对称性探索的一个重要进展是建立诺特定理，定理指出，如果运动定律在某一变换下具有不变性，必相应地存在一条守恒定律。简单的说就是：物理定律的一种对称性，对应地存在一条守恒定律。物理学中常见的物理定律的对称性主要有：(1)物理定律的空间平移对称性。(2)物理定律的转动对称性。(3)物理定律的时间平移对称性。这种对称性是指物理定律在洛伦兹变换下保持形式不变。例如：运动定律的空间平移对称性导致动量守恒定律，时间平移对称性导致能量守恒定律，空间各向同性（空间旋转对称性）导致角动量守恒定律。 1、空间平移对称性和动量守恒

考虑一对粒子A 和B ，它们的相互作用势能为U 。现将A 沿任意方向移动到A ' (见图2.1(a))，这位移造成势能的改变S U F BA ∆∙-=∆ (抵抗B 给A 的力所作的功)；若A 不动，将B 沿反方向移动相等的距离到B '（见图2.1（b ）），则势能的改变量为()S S U F F AB AB ∆∙=∆-∙-='∆ (抵抗A 给B 的力所作的功)。

图2.1空间平移不变性与动量守恒

上述两种情况终态的区别仅在于由两粒子组成的系统整体在空间有个平移，它们的相对位置是B A B A '='是一样的。空间平移不变性意味着两粒子之间的相互作用势能只与它们的相对位置有关，与他们整体在空间的平移无关，从而两种情况终态的势能应该是相等的。即：

U U U U '∆+=∆+ U U '∆=∆∴

S S F F AB BA ∆∙=∆∙-∴

因此F F AB BA -=……① 由牛顿第二定律，有：

dt

d

dt

d

p

F p

F A

AB A

BA =

=

,……②

由①、②两式可得

()0=+=

+

p p p

p

B

A

A

A

dt

d

dt

d

dt

d

即二粒子体系的总动量

()p

p

B

A

+

不随时间改变。这就是“动量守恒”。这样，我

们从空间的平移不变性推出了动量守恒定律。 2、时间平移对称性和机械能守恒

在保守系统中，物体之间的相互作用可通过相互作用势来表达，在一维的情况下，物体所受的力与势函数之间存在如下关系：

dx

d F E P -

=

时间平移对称性，或者说时间均匀性意味着这种相互作用势只与两粒子的相对位置有关。即：对于同样的相对位置，粒子间的相互作用势不会随着时间而改变。在一维情况下有：

()x E E

P P

=

保守系统中的物体，在势场中从位置X 1 移动到位置X 2 时所做的功为：

()⎰⎰⎰-=-==x x d dx x x dx

d

dx x x x F E E

W P

P

2

1

212

112

根据动能定理，力F 对物体所做的功W 12等于物体始末状态与初态动能之差。即有：

E E W

K K 1212

-=

联立以上两式便得：

常量=+=+E E E E

K P K P 2211

即系统机械能守恒。这就从时间均匀性推导出机械能守恒。

3、对于每一种对称性都存在着一个守恒定律，下表即为物理学中常见的对称性及与其相对应的守恒定律。

三、物理学中的形体对称

物理学还讲究形体的对称，形体上的对称不仅仅表现出了外在的对称美，它对于我们解决一些复杂的问题也有帮助。例如：一张无限大平面方格子的导体网络，方格子每一条边的电阻是R ，在这张方格子网络的中间相邻点连出两条导线，问这两条导线之间的等效电阻是多少？

这个问题看起来很复杂，因为它涉及到无穷多个回路和无穷多个节点，如果