解析线性代数-秩

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解析线性代数-秩

高杨——数学教研室

抽象是线性代数这门学科最大的特点，其中秩有是贯穿着整个学科最抽象的概念，是同学们最不好理解的地方，接下来我们就来分析一下这一部分的考点、知识点及解题思路。

首先这一部分主要围绕矩阵的秩、向量组的秩、矩阵的秩和向量组秩的关系、来考题。如果单独考题，那就是选择或填空。在具体题目中还结合向量相关无关，向量的线性表出，方程组解的情况及特征值和二次型来综合出题，小题大题都可能涉及。在做题前，我们先来掌握下秩的概念，公式及定理：

1. 矩阵的秩：非零子式的最高阶数，

向量组的秩：极大线性无关组中所含向量的个数

二者关系：矩阵的秩等于它的行向量组或列向量组的秩

2. 与秩相关的公式

1）()12,,...,s r s ααα≤，()()min ,mn r A m n ≤.

2）()()

(),0T r A r A r kA k ==≠

3）如果12,,...,s ααα可以由向量组12,,...,t βββ线性表出，

则()()1212,,...,,,...,s t r r αααβββ≤；{}()min (),()r AB r A r B ≤. 推论：ⅰ）()()()r A B r A r B ±≤+；

ⅱ）当P 可逆时()()r AP r A =，()()r PB r B =；

ⅲ）如果两向量组12,,...,s ααα与12,,...,t βββ等价，

则()()1212,,...,,,...,s t r r αααβββ=

4）如果AB O =，则()()r A r B n +≤ 推论：*,()()1,()10,()1n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩

5）()()A O r r A r B O B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

3. 与秩相关的定理

1）同型矩阵,A B 等价的充要条件：()()r A r B =；向量组与12,,...,s ααα与12,,...,t βββ等价的必要条件：()()1212,,...,,,...,s t r r αααβββ=.