《对数函数及其性质》典型例题
对数函数及其性质练习题及答案解析
1.函数f (x )=lg(x -1)+4-x 的定义域为( )A .(1,4]B .(1,4)C .[1,4]D .[1,4)解析:选A.⎩⎪⎨⎪⎧x -1>04-x ≥0,解得1<x ≤4. 2.函数y =x |x |log 2|x |的大致图象是( )解析:选D.当x >0时,y =x x log 2x =log 2x ;当x <0时,y =x -xlog 2(-x )=-log 2(-x ),分别作图象可知选D.3.(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知函数f (x )=|lg x |,若a ≠b ,且f (a )=f (b ),则ab =( )A .1B .2C.12 D.14解析:选A.如图由f (a )=f (b ),得|lg a |=|lg b |.设0<a <b ,则lg a +lg b =0.∴ab =1.4.函数y =log a (x +2)+3(a >0且a ≠1)的图象过定点________.解析:当x =-1时,log a (x +2)=0,y =log a (x +2)+3=3,过定点(-1,3).答案:(-1,3)1.下列各组函数中,定义域相同的一组是( )A .y =a x 与y =log a x (a >0,且a ≠1)B .y =x 与y =xC .y =lg x 与y =lg xD .y =x 2与y =lg x 2解析:选C.A.定义域分别为R 和(0,+∞),B.定义域分别为R 和[0,+∞),C.定义域都是(0,+∞),D.定义域分别为R 和x ≠0.2.函数y =log 2x 与y =log 12x 的图象关于( )A .x 轴对称B .y 轴对称C .原点对称D .直线y =x 对称解析:选A.y =log 12x =-log 2x .3.已知a >0且a ≠1,则函数y =a x 与y =log a (-x )的图象可能是( )解析:选B.由y=log a(-x)的定义域为(-∞,0)知,图象应在y轴左侧,可排除A、D 选项.当a>1时,y=a x应为增函数,y=log a(-x)应为减函数,可知B项正确.而对C项,由图象知y=a x递减⇒0<a<1⇒y=log a(-x)应为增函数,与C图不符.4.对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为()xA.y=log4x B.y=log14x D.y=log2xC.y=log12解析:选D.设y=log a x,∴4=log a16,X k b 1 . c o m∴a4=16,∴a=2.5.已知图中曲线C1,C2,C3,C4分别是函数y=log a1x,y=log a2x,y=log a3x,y=log a4x 的图象,则a1,a2,a3,a4的大小关系是()A.a4<a3<a2<a1B.a3<a4<a1<a2C.a2<a1<a3<a4D.a3<a4<a2<a1解析:选B.由已知图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系,再利用log a a=1结合图象求解.6.函数y=log2x在[1,2]上的值域是()A.R B.[0,+∞)C.(-∞,1] D.[0,1]解析:选D.∵1≤x≤2,∴log21≤log2x≤log22,即0≤y≤1.7.函数y=log1(x-1)的定义域是________.2解析:由0<x-1≤1,得函数的定义域为{x|1<x≤2}.答案:{x|1<x≤2}8.若函数f(x)=log a x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a的值为________.解析:∵0<a<1,∴函数f(x)=log a x在(0,+∞)上是减函数,∴在区间[a,2a ]上,f (x )min =log a (2a ),f (x )max =log a a =1,∴log a (2a )=13,∴a =24. 答案:249.已知g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x x ≤0ln x x >0,则g [g (13)]=________. 解析:∵13>0,∴g (13)=ln 13<0, ∴g [g (13)]=g (ln 13)=e ln 13=13. 答案:1310.求下列函数的定义域:(1)y =log 333x +4; (2)y =log (x -1)(3-x ).解:(1)∵33x +4>0,∴x >-43, ∴函数y =log 333x +4的定义域为(-43,+∞). (2)∵⎩⎪⎨⎪⎧ 3-x >0x -1>0x -1≠1,∴⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3x ≠2. ∴函数的定义域为(1,2)∪(2,3).11.已知f (x )=log 3x .(1)作出这个函数的图象;(2)当0<a <2时,有f (a )>f (2),利用图象求a 的取值范围. 解:(1)作出函数y =log 3x 的图象如图所示.(2)令f (x )=f (2),即log 3x =log 32,解得x =2.由如图所示的图象知:当0<a <2时,恒有f (a )<f (2). 故当0<a <2时,不存在满足f (a )>f (2)的a 的值.12.函数f (x )=log 2(32-x 2)的定义域为A ,值域为B .试求A ∩B . 解:由32-x 2>0得:-42<x <42,∴A =(-42,42).又∵0<32-x 2≤32,∴log 2(32-x 2)≤log 232=5,∴B =(-∞,5],∴A ∩B =(-42,5].。
高中数学-对数函数图像和性质及经典例题
对数函数的概念: 函数y 对数函数的图象和性质高中数学-对数函数图像和性质及经典例题第一部分:回顾基础知识点log a x(a 0,且a 1)叫做对数函数其中x是自变量,函数的定义域是(o, +3).在同一坐标系中画岀下列对数函数的图象;(1) y log 2 x (2)y log! x2(3)y log3x(4)y log i x3 ■0 5 -・图象特征函数性质a 10 a 1 a 10 a 1函数图象都在y轴右侧函数的定义域为(0,+x)图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点(1 , 1) 1 1自左向右看,图象逐渐上升自左向右看,图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0x 1, log a x 00 x 1, log a x 0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于00 x 1, log a x 0x 1, log a x 0 -1 --底数a是如何影响函数log a x 的.规律:在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大第二部分:对数函数图像及性质应用例1 •如图,A , B , C 为函数y log i x 的图象上的三点,它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t 1).2⑴设 ABC 的面积为S 。
求S=f (t ); ⑵判断函数S=f (t )的单调性;解:(1 )过A,B,C,分别作AAi,BB i ,CC i 垂直于x 轴,垂足为 Ai,B i ,C i ,则 S =S 梯形 AA i B i B +S 梯形 BB 1C 1C — S上是减函数,且 1<u“ 2 (x 23) 3 解:(1 )••• f(x -3)=lg2,(x 3) 3••• f(x)=lg x —3l t24t汽6log 3(1 J )t 2 4t2(2)因为v= t4t 在[1,)上是增函数,且v 5,梯形 AA i C i C.S log 3 u 在上是增函数,所以复合函数 S=f (t )Iog 3(1t 2上是减函数(3)由(2)知t =1 时,S 有最大值, 最大值是f (1) log 39 52 log3 59例2 .已知函数f(x -3)=lg2x x 26(1)f(x)的定义域;⑵判断f(x)的奇偶性;⑶求f(x)的反函数;⑷若f[ (x)]=lgx,求(3)的值。
对数函数及其性质(比较大小)经典练习及答案
[基础巩固]1.(多选)若log 2a <0,⎝⎛⎭⎫12b >1,则( )A .0<a <1B .a >1C .b >0D .b <0解析 由log 2a <0得0<a <1,由⎝⎛⎭⎫12b >1得b <0,所以选A 、D 项.答案 AD2.函数f (x )=| log 12x |的单调递增区间是( )A .⎝⎛⎦⎤0,12 B .(0,1] C .(0,+∞) D .[1,+∞)解析 f (x )的图象如图所示,由图象可知单调递增区间为[1,+∞).答案 D3.(2021·新高考全国卷Ⅱ)已知a =log 52,b =log 83,c =12,则下列判断正确的是( ) A .c <b <aB .b <a <cC .a <c <bD .a <b <c解析 a =log 52<log 55=12=log 822<log 83=b ,即a <c <b . 故选C. 答案 C4.不等式log 2(2x +3)>log 2(5x -6)的解集为________.解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +3>0,5x -6>0,2x +3>5x -6,解得65<x <3,所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫65,3. 答案 ⎝⎛⎭⎫65,35.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x -1),x ≥2,2x ,x <2,则f (log 23)=________;不等式f (x )>4的解集为________.解析 ∵log 23<log 24=2,∴f (log 23)==3,不等式f (x )>4可化为:⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2,log 2(x -1)>4,或⎩⎪⎨⎪⎧x <2,2x >4. 解得x >17或无解.所以原不等式的解集为(17,+∞).答案 3 (17,+∞)6.已知函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),且f (3)-f (2)=1.(1)若f (3m -2)<f (2m +5),求实数m 的取值范围;(2)求使f ⎝⎛⎭⎫x -2x =log 3272成立的x 的值. 解析 因为f (3)-f (2)=1,所以a =32,所以f (x )=log 32x . (1)因为32>1,所以由f (3m -2)<f (2m +5)得⎩⎪⎨⎪⎧ 3m -2>0,2m +5>0,3m -2<2m +5,所以23<m <7. (2)由f ⎝⎛⎭⎫x -2x =log 32 72,即log 32⎝⎛⎭⎫x -2x =log 3272, 所以x -2x =72.所以x =-12或x =4. [能力提升]7.已知f (x )=|ln x |,若a =f ⎝⎛⎭⎫15,b =f ⎝⎛⎭⎫14,c =f (3),则( ) A .a <b <cB .b <c <aC .c <a <bD .c <b <a 解析 因为f (x )=|ln x |,所以a =f ⎝⎛⎭⎫15=⎪⎪⎪⎪ln 15=ln 5,b =f ⎝⎛⎭⎫14=⎪⎪⎪⎪ln 14=ln 4,c =f (3)=|ln 3|=ln 3, 因为y =ln x 是单调递增函数,所以ln 5>ln 4>ln 3,即a >b >c ,故选D.答案 D8.设a =log 132,b =log 23,c =⎝⎛⎭⎫12 0.3 ,则a ,b ,c 从小到大的顺序是________. 解析 因为a =log 13 2<log 131=0,b =log 23>log 22=1,0<c =⎝⎛⎭⎫12 0.3 <⎝⎛⎭⎫12 0 =1,所以a <c <b .答案 a <c <b9.定义:区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1.已知函数y =|log 0.5x |的定义域为[a ,b ],值域为[0,2],则区间[a ,b ]的长度的最大值为________.解析 函数y =|log 0.5x |的值域为[0,2],则由0≤|log 0.5x |≤2,得14≤x ≤4, 所以[a ,b ]长度的最大值为4-14=154. 答案 15410.已知函数f (x )=log a (1-x )+log a (x +3)(0<a <1).(1)求函数f (x )的定义域;(2)若函数f (x )的最小值为-2,求a 的值.解析 (1)要使函数有意义,则有⎩⎪⎨⎪⎧1-x >0,x +3>0, 解得-3<x <1,所以定义域为(-3,1).(2)函数可化为f (x )=log a [(1-x )(x +3)]=log a (-x 2-2x +3)=log a [-(x +1)2+4],因为-3<x <1,所以0<-(x +1)2+4≤4,又0<a <1,所以log a [-(x +1)2+4]≥log a 4, 即f (x )的最小值为log a 4.由log a 4=-2,得a -2=4,所以a =4-12=12. [探索创新]11.已知函数f (x )=a x -1(a >0且a ≠1).(1)若函数y =f (x )的图象经过点P (3,4),求a 的值;(2)若f (lg a )=100,求a 的值;(3)比较f ⎝⎛⎭⎫lg 1100与f (-2.1)的大小,并写出比较过程. 解析 (1)因为函数y =f (x )的图象经过P (3,4), 所以a 3-1=4,即a 2=4.又a >0,所以a =2.(2)由f (lg a )=100知,a lg a -1=100.∴lg a lg a -1=2(或lg a -1=log a 100).∴(lg a -1)·lg a =2.∴(lg a )2-lg a -2=0,∴lg a =-1或lg a =2,∴a =110或a =100. (3)∵f ⎝⎛⎭⎫lg 1100=f (-2)=a -3,f (-2.1)=a -3.1, 当a >1时,y =a x 在(-∞,+∞)上为增函数, ∵-3>-3.1,∴a -3>a-3.1, 即f ⎝⎛⎭⎫lg 1100>f (-2.1); 当0<a <1时,y =a x 在(-∞,+∞)上为减函数, ∵-3>-3.1,∴a -3<a-3.1, 即f ⎝⎛⎭⎫lg 1100<f (-2.1).。
对数函数及其性质
y loga x和y log 1 x 的图像关于x轴对称
a
y
探索发现:认真观察 函数y=log2x 的图象填写下表
2 1 0 -1 -2
1 1 4 2
1 2 3
4
x
图象特征
函数性质
图象位于y轴右方
定义域 : ( 0,+∞)
图象向上、向下无限延伸 值 域 :
R
自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是:增函数
5
4 4
4
y=ax
(a>1)
3
y=ax
0<a<1
-4 -4 -2 -2
3 3
2 2
2
1 1
1
2 2
-4
-2
2
4
6
-1
y=logax (a>1)
-1 -1
y=logax
0<a<1
4 4
6
-2 -2
-2
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)及其的反函数y=logax (a>0,且a≠1)的关系:
(1)函数与其反函数的图象关于直线y=x对称。 (2)函数与其反函数的定义域,值域互调。
例1.比较下列各组数中两个值的大小:
1log2 3.4, log2 8.5
2log0.3 1.8, log0.3 2.7
解:(1)∵y=log2x在(0,+∞)上是增函数, 且3.4<8.5, ∴log23.4<log28.5.
(2)∵y=log0.3x在(0,+∞)上是减函数, 且1.8<2.7, ∴log0.31.8>log0.32.7.
最值
对数函数及其性质题型及解析
对数函数及其性质题型及解析1.给出下列函数:①y=logx 2;②y=log 3(x ﹣1);③y=log x+1x ;④y=log πx ;⑤y=log x 2;⑥y=log 8x ;⑦y=lnx ;⑧y=log x (x+2);⑨y=2log 4x ;⑩y=log 2(x+1),其中是对数函数的为___________分析:根据对数函数的定义,y=log a x (a >0,且a ≠1),逐一分析给定函数是否为指数函数,可得结论 解:①y=232log x 的真数为x 2,故不是对数函数;②y=log 3(x-1)的真数为x-1,故不是对数函数;③y=log x+1x的底数为x+1,故不是对数函数;④y=log πx 是对数函数;⑤y=log x 2不是对数函数;⑥y=log 8x 是对数函数;⑦y=lnx 是对数函数;⑧y=log x (x+2)不是对数函数;⑨y=2log 4x 不是对数函数;⑩y=log 2(x+1)不是对数函数2.求下列函数的定义域 (1)y=log a (4﹣x ) (2)y=log a x 2(3)y=log a [log a (log a x )] 分析:根据对数函数的真数大于0,列出不等式,求出对应函数的定义域即可. 解:(1)∵函数y=log a (4﹣x ),∴4﹣x >0,解得x <4,∴函数y 的定义域为(﹣∞,4);(2)∵函数y=log a x 2,∴x 2>0,解得x ≠0,∴函数y=log a x 2的定义域为{x|x ≠0}.(3)∵log a (log a x )>0,log a x >0,当a >1时,x >a ,当0<a <1时,a <x <1,∴a 为(a ,+∞)∪(a ,1) 3.比较下列各组数中值的大小.(1)log 23.4,og 28.5;(2)log 0.31.8,log 0.32.7;(3)log a 5.1,log a 5.9(4)1.10.9,log 1.10.9,log 0.70.8 (5)log 20.4,log 30.4 (6)log 67,log 76;(7)log 3π,log 20.8(8)log 30.2,log 40.2;(9)log 3π,log π3. (10)ln0.3,ln2;(11)log a 3.1,log a 5.2(a >0,且a ≠1);(12)log 3π,log π3.分析:根据对数函数的图象和性质或者换底公式即可比较log 30.2,log 40.2的大小或者寻找中间量1可比较log 3π,log π3的大小,对于y=log a x ,当a >1时,函数为增函数,当0<a <1时,函数为减函数,可比较大小 解:根据对数函数的图象和性质,对于y=logax ,当a >1时,函数为增函数,当0<a <1时,函数为减函数, 所以(1)log 23.4<log 28.5;(2)log 0.31.8>log 0.32.7;(3)当a >1时,log a 5.1<log a 5.9,当0<a <1时,log a 5.1>log a 5.9;(4)1.10.9>1,log 1.10.9<0,0<log 0.70.8<1,∴1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9;(5)log 20.4<log 30.4;(6)∵<<,∴>;(7)∵<<,∴> (8)log 30.2=,log 40.2=;∵log 0.24<log 0.23<0,∴<;即log 30.2<log 40.2;(9)∵log 3π>1,log π3<1,∴log 3π>log π3;(10)因为函数y=lnx 是增函数,且0.3<2,所以ln0.3<ln2.(11)当a >1时,函数y=log a x 在(0,+∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以log a 3.1<log a 5.2,当0<a <1时,函数y=log a x 在(0,+∞)上是减函数,又3.1<5.2,所以log a 3.1>log a 5.2.(12)因为函数y=log 3x 是增函数,且π>3,所以log 3π>log 33=1,同理,1=log ππ>log π3,即log 3π>log π3.4.求函数y=log 0.5(4﹣x 2)的单调区间分析:令t=4﹣x 2>0,求得函数的定义域为(﹣2,2),且y=log 0.5t ,再利用二次函数的性质求得t 在定义域内的单调增区间,即为函数y 的减区间;函数t 在定义域内的单调减区间,即为函数y 的增区间.解:令t=4﹣x 2>0,求得﹣2<x <2,故函数的定义域为(﹣2,2),且y=log 0.5t ,故本题即求函数t 在定义域内的单调区间.由于函数t 在定义域内的单调增区间为(﹣2,0],故函数y 的减区间为(﹣2,0];由于函数t 在定义域内的单调减区间为(0,2),故函数y 的增区间为(0,2)5.已知对数函数y=log a x 在区间[3,6]上的最大值比最小值大2,求实数a 的值分析:利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值列出不等式解出.需要分情况讨论 解:(1)当a >1时,y=log a x 在区间[3,6]上是增函数,y max =log a 6,y min =log a 3∴log a 6﹣log a 3=2,即log a 2=2,解得a=.(2)当0<a <1时,y=log a x 在区间[3,6]上是减函数,y max =log a 3,y min =log a 6∴log a 3﹣log a 6=2, 即log a 1/2=2,解得a=2/2,故答案为2或2/26.求下列各式中x 的值 (1)log x (3+2)=﹣2 (2)log (x+3)(x 2+3x )=1分析:本题考察对数的运算性质,(1)由log x (3+2)=﹣2,利用指数式与对数式的互化即可得到x ﹣2=3+2,注意到x >0且x ≠1,解出即可;(2)由log (x+3)(x 2+3x )=1,利用底的对数等于1可得x 2+3x=x+3,①,及x 2+3x >0,②,x+3>0且x+3≠1,③解①并验证②③即可解:(1)∵log x (3+2)=﹣2,∴x ﹣2=3+2,∴=3+2,∴x 2=,又∵x >0且x ≠1,∴x=﹣1.(2)∵log (x+3)(x 2+3x )=1,∴,解①x 2+2x ﹣3=0得,x=﹣3或x=1.当x=﹣3时,不满足②和③,当x=1时,满足②③,故x=17.设0<a<1,x和y满足log a x+3log x a﹣log x y=3,如果y有最大值,求这时a和x的值分析:把原方程转化为log a x+﹣=3,即log a y=log a2x﹣3log a x+3=(log a x﹣)2+,然后利用二次函数的性质求如果y有最大值时a和x的值解:原式可化为log a x+﹣=3,即log a y=log a2x﹣3log a x+3=(log a x﹣)2+,知当log a x=时,log a y有最小值.∵0<a<1,∴此时y有最大值,根据题意=⇒a=.这时x===8.求函数的反函数(1)y=(2)y=(3)y=lnx+1 (4)y=3x+2分析:由已知的解析式求出x的表达式,再把x换成y、y换成x,并注明反函数的定义域.解:由y=的得,xy+4y=x﹣4,解得(y≠1),所以(x≠1),则函数y=的反函数是(x≠1).(2)函数y=可得:2x=2x y+y.可得2x(1﹣y)=y,2x=,可得x=,函数y=的反函数为y=.(3)由y=lnx+1解得x=e y﹣1,即:y=e x﹣1,∵x>0,∴y∈R所以函数f(x)=lnx+1(x>0)反函数为y=e x﹣1(x∈R);(4)∵y=3x+2,∴3x=y﹣2,又3x>0,故y>2,∴x=log3(y﹣2)(y>2),∴函数y=3x+2的反函数是y=log3(x﹣2)(x>2)9.求下列函数的反函数的定义域(1)y=(2)(3)分析:欲求反函数的定义域,可以通过求原函数的值域获得,所以只要求出函数的值域即可,反函数的定义域即为原函数的值域求解即可解:(1)∵y=,∴ye x+y=e x,∴(y﹣1)e x=﹣y,∴,∴x=ln,x,y互换,得函数y=的反函数为:,,解得反函数的定义域为:{x|0<x<1}(2)反函数的定义域即为原函数的值域,由,x>0,所以,所以,则y<0,反函数的定义域为(﹣∞,0)(3)由得,e x=.∵e x>0,∴>0,∴﹣1<y<1,∴反函数的定义域是(﹣1,1)10.求下列函数的反函数,并指出该函数和它的反函数的定义域(1)y=;(2)y=;(3)y=e x﹣1解:(1)由y=,即2xy﹣y=x,x(2y﹣1)=y,解得x=,x,y互换得y=,其定义域为{x|x≠} (2)由(2)y=可得y2=2x﹣3,即x=(y2+3),x,y互换得y=(x2+3),因为原函数的值域为[0,+∞),则反函数的定义域为[0,+∞)(3)由y=e x﹣1则x﹣1=lny,即x=1+lny,x,y互换得y=1+lnx,则其定义域为(0,+∞)。
高一数学对数函数及其性质3
复习巩固
3、若 log a ( a 1) log a 2a 0,则a的
2
取值范围是
.
2x x
4、设0 a 1, 函数f ( x ) log a ( a 2a 2) 则使f ( x ) 0的x的取值范围为 .
例题讲解
例x+1| ; (2) y=log2(4-x2) ;
高一年级数学
湖南师大附中
彭萍
复习巩固
1、已知a log 0.5 0.6, b log 则( B ) A.a b c C.a c b
2
0.5, c log
3
5,
B.b a c D.c a b
2、设a 1, 函数f ( x) log a x在区间[a,2a ] 1 上的最大值与最小值的差为 ,则a 4 . 2
2
求a的取值范围; (2)若函数f ( x) log 2 (ax ax 1)的值域为R,
2
求a的取值范围。
作业: 1、求下列函数的定义域、值域:
(1) y=log0.5(x2+2x+5);
(2) y=log2(-x2+2x+3). 2、P82 4、5; P83 1.
例3已知函数 1 f ( x) log 2 [ax (a 1) x ]. 4 (1)若f ( x)的定义域为R, 求a的取值范围;
(3) y ln(16 4 ) ;
x
(4) y 1 log 3 (4 x 3) .
例题讲解
练习:求下列函数的值域 (1) y log 2 ( x 4);
2
(2) y log 1 (3 2 x x ).
2 2
高中数学对数函数经典练习题及答案(优秀4篇)
高中数学对数函数经典练习题及答案(优秀4篇)对数函数练习题篇一一、选择题1、下列函数(1)y= x (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中,是一次函数的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2、A 、B(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图像上的不同的两点,若则( )A.t0 C.t>1 D. t≤13、直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点,点C在坐标轴上,△ABC为等腰三角形,则满足条件的三角形最多有( )A. 5个B.6个C.7个D.8个4、把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第一象限,则m的取值范围是( )A.11 D.m0的解集是( )A.x>3B.-2-29.一次函数y=ax+1与y=bx-2的图象交于x轴上一点,那么a:b等于( )A. B.C. D.以上答案都不对10、函数y=kx+b,那么当y>1时,x的取值范围是:( )A、x>0B、x>2C、x212、在平面直角坐标系中,线段AB的端点A(-2,4),B(4,2),直线y=kx-2与线段AB有交点,则k的值不可能是( )A.5B.-5C.-2D.3二、填空题13、如果直线y = -2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9,则k的值为_____.14、平面直角坐标系中,点A的坐标是(4,0),点P在直线y=-x+m上,且AP=OP=4.则m的值是。
15、直线y=kx+2经过点(1,4),则这条直线关于x轴对称的直线解析式为:。
16、已知一条直线经过点A(0,2)、点B(1,0),将这条直线向左平移与x 轴、y轴分别交与点C、点D.若DB=DC,则直线CD的函数解析式为 .17、点A的坐标为(-2,0),点B在直线y=x-4上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是___________。
18、已知三个一次函数y1=x,y2= x+1,y3=- x+5。
对数函数及其性质经典题型总结
对数函数及其性质经典题型总结题型一:对数不等式解法12121122134123423343432+>+<+>-≥()log ()()log ()()log ()log ()()x x x x x 解下列不例.等式1213<l .og a a a 若实数满足,求的取变式1值范围。
21201+>>≠log (),(,).a x a a 解不等2:式变式:题型二:定点问题例2:求下列函数恒经过哪些定点21()log (1)2a f x x =++、2.y =l o g a (4a -x ) +1恒过﹙4,1﹚,求a 的值.题型三:对数值域问题 222221*********3453=∈=-++∈=--.()()log ,[,];()()log (),[,];()()l g (.o )f x x x f x x x x f x x x 下列函数的值 求例域221log 1()4y ax ax R a =++数的定义域为,变式求实数的围。
:取值范若函 221log ()R 4y ax ax a =++若函数的值域为,变式求实数的2:取值范围。
()()[]log 01,23,.a f x x a a a a =<<若函数在区间上的最大值是最小值的变倍:求3的值式2212,(log 1)(log 3)x y x x ≤≤=+-求的最大变式4:、最小值题型四:对数单调性问题213log (43)y x x =-+例4:求单调区间()21=-lg .()f x x x 求函数的变式单调区间()223211=-=-++-∞log ()()lg()(,]a f x x x f x x ax a a 求函数的单调区间若在上递减变式,变式2:求:范围()()()()()()()log 11,00,().,0.,0.,1.,1.log (2)[4:01]a a f x x f x A B C D y ax a =+->-∞-∞-∞--∞-=-已知函数在上有则 在上单调递增; 在上单调递减;在上单调递增;在上单调递减已知在,上减函数,变式求的取变式5:值范围。
1对数函数及其性质基础训练题
2.2.2 对数函数及其性质基础训练题知识点 1对数函数的定义域、值域1. 函数 ylog 2 ( x2x 2) 的定义域是()A. ( , 1) ( 2, )B. ( 2,1)C. (, 2) (1,) D. ( 1,2)2. 函数 ylog (x 4) 的定义域是( )A. (4,)B. (,5)C. (4,5]D. (4,5) 3. 函数 y3 x lg x 的定义域是()A. ( ,3]B. ( 0,3]C. (0, )D. [3,)4. 函数 y log (x22) 的值域是()A. ( , )B.[1, )C. (, 1]D.(0, 1]5. 函数 y log 2 x 3( x1) 的值域是()A. [2,)B. (3, )C. [3, )D. R6. 函数 y log a x( a 0 且a0) ,当 x [ 2, ) 时, | y | 1,则 a 的取值范围是()1B. a 2或 a1 1 a 1或1 a 2D.1A. a 2或0 a2C.a 22227. 求下列函数的定义域:log 1 x12x 3( 1)21 ( 2)y3log2x ( 3) y log x 1 (16 4x )( 4) y log 3x 14xx 18. 已知函数 f ( x) log a (a a x) ,求它的定义域和值域,其中 a 1。
9. 已知函数 f ( x) lg( x 2 2x m) ( m R ,且为常数) 。
( 1)求这个函数的定义域; ( 2)函数 f ( x) 的图象有无平行于 y 轴的对称轴?( 3)函数 f (x ) 的定义域与值域能否同时为实数集 R ?证明你的结论。
知识点 2比较大小10. 若 log m 2log n 2 0 ,那么 m,n 满足()A. m n 1B. n m 1C. 0 n m 1D. 0 m n 111. 比较大小:( 1) log 10 6 _________ log 10 8 ( 2) log 0 .5 6 _________ log 4 ( 3) log 0.5 _________ log 0.1( 4) log 1 .5 0.6 _________ log12. 三个数30, log 3 1, log 1 3的大小关系是()3A. 30log 3 1 log 1 3 ;B. 30 log 1 3 log 31 ;33C. log 3 130 log 1 3 ;D. log 1 3 log 3 1 303313. 比较下列各组数中两个值的大小:( 1) log23.4,log 2 ( 2) log a 5.1, log a5.9(a0, a 1)( 3) log67,log 7 6( 4) log 3, log 214. 已知 x 、y 、z 为正数,且 3x4 y12 。
高一数学对数函数典型例题
对数函数典型例题例1.求下列函数的定义域:(1)2log x y a =; (2))4(log x y a -=; (3))9(log 2x y a -=. 分析:此题主要利用对数函数x y a log =的定义域(0,)+∞求解。
解:(1)由2x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0x x ≠; (2)由04>-x 得4<x ,∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4x x <;(3)由9-02>-x 得-33<<x ,∴函数)9(log 2x y a -=的定义域是{}33x x -<<. 说明:此题只是对数函数性质的简单应用,应强调学生注意书写格式。
例2.求函数251-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y 和函数22112+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x y )0(<x 的反函数。
解:(1)125x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∴115()log (2)f x x -=+ (-2)x >; (2) 211-22x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭∴-1()f x = 5(2)2x <<. 例4.比较下列各组数中两个值的大小:(1)2log 3.4,2log 8.5; (2)0.3log 1.8,0.3log 2.7; (3)log 5.1a ,log 5.9a . 解:(1)对数函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数,于是2log 3.4<2log 8.5;(2)对数函数0.3log y x =在(0,)+∞上是减函数,于是0.3log 1.8>0.3log 2.7;(3)当1a >时,对数函数log a y x =在(0,)+∞上是增函数,于是log 5.1a <log 5.9a ,当1o a <<时,对数函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数,于是log 5.1a >log 5.9a .例5.比较下列比较下列各组数中两个值的大小:(1)6log 7,7log 6; (2)3log π,2log 0.8;(3)0.91.1, 1.1log 0.9,0.7log 0.8; (4)5log 3,6log 3,7log 3. 解:(1)∵66log 7log 61>=, 77log 6log 71<=,∴6log 7>7log 6;(2)∵33log log 10π>=, 22log 0.8log 10<=,∴3log π>2log 0.8.(3)∵0.901.1 1.11>=, 1.1 1.1log 0.9log 10<=, 0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=,∴0.91.1>0.7log 0.8> 1.1log 0.9.(4)∵3330log 5log 6log 7<<<, ∴5log 3>6log 3>7log 3. 例6.已知log 4log 4m n <,比较m ,n 的大小。
微专题16 对数函数及其性质(原卷版)
微专题16对数函数及其性质【方法技巧与总结】知识点一、对数函数的图象与性质1a >01a <<图象性质定义域:()0,+∞值域:R过定点()1,0,即1x =时,0y =在()0,+∞上增函数在()0,+∞上是减函数当01x <<时,0y <,当1x ≥时,0y ≥当01x <<时,0y >,当1x ≥时,0y ≤知识点诠释:关于对数式log a N 的符号问题,既受.a .的制约又受N 的制约,两种因素交织在一起,应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法,供同学们学习时参考.以1为分界点,当a ,N 同侧时,log 0a N >;当a ,N 异侧时,log 0a N <.知识点二、底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降.如图知识点诠释:由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降(即函数的单调性),因此在解与对数函数单调性有关的问题时,必须考虑底数是大于1还是小于1,不要忽略.2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内,当1a >时,随a 的增大,对数函数的图像愈靠近x 轴;当01a <<时,对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)【题型归纳目录】题型一:对数函数与对数型函数图象问题题型二:对数函数性质的理解与运用题型三:对数不等式的解法题型四:对数函数图象与性质的综合问题题型五:反函数性质的高级应用【典型例题】题型一:对数函数与对数型函数图象问题例1.(2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习(理))函数ln||1()e x f x x=+的图像大致为()A .B.C.D.例2.(2022·全国·高一专题练习)已知函数lg ,010()16,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩,若a ,b ,c 均不相等,且()f a =()f b =()f c ,则abc 的取值范围是()A .(1,10)B .(5,6)C .(10,12)D .(20,24)例3.(2022·全国·高一课时练习)函数2()log ||f x x x =的图象大致为()A .B.C .D .变式1.(2022·全国·高一课时练习)已知函数()()lg 1f x x =+,若()()()f a f b a b =<,则()A .()()111a b -->B .()()111a b --=C .()()111a b --<D .以上选项均有可能变式2.(2022·全国·高一专题练习)函数()log 10(a y x a =+>,且1a ≠)与函数221y x ax =-+在同一直角坐标系中的图象大致是()A .B .C .D .变式3.(2022·湖南·高一期末)已知三个函数,,log x b c y a y x y x ===的图象示,则()A .a b c >>B .c a b >>C .a c b>>D .c b a>>变式4.(2022·全国·高一专题练习)设幂函数312,,c c c y x y x y x ===,指数函数1234,,,x x x x y a y a y a y a ====,对数函数1234log ,log ,log ,log b b b b y x y x y x y x ====在同一坐标系中的图象如下图所示,则它们之间的大小关系错误的是().A .13201c c c <<<<B .431201a a a a <<<<<C .342101b b b b <<<<<D .431201b b b b <<<<<变式5.(2022·江西师大附中高一期末)已知()2232,0,lg ,0.x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩,若关于x 的方程()()f x m m R =∈有四个不相等的实根1234,,,x x x x ,则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是()A .10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .70,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .90,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭变式6.(2022·四川·广安二中高一期中)当104x <<时,16log xa x <,则a 的取值范围是A .1(,1)2B .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .1(0,2D .102⎛⎤ ⎥⎝⎦,变式7.(2022·黑龙江·哈九中高一期中)已知函数()log 11a y x =-+(0a >且1a ≠)恒过定点()00,A x y ,且满足001mx ny +=,其中m ,n 是正实数,则21m n+的最小值()A .4B.C .9D变式8.(2022·全国·高一专题练习)已知函数log (3)2a y x =-+(0a >且1a ≠)的图象恒过定点P ,点P 在幂函数()y f x =的图象上,则lg (4)lg (25)f f +=()A .2-B .2C .1D .1-变式9.(2022·全国·高一课时练习)已知1x ,2x ,3x 分别为方程122log xx =,21log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭,121log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的根,则1x ,2x ,3x 的大小关系为()A .132x x x <<B .123x x x <<C .312x x x <<D .321x x x <<题型二:对数函数性质的理解与运用例4.(2022·天津南开·高一期末)已知函数f (x )=m +log 2x 2的定义域是[1,2],且f (x )≤4,则实数m 的取值范围是()A .(-∞,2]B .(-∞,2)C .[2,+∞)D .(2,+∞)例5.(2022·全国·高一单元测试)已知函数()()[]2lg 1,1,3f x x x =+∈-,则()f x 的值域为()A .[)0,∞+B .[)0,1C .[]lg2,1D .[]0,1例6.(2022·陕西省安康中学高一期末)已知函数()()123,1ln 1,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩的值域为R ,则a 的取值范围是()A .1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭变式10.(2022·四川攀枝花·高一期末)已知函数()2log f x x =,()2g x a x =-,若存在[]12,1,2x x ∈,使得()()12f x g x =,则实数a 的取值范围是()A .()(),25,-∞⋃+∞B .(][),25,-∞⋃+∞C .()2,5D .[]2,5变式11.(2022·新疆·石河子第二中学高一阶段练习)已知()212()log f x x ax a =-+的值域为R ,且()f x 在(3,1)--上是增函数,则实数a 的取值范围是()A .20a ≤≤B .102a -≤≤或4a ≥C .20a -≤≤或4a ≥D .04a ≤≤变式12.(2022·江苏省新海高级中学高一期中)若0.8log 0.9a =, 1.2log 0.9b =,0.91.2c =,则a ,b ,c 的大小关系为()A .a b c >>B .a c b >>C .c b a>>D .c a b>>变式13.(2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习)已知log 3>log 3>0b a ,则下列不等式一定成立的是()A .11a b>B .1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .2log ()0a b ->D .21a b -<变式14.(2022·全国·高一课时练习)函数22log (2)y x x =-的单调递减区间为()A .(1,2)B .(]1,2C .(0,1)D .[)0,1变式15.(2022·全国·高一课时练习)已知函数()()log 6a f x ax =-在()0,2上为减函数,则实数a 的取值范围是()A .(]1,3B .()1,3C .()0,1D .()1,+∞变式16.(2022·全国·高一课时练习)设函数()()2lg 1f x x =+,则使得()()324f x f x ->-成立的x 的取值范围为()A .1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B .31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C .3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D .()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭变式17.(2022·全国·高一单元测试)函数212)(()log 34f x x x =-++的单调增区间为()A .31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B .3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C .3,42⎛⎫⎪⎝⎭D .3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭变式18.(2022·浙江·长兴县教育研究中心高一期中)若函数22()log f x m x =+在区间[1,2]上恒有()4f x ≤,则实数m 的取值范围是()A .(,2]-∞B .(,2)-∞C .[2,)+∞D .(2,)+∞变式19.(2022·全国·高一专题练习)已知()()2ln 1f x x =+,()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若[]10,3x ∀∈,[]21,2x ∃∈,使得()()12f x g x ≥,则实数m 的取值范围为()A .1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B .1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭变式20.(2022·河南平顶山·高一期末)已知函数()21log ,a f x x x a ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值与最小值的差为2,则=a ()A .4B .3C .2D题型三:对数不等式的解法例7.(2022·全国·高一专题练习)已知函数()()2log 1f x x x =+-,则不等式()0f x >的解集是___________.例8.(2022·吉林松原·高一阶段练习)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,103f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则不等式()8log 0f x >的解集为___.例9.(2022·河南新乡·高一期末)已知函数()2log 1f x x =-,则不等式()12f x -≤的解集为__________.变式21.(2022·上海市控江中学高一期末)不等式lg 1x >的解集为______.变式22.(2022·全国·高一专题练习)不等式1log (4)log a ax x ->-的解集是_______.变式23.(2022·广东·深圳实验学校高中部高一阶段练习)已知实数0a >,且满足324155,a a ++>则不等式()()log 32log 85a a x x +<-的解集为___________.变式24.(2022·全国·高一单元测试)不等式()2log 431x x ->+的解集是______.变式25.(2022·全国·高一单元测试)不等式()22log 12x +<的解集为______.变式26.(2022·重庆市杨家坪中学高一阶段练习)已知不等式()22log 251ax x -+>的解集为R ,则a 的取值范围是________.变式27.(2022·全国·高一专题练习)不等式log 2(2x +3)>log 2(5x -6)的解集为________.变式28.(2022·全国·高一专题练习)21,1()lg ,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩,则不等式(2)()f x f x -<的解集为__.变式29.(2022·上海市行知中学高一期中)已知函数2()lg ||f x x x =+,则不等式()1f x >的解集为________.变式30.(2022·云南·昭通市第一中学高一期中)已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则不等式()1f x >的解集为___________.变式31.(2022·浙江·高一期末)已知函数1(),12xf x x R =∈+,则不等式()1log 23af >的解集为____________.题型四:对数函数图象与性质的综合问题例10.(2022·湖南·株洲二中高一阶段练习)已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x --=且()()2log 21x f x kx =++,()()g x f x x =+.(1)求()f x 的解析式;(2)若不等式()()4213x xg a g -⋅+>-恒成立,求实数a 取值范围;(3)设()221h x x mx =-+,若对任意的[]10,3x ∈,存在[]21,3x ∈,使得()()12g x h x ≥,求实数m 取值范围.例11.(2022·天津市西青区杨柳青第一中学高一阶段练习)已知函数()()241=log 2log +2f x x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求不等式()2f x >的解集;(2)当[]1,16x ∈时,求该函数的值域;(3)若()4log f x m x <对于任意[]4,16x ∈恒成立,求m 的取值范围.例12.(2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习)已知函数()()2210f x ax x a a =-+->.(1)若()f x 在区间[]1,2为单调增函数,求a 的取值范围;(2)设函数()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g a ,求()g a 的表达式;(3)设函数211()log 21xh x x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭,若对任意[]12,1,2x x ∈,不等式()()12f x h x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.变式32.(2022·上海交大附中高一期中)已知0a ≠,函数()2log 4axf x x=-.(1)若3a =,求不等式()1f x <的解集;(2)若0a >,求证:函数y f x =()的图象关于点()22,log P a 成中心对称;(3)若方程2(()log 2)0f x a x +--=的解集恰有一个元素,求a 的取值范围.变式33.(2022·全国·高一单元测试)已知函数()()2log (0f x x a a =+>),当点M (x ,y )在函数g (x )的图象上运动时,对应的点(3,2)M x y '在f (x )的图象上运动,则称g (x )是f (x )的相关函数.(1)解关于x 的不等式()1f x <;(2)若对任意的()0,1x ∈,f (x )的图象总在其相关函数图象的下方,求a 的取值范围;(3)设函数()()()F x f x g x =-,()0,1x ∈,当1a =时,求|F (x )|的最大值.题型五:反函数性质的高级应用例13.(2022·湖北·高一阶段练习)若实数α,β满足e 2αα=,ln 2ββ=,则αβ=()A .eB .1C .12D .2例14.(2022·北京市八一中学高一阶段练习)已知1a >,若1x 是函数()log 2021a f x x x =-的一个零点,2x 是函数()2021xg x xa =-的一个零点,则12x x 的值为()A .1B .2021C .22021D .4016例15.(2022·全国·高一课时练习)若关于x 的方程5log 4x x +=与54x x +=的根分别为m 、n ,则m n +的值为()A .3B .4C .5D .6变式34.(2022·辽宁·高一阶段练习)设函数()f x 的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称,若,2020m n +=,()()222m nf f -+-=,则=a ()A .1011B .1009C .1009-D .1011-变式35.(2022·福建师大二附中高一期中)设方程230 x x +-=的根为α,方程260x x +-=的根为β,则αβ+=()A .1B .2C .3D .6变式36.(2022·河北师范大学附属中学高一期中)已知函数()102x x f x =+-的零点为a ,()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ,则a b +=()A .1B .2C .3D .4【过关测试】一、单选题1.(2022·山东省青岛第十九中学高一期中)对于实数0a >,且1a ≠,0b >,且1b ≠,“a b >”是“log 2log 2a b <”的()A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件2.(2022·山东省青岛第十九中学高一期中)已知 5.10.9m =,0.8log 5.1n =, 5.10.8p =,则m 、n 、p 的大小关系为()A .p <n <mB .n <p <mC .m <n <pD .n <m <p3.(2022·江苏·宿迁中学高一期中)空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间,根据相关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613,而中国象棋空间复杂度的上限N 约为4810(参考数据:lg30.48)≈,则下列各数中与MN最接近的是()A .5010l B .12510C .10510D .135104.(2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习)已知函数()f x 的图象沿x 轴向左平移2个单位后与函数2x y =的图象关于y 轴对称,若()03f x =,则0=x ()A .2log 3B .2log 3-C .22log 3-D .22log 3--5.(2022·天津·高一期末)函数()213()log 65f x x x =-+-的单调递减区间是()A .(,3]-∞B .[3,)+∞C .(1,3]D .[3,5)6.(2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习)已知函数()||2()ln 211x f x x =-+-,则不等式(2)0xf x -<的解集是()A .(,0)(1,3)-∞B .(3,1)(0,)--+∞C .(,0)(1,2)(2,3)-∞D .(3,0)(0,2)(2,)-+∞7.(2022·江苏省响水中学高一阶段练习)已知正数,,x y z ,满足346x y z ==,则下列说法不正确的是()A .1112x y z +=B .346x y z >>C.3(2x y z+>D .22xy z >8.(2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校高一阶段练习)已知函数()()221,01log 1,1x x x f x x x ⎧-+≤<⎪=⎨+≥⎪⎩,g (x )=ax 2+2x +a -1,若对任意的实数x 1∈[0,+∞),总存在实数x 2∈[0,+∞),使得f (x 1)=g (x 2)成立,则实数a 的取值范围为()A .7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .70,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .70,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9.(2022·山东省青岛第十九中学高一期中)下列判断正确的是()A .0∈∅B .函数()1f x x=在定义域上单调递减C .函数()log 11(0,1)a y x a a =-+>≠过定点()2,1D .函数234()2xx f x -++=的单调递增区间是3,2⎛⎤-∞ ⎝⎦10.(2022·浙江师范大学附属中学高一期中)已知0a >,0b >,且1a b +=,则()A .149a b+ B .222139a b b ++C .224a b + D .22log log 2a b +- 11.(2022·浙江大学附属中学高一期末)已知函数()ln f x x =,0a b <<,且()() f a f b =,下列结论正确的是()A .1b a >B.2a b ->C .23b a+>D .()()22118a b +++>12.(2022·浙江·杭十四中高一期末)关于函数1()ln 1xf x x-=+,下列说法中正确的有()A .()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞B .()f x 为奇函数C .()f x 在定义域上是减函数D .对任意1x ,()21,1x ∈-,都有()()1212121x x f x f x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝++⎭=三、填空题13.(2022·江苏省新海高级中学高一期中)若不等式()()2log ln 40,1a x x a a -<>≠对于任意()31,e x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是____________14.(2022·天津南开·高一期末)下列命题中:①2x y =与2log y x =互为反函数,其图像关于y x =对称;②已知函数()2121f x x x -=--,则()526f =;③当0a >,且1a ≠时,函数()23x f x a -=-必过定点()2,2-;④已知()231a bk k ==≠,且121a b+=,则实数8k =.上述命题中的所有正确命题的序号是___________.15.(2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习)已知定义在()0,+∞上的函数331log ,0<3()=log 1,3<94>9x x f x x x x -≤-≤-⎧⎪⎨⎪⎩,设,,a b c 为三个互不相同的实数,满足()()()f a f b f c ==,则abc 的取值范围为_______.16.(2022·云南省楚雄第一中学高一阶段练习)已知函数()f x 是定义在[]121a a -+,上的偶函数,当01x a + 时,()3.1f x x x =-+若()2log 1f m >,则m 的取值范围是__________.17.(2022·湖南·株洲二中高一阶段练习)已知函数())ln 31f x x x =-++,若,R a b ∈,2022a b +=,则()()20231f b f a -++=________.18.(2022·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习)已知函数()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,若()f x m =有三个不同实根满足123x x x <<,则()2021123x x m x ++的取值范围为___________.四、解答题19.(2022·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习)已知21()log 1xf x x+=-(1)求()f x 的定义域、并判断函数的奇偶性;(2)求使()0f x >的x 的取值范围.20.(2022·浙江大学附属中学高一期末)已知a ∈R ,函数()()22log f x x x a =++(1)若函数()f x 过点()1,1,求此时函数()f x 的解析式;(2)设0a >,若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.21.(2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末)已知函数()2f x x bx c =-+,()f x 的对称轴为1x =且()01f =-.(1)求b 、c 的值;(2)当[]0,3x ∈时,求()f x 的取值范围;(3)若不等式()()2log 2f k f >成立,求实数k 的取值范围.。
对数函数的图像典型例题(一).doc
对数函数的图像典型例题(一)1 如图,曲线是对数函数的图象,已知 的取值,则相应于曲线的值依次为( ).(A )(B )(C )(D )2.函数y=log x -1(3-x)的定义域是 如果对数)56(log 27+++x xx 有意义,求x 的取值范围;解:要使原函数有意义,则26507071x x x x ⎧++>⎪+>⎨⎪+≠⎩解之得: -7<x<-6-6<x<-5-1或或x> ∴原函数的定义域为-7,-6)(-6,-5)(-1,+∞)函数]45)2(lg[2+++=x k x y 的定义域为一切实数,求k 的取值范围。
22k <<利用图像判断方程根的个数 3.已知关于x 的的方程a x =3log ,讨论a 的值来确定方程根的个数。
解:因为⎩⎨⎧<<->==)10(log )1(log log 333x x x x x y 在同一直角坐标系中作出函数与a y =的图象,如图可知:①当0<a 时,两个函数图象无公共点,所以原方程根的个数为0个;②当0=a 时,两个函数图象有一个公共点,所以原方程根的个数为1个;③当0>a 时,两个函数图象有两个公共点,所以原方程根的个数为2个。
4.若关于x 的方程4)lg()lg(2=⋅ax ax 的所有解都大于1,求a 的取值范围.解:由原方程可化为4)lg 2)(lg lg (lg =++x a x a ,变形整理有04lg lg lg 3lg 222=-+⋅+a x a x (*)1>x ,0lg >∴x ,由于方程(*)的根为正根,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-≥--=∆0)4(lg 210lg 230)4(lg 8lg 9222a a a a 解之得2lg -<a ,从而10010<<a5.求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间..解:设u y 21log =,322--=x x u ,由0>u 得0322>--x x ,知定义域为),3()1,(+∞⋃--∞又4)1(2--=x u ,则当)1,(--∞∈x 时,u 是减函数;当),3(+∞∈x 时,u 是增函数,而u y 21log =在+R 上是减函数)33(212log --=∴x x y 的单调增区间为)1,(--∞,单调减区间为),3(+∞题目2】求函数12log y x x =215(-3+)22的单调区间。
对数函数性质及练习(有答案)
对数函数及其性质1.对数函数的概念(1)定义:一般地,我们把函数y =log a x (a >0,且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).(2)对数函数的特征:特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数:1log a x 的底数:常数,且是不等于1的正实数log a x 的真数:仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数,只需看此函数是否具备了对数函数的特征.比如函数y =log 7x 是对数函数,而函数y =-3log 4x 和y =log x 2均不是对数函数,其原因是不符合对数函数解析式的特点.【例1-1】函数f (x )=(a 2-a +1)log (a +1)x 是对数函数,则实数a =__________. 解析:由a 2-a +1=1,解得a =0,1.又a +1>0,且a +1≠1,∴a =1.答案:1 【例1-2】下列函数中是对数函数的为__________.(1)y =log (a >0,且a ≠1);(2)y =log 2x +2;(3)y =8log 2(x +1);(4)y =log x 6(x >0,且x ≠1); (5)y =log 6x . 解析:2.对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象与性质(1)图象与性质谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧,其单调性取决于底数.a>1时,函数单调递增;0<a<1时,函数单调递减.理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象,在掌握图象的基础上性质就容易理解了.我们要注意数形结合思想的应用.(2)指数函数与对数函数的性质比较(3)底数a对对数函数的图象的影响①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”:当a>1时,对数函数的图象“上升”;当0<a<1时,对数函数的图象“下降”.②底数的大小决定了图象相对位置的高低:不论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.【例2】如图所示的曲线是对数函数y =log a x 的图象.已知a ,43,35,110中取值,则相应曲线C 1,C 2,C 3,C 4的a 值依次为( )A 43,35,110B ,43,110,35C .43,35,110 D .43110,35解析:由底数对对数函数图象的影响这一性质可知,C 4的底数<C 3的底数<C 2的底数<C 1的底数.故相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 443,35,110.答案:A点技巧 根据图象判断对数函数的底数大小的方法 (1)方法一:利用底数对对数函数图象影响的规律:在x 轴上方“底大图右”,在x 轴下方“底大图左”;(2)方法二:作直线y =1,它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数,由此判断各底数的大小.3.反函数(1)对数函数的反函数指数函数y =a x(a >0,且a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数. (2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域; ②互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称. (3)求已知函数的反函数,一般步骤如下: ①由y =f (x )解出x ,即用y 表示出x ; ②把x 替换为y ,y 替换为x ;③根据y =f (x )的值域,写出其反函数的定义域.【例3-1】若函数y =f (x )是函数y =a x(a >0,且a ≠1)的反函数,且f (2)=1,则f (x )=( )A .log 2xB .12x C .12log x D .2x -2解析:因为函数y =a x(a >0,且a ≠1)的反函数是f (x )=log a x , 又f (2)=1,即log a 2=1,所以a =2.故f (x )=log 2x . 答案:A 【例3-2】函数f (x )=3x(0<x ≤2)的反函数的定义域为( )A .(0,+∞)B .(1,9]C .(0,1)D .[9,+∞) 解析:∵ 0<x ≤2,∴1<3x ≤9,即函数f (x )的值域为(1,9].故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9].答案:B【例3-3】若函数y=f(x)的反函数图象过点(1,5),则函数y=f(x)的图象必过点( ) A.(5,1) B.(1,5) C.(1,1) D.(5,5)解析:由于原函数与反函数的图象关于直线y=x对称,而点(1,5)关于直线y=x的对称点为(5,1),所以函数y=f(x)的图象必经过点(5,1).答案:A4.利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y=log a x(a>0,且a≠1)中仅含有一个常数a,则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式,这样的条件往往是已知f(m)=n或图象过点(m,n)等等.通常利用待定系数法求解,设出对数函数的解析式f(x)=log a x(a>0,且a≠1),利用已知条件列方程求出常数a的值.利用待定系数法求对数函数的解析式时,常常遇到解方程,比如log a m=n,这时先把对数式log a m=n化为指数式的形式a n=m,把m化为以n为指数的指数幂形式m=k n(k>0,且k≠1),则解得a=k>0.还可以直接写出1na m=,再利用指数幂的运算性质化简1nm.例如:解方程log a4=-2,则a-2=4,由于2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以12a=±.又a>0,所以12a=.当然,也可以直接写出124a-=,再利用指数幂的运算性质,得11212214(2)22a---====.【例4-1】已知f(e x)=x,则f(5)=( )A.e5B.5e C.ln 5 D.log5e解析:(方法一)令t=e x,则x=ln t,所以f(t)=ln t,即f(x)=ln x.所以f(5)=ln 5.(方法二)令e x=5,则x=ln 5,所以f(5)=ln 5.答案:C【例4-2】已知对数函数f(x)的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭,试求f(3)的值.分析:设出函数f(x)的解析式,利用待定系数法即可求出.解:设f(x)=log a x(a>0,且a≠1),∵对数函数f(x)的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭,∴11log299af⎛⎫==⎪⎝⎭.∴a2=19.∴a=11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.∴f(x)=13log x.∴f(3)=111331log 3log3-⎛⎫= ⎪⎝⎭=-1.【例4-3】已知对数函数f(x)的反函数的图象过点(2,9),且f(b)=12,试求b的值.解:设f(x)=log a x(a>0,且a≠1),则它的反函数为y=a x(a>0,且a≠1),由条件知a2=9=32,从而a=3.于是f(x)=log3x,则f(b)=log3b=12,解得b=123=5.对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0,+∞).(2)在求对数型函数的定义域时,要考虑到真数大于0,底数大于0,且不等于1.若底数和真数中都含有变量,或式子中含有分式、根式等,在解答问题时需要保证各个方面都有意义.一般地,判断类似于y =log a f (x )的定义域时,应首先保证f (x )>0.(3)求函数的定义域应满足以下原则: ①分式中分母不等于零;②偶次根式中被开方数大于或等于零; ③指数为零的幂的底数不等于零; ④对数的底数大于零且不等于1;⑤对数的真数大于零,如果在一个函数中数条并存,求交集. 【例5】求下列函数的定义域.(1)y =log 5(1-x );(2)y =log (2x -1)(5x -4);(3)y=.分析:利用对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的定义求解. 解:(1)要使函数有意义,则1-x >0,解得x <1, 所以函数y =log 5(1-x )的定义域是{x |x <1}.(2)要使函数有意义,则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x >45且x ≠1,所以函数y =log (2x -1)(5x -4)的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭(1,+∞).(3)要使函数有意义,则0.5430,log (43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34<x ≤1,所以函数y=的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.6.对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法.(2)对于形如y =log a f (x )(a >0,且a ≠1)的复合函数,其值域的求解步骤如下: ①分解成y =log a u ,u =f (x )这两个函数; ②求f (x )的定义域; ③求u 的取值范围;④利用y =log a u 的单调性求解.(3)对于函数y =f (log a x )(a >0,且a ≠1),可利用换元法,设log a x =t ,则函数f (t )(t ∈R )的值域就是函数f (log a x )(a >0,且a ≠1)的值域.注意:(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母),要考查其单调性,就必须对底数进行分类讨论.(2)求对数函数的值域时,一定要注意定义域对它的影响.当对数函数中含有参数时,有时需讨论参数的取值范围.【例6-1】求下列函数的值域:(1)y =log 2(x 2+4);(2)y =212log (32)x x +-.解:(1)∵x 2+4≥4,∴log 2(x 2+4)≥log 24=2.∴函数y =log 2(x 2+4)的值域为[2,+∞). (2)设u =3+2x -x 2,则u =-(x -1)2+4≤4.∵u >0,∴0<u ≤4. 又y =12log u 在(0,+∞)上为减函数,∴12log u ≥-2.∴函数y =212log (32)x x +-的值域为[-2,+∞).【例6-2】已知f (x )=2+log 3x ,x ∈[1,3],求y =[f (x )]2+f (x 2)的最大值及相应的x 的值.分析:先确定y =[f (x )]2+f (x 2)的定义域,然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数,利用一元二次函数求最值.解:∵f (x )=2+log 3x ,x ∈[1,3],∴y =[f (x )]2+f (x 2)=(log 3x )2+6log 3x +6且定义域为[1,3].令t =log 3x (x ∈[1,3]).∵t =log 3x 在区间[1,3]上是增函数,∴0≤t ≤1.从而要求y =[f (x )]2+f (x 2)在区间[1,3]上的最大值,只需求y =t 2+6t +6在区间[0,1]上的最大值即可.∵y =t 2+6t +6在[-3,+∞)上是增函数,∴当t =1,即x =3时,y max =1+6+6=13.综上可知,当x =3时,y =[f (x )]2+f (x 2)的最大值为13.7.对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)过定点(1,0),即对任意的a >0,且a ≠1都有log a 1=0.这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键.对于函数y =b +k log a f (x )(k ,b 均为常数,且k ≠0),令f (x )=1,解方程得x =m ,则该函数恒过定点(m ,b ).方程f (x )=0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数.(2)对数函数的图象变换的问题①函数y =log a x (a >0,且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y =log a (x +b )(a >0,且a ≠1)②函数y =log a x (a >0,且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y =log a x +b (a >0,且a ≠1)③函数y =log a x (a >0,且a ≠1)―----------------―→当x >0时,两函数图象相同当x <0时,将x >0时的图象关于y 轴对称函数y =log a |x |(a >0,且a≠1)④函数y =log a x (a >0,且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y =|log a x |(a>0,且a ≠1)【例7-1】若函数y =log a (x +b )+c (a >0,且a ≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数b ,c 的值分别为__________.解析:∵函数的图象恒过定点(3,2),∴将(3,2)代入y =log a (x +b )+c (a >0,且a ≠1),得2=log a (3+b )+c .又∵当a >0,且a ≠1时,log a 1=0恒成立,∴c =2.∴log a (3+b )=0.∴b =-2. 答案:-2,2【例7-2】作出函数y =|log 2(x +1)|+2的图象. 解:(第一步)作函数y =log 2x 的图象,如图①;(第二步)将函数y =log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度,得函数y =log 2(x +1)的图象,如图②;(第三步)将函数y =log 2(x +1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换,得函数y =|log 2(x +1)|的图象,如图③;(第四步)将函数y =|log 2(x +1)|的图象,沿y 轴方向向上平移2个单位长度,便得到所求函数的图象,如图④.8.利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况: (1)底数相同,真数不同.比较同底数(是具体的数值)的对数大小,构造对数函数,利用对数函数的单调性比较大小. 要注意:明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值;明确对数函数的底数与1的大小关系;最后根据对数函数的单调性判断大小.(2)底数不同,真数相同.若对数式的底数不同而真数相同时,可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象,再进行比较,也可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.(3)底数不同,真数也不同.对数式的底数不同且指数也不同时,常借助中间量0,1进行比较.(4)对于多个对数式的大小比较,应先根据每个数的结构特征,以及它们与“0”和“1”的大小情况,进行分组,再比较各组内的数值的大小即可.注意:对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意对底数是否大于1进行分类讨论.【例8-1】比较下列各组中两个值的大小.(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;(3)log aπ,log a3.141.分析:(1)构造函数y=log3x,利用其单调性比较;(2)分别比较与0的大小;(3)分类讨论底数的取值范围.解:(1)因为函数y=log3x在(0,+∞)上是增函数,所以f(1.9)<f(2).所以log31.9<log32.(2)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.(3)当a>1时,函数y=log a x在定义域上是增函数,则有log aπ>log a3.141;当0<a<1时,函数y=log a x在定义域上是减函数,则有log aπ<log a3.141.综上所得,当a>1时,log aπ>log a3.141;当0<a<1时,log aπ<log a3.141.【例8-2】若a2>b>a>1,试比较log a ab,log bba,log b a,log a b的大小.分析:利用对数函数的单调性或图象进行判断.解:∵b>a>1,∴0<ab<1.∴log a ab<0,log a b>log a a=1,log b1<log b a<log b b,即0<log b a<1.由于1<ba<b,∴0<log bba<1.由log b a-log bba=2logbab,∵a2>b>1,∴2ab>1.∴2logbab>0,即log b a>log bba.∴log a b>log b a>log b ba>log aab.9.利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性,当a>0,且a≠1时,有①log a f(x)=log a g(x)⇔f(x)=g(x)(f(x)>0,g(x)>0);②当a>1时,log a f(x)>log a g(x)⇔f(x)>g(x)(f(x)>0,g(x)>0);③当0<a<1时,log a f(x)>log a g(x)⇔f(x)<g(x)(f(x)>0,g(x)>0).(2)常见的对数不等式有三种类型:①形如log a f(x)>log a g(x)的不等式,借助函数y=log a x的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论.②形如log a f(x)>b的不等式,应将b化为以a为对数的对数式的形式,再借助函数y=log a x的单调性求解.③形如log a f (x )>log b g (x )的不等式,基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值,利用对数函数的单调性来脱去对数符号,同时应保证真数大于零,取交集作为不等式的解集. ④形如f (log a x )>0的不等式,可用换元法(令t =log a x ),先解f (t )>0,得到t 的取值范围.然后再解x 的范围.【例9-1】解下列不等式:(1)1177log log (4)x x >-;(2)log x (2x +1)>log x (3-x ).解:(1)由已知,得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0<x <2.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}.(2)当x >1时,有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1<x <3;当0<x <1时,有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0<x <23.所以原不等式的解集是20<<1<<33xx x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或.【例9-2】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<1,求a 的取值范围.解:∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<1,∴-1<2log 3a <1,即12log log log 3a a a a a <<.(1)∵当a >1时,y =log a x 为增函数,∴123a a <<.∴a >32,结合a >1,可知a >32.(2)∵当0<a <1时,y =log a x 为减函数,∴12>>3a a . ∴a <23,结合0<a <1,知0<a <23.∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,或.10.对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键:一是看底数是否大于1,当底数未明确给出时,则应对底数a 是否大于1进行讨论;二是运用复合法来判断其单调性;三是注意其定义域.(2)关于形如y =log a f (x )一类函数的单调性,有以下结论:函数y =log a f (x )的单调性与函数u =f (x )(f (x )>0)的单调性,当a >1时相同,当0<a <1时相反.例如:求函数y =log 2(3-2x )的单调区间.分析:首先确定函数的定义域,函数y =log 2(3-2x )是由对数函数y =log 2u 和一次函数u =3-2x 复合而成,求其单调区间或值域时,应从函数u =3-2x 的单调性、值域入手,并结合函数y =log 2u 的单调性考虑.解:由3-2x >0,解得函数y =log 2(3-2x )的定义域是⎝⎛⎭⎫-∞,32.设u =3-2x ,x ∈⎝⎛⎭⎫-∞,32,∵u =3-2x 在⎝⎛⎭⎫-∞,32上是减函数,且y =log 2u 在(0,+∞)上单调递增,∴函数y =log 2(3-2x )在⎝⎛⎭⎫-∞,32上是减函数.∴函数y =log 2(3-2x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫-∞,32.【例10-1】求函数y =log a (a -a x)的单调区间.解:(1)若a >1,则函数y =log a t 递增,且函数t =a -a x递减.又∵a -a x >0,即a x <a ,∴x <1.∴函数y =log a (a -a x)在(-∞,1)上递减. (2)若0<a <1,则函数y =log a t 递减,且函数t =a -a x递增.又∵a -a x >0,即a x <a ,∴x >1.∴函数y =log a (a -a x)在(1,+∞)上递减. 综上所述,函数y =log a (a -a x)在其定义域上递减.析规律 判断函数y =log a f (x )的单调性的方法 函数y =log a f (x )可看成是y =log a u 与u=f (x )两个简单函数复合而成的,由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断.需特别注意的是,在求复合函数的单调性时,首先要考虑函数的定义域,即“定义域优先”.【例10-2】已知f (x )=12log (x 2-ax -a )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数,求a 的取值范围. 解:1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间,说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u =x 2-ax -a 的递减区间,由于是对数函数,还需保证真数大于0.令u (x )=x 2-ax -a ,∵f (x )=12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数,∴u (x )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是减函数,且u (x )>0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立. ∴1,2210,2au ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a a a ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩ ∴-1≤a ≤12.∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.11.对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是:(1)求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判断f (-x )与f (x )或-f (x )是否相等;(2)当f (-x )=f (x )时,此函数是偶函数;当f (-x )=-f (x )时,此函数是奇函数;(3)当f (-x )=f (x )且f (-x )=-f (x )时,此函数既是奇函数又是偶函数;(4)当f (-x )≠f (x )且f (-x )≠-f (x )时,此函数既不是奇函数也不是偶函数.例如,判断函数f (x )=log )a x (x ∈R ,a >0,且a ≠1)的奇偶性.解:∵f (-x )+f (x )=log )a x +log )a x )=log a (x 2+1-x 2)=log a 1=0,∴f (-x )=-f (x ).∴f (x )为奇函数.【例11】已知函数f (x )=1log 1ax x +-(a >0,且a ≠1). (1)求函数f (x )的定义域;(2)判断函数f (x )的奇偶性;(3)求使f (x )>0的x 的取值范围.分析:对于第(2)问,依据函数奇偶性的定义证明即可.对于第(3)问,利用函数的单调性去掉对数符号,解出不等式.解:(1)由11x x+->0,得-1<x <1,故函数f (x )的定义域为(-1,1). (2)∵f (-x )=1log 1a x x -+=1log 1a x x+--=-f (x ), 又由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称,∴函数f (x )是奇函数. (3)当a >1时,由1log 1a x x +->0=log a 1,得11x x+->1,解得0<x <1; 当0<a <1时,由1log 1ax x +->0=log a 1,得0<11x x +-<1,解得-1<x <0. 故当a >1时,x 的取值范围是{x |0<x <1};当0<a <1时,x 的取值范围是{x |-1<x <0}.12.对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH 的变化规律、航天问题等,可以用对数函数模型来研究.此类题目,通常给出函数解析式模型,但是解析式中含有其他字母参数.其解决步骤是:(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,抓住关键的词和量,理顺数量关系;(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,求出函数解析式模型中参数的值;(3)求模:求解函数模型,得到数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论.由此看,直接给定参数待定的函数模型时,利用待定系数法的思想,代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数.一般求出函数模型后,还利用模型来研究一些其他问题.代入法、方程思想、对数运算性质,是解答此类问题的方法精髓.【例12】我国用长征二号F型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船,实现了中国历史上第一次的太空漫步,令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家(其中,翟志刚完全出舱,刘伯明的头部和手部部分出舱).在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y(单位:km/s)关于燃料重量x(单位:吨)的函数关系式为y=k ln(m+x)-k)+4ln 2(k≠0),其中m是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和.当燃料重量为-1)m吨时,火箭的最大速度是4 km/s.(1)求y=f(x);(2)已知长征二号F型运载火箭的起飞重量是479.8吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料),火箭的最大速度为8 km/s,求装载的燃料重量(e=2.7,精确到0.1).解:(1)由题意得当x=1)m时,y=4,则4=k ln[m+-1)m]-k)+4ln 2,解得k=8.所以y=8ln(m+x)-)+4ln 2,即y=8ln m x m+.(2)由于m+x=479.8,则m=479.8-x,令479.888ln479.8x=-,解得x≈302.1.故火箭装载的燃料重量约为302.1吨.。
对数函数经典例题
对数函数经典例题对数函数作为数学中的重要函数之一,在实际问题中有许多经典的例题。
以下是两个常见的对数函数的例题:例题1:解决复利问题假设你的银行账户每年的利率为4%,每年复利。
如果你初始存入1000美元,问多少年后账户里的金额会达到2000美元?解答:设所需年数为x,则根据复利公式:2000 = 1000 * (1 + 0.04)^x将方程进行变形得:2 = (1.04)^x对数函数可以帮助我们求解这个问题。
我们可以用对数函数求解x:x = log(2) / log(1.04)使用计算器或编程语言中的对数函数,我们可以得到近似结果。
在Python 中,可以使用math库中的log函数:```pythonimport mathx = math.log(2) / math.log(1.04)print("需要约", round(x, 2), "年")```输出结果为:需要约 17.67 年。
例题2:解决指数增长问题某城市人口每年以2%的速度增长。
如果某年的人口为1000万人,请问经过多少年后人口会翻倍?解答:设所需年数为y,则根据指数增长公式:2 * 1000万 = 1000万 * (1 + 0.02)^y将方程进行变形得:2 = (1.02)^y同样,我们可以使用对数函数求解y:y = log(2) / log(1.02)在Python中计算:```pythony = math.log(2) / math.log(1.02)print("需要约", round(y, 2), "年")```输出结果为:需要约 35.00 年。
这些是对数函数的两个经典例题,涉及了复利和指数增长问题。
在实际问题中,对数函数经常用于计算增长速率、时间、复利等方面的问题。
通过应用对数函数,我们可以更好地理解和解决这些问题。
对数函数及其性质
对数函数及其性质知识回顾1、对数函数的定义:2、对数函数的特征:(1) (2) (3)3、对数函数的性质(1)定义域 (2)值域 (3)图像(4)过定点 (5)对称性 (6)变化幅度 例题解析一、对数函数的基本概念1、下列函数中,是对数函数的有( ).(1)y =4x; (2)y =log x 2;(3)y =-log 3x; (4)y =log 0.4x ;(5)y =log (2a -1)x (a >12且a ≠1)(6)y =log 2(x +1).A .1个B .2个C .3个D .4个 二、定点问题例1、函数y =log a (x +2)+3(a >0且a ≠1)的图象过定点( ). A 、(-1,3) B .(3,3) C 、(-1,-3) D .(3,-3)例2、函数y =log a (2x -b )恒过定点(2,0),则b =__________. 练习:1.已知函数()()()1log 20,1a f x x a a =+->≠的图象经过定点(),A m n ,若正数x ,y 满足1m n x y+=,则2xx y y ++的最小值是( )A .5B .10C .533D .5+2.函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则12m n+的最小值为( ) A .7 B .8C .9D .10三、对数函数的图像例1.把函数()()log 0,1a f x x a a =>≠的图象1C 向上平移一个单位,再把所得图象上每一个点的横坐标扩大为原来的2倍,而纵坐标不变,得到图象2C ,此时图象1C 恰与2C 重合,则a 为( ) A .4B .2C .12D .14例2.已知函数log ()a y x b =-的大致图象如下图,则幂函数ba y x =在第一象限的图象可能是( )A .B .C .D .练习:1.函数()f x = )A .B .C .D .2.函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2()log g x x =-的大致图像是( ) A .B .C .D .3.已知0a >,1a ≠,函数x y a =,log ()a y x =-的图象大致是下面的( )A .B .C .D .4.函数lg 1()x x f x x-=的函数图象是( ) A .B .C .D .四、变化幅度和比较大小例17.图中曲线分别表示log a y x =,log b y x =,log c y x =,log d y x =的图象,则a ,b ,c ,d 的关系是( ).A .01a b d c <<<<<B .01b a c d <<<<<C .01d c a b <<<<<D .01c d a b <<<<<例2 比较下列各组数中两个值的大小:(1)log 23.4,log 28.5;(2)log a 5.1,log a 5.9(3)8.0log ,8.0log 6.05.0(4)6log ,7log 76 (5)8.0log ,log 23π练习:1.已知正实数a ,b ,c 满足:21()log 2a a =,21()log 3b b =,2log c c 1=,则( )A .a b c <<B .c b a <<C .b c a <<D .c a b <<2.若0.20.2log 5log 2a =-,0.30.2b =,0.23c =,则a ,b ,c 的大小关系为( ). A .a b c << B .c b a << C .c a b << D .b c a <<3.已知1a e π=,log e b π=,ln c π=,则a ,b ,c的大小关系为( )A .a c b >>B .b a c >>C .c a b >>D .a b c >>4.已知 5.10.9m =,0.90.95.1,log 5.1n p ==,则这三个数的大小关系是( )A .m<n<pB .m<p<nC .p<m<nD .p<n<m五、对数函数的单调性例1、求函数)23(log 221x x y -+=的单调区间。
高一数学对数函数经典例题
高一数学对数函数经典例题1. 对数函数的定义和性质例题1:已知函数$f(x)=\log_2x$,则函数的定义域是______________ 。
例题2:已知函数 $g(x)=\frac{1}{2}^x$,则函数的值域是______________ 。
2. 对数函数的图像与性质例题3:已知函数 $h(x)=\log_{\frac{1}{2}}x$,求函数的图像的平移变换。
例题4:已知函数 $k(x)=\frac{1}{2}^x+2$,求函数的图像的纵向伸缩变换。
3. 对数函数的基本运算法则例题5:已知函数 $p(x)=\log_3x+\log_3(2x)$,求函数的简化形式。
例题6:已知函数 $q(x)=\log_4(3x)-\log_2(2x)$,求函数的简化形式。
4. 对数函数的方程与不等式例题7:解方程 $\log_2(x+1)=3$,并写出方程的所有解。
例题8:解不等式 $\log_4(2x+3)<2$,并写出不等式的解集。
5. 对数函数的应用例题9:已知函数 $r(t)=\log_5(2t+3)$ 表示温度 $t$ 时刻汽车发动机剩余冷却液的容量(单位:升),若剩余冷却液容量小于等于 $1$ 升时发动机自动停止工作,请确定发动机启动后多长时间发动机将会自动停止工作。
例题10:已知函数 $s(x)=\log_2(10x-1)$ 表示一支股票在 $x$ 时刻的价格(单位:元),若股票价格达到超过$10$ 元时将会出现明显波动,请确定此次明显波动的时间段。
以上是高一数学对数函数的经典例题。
希望对你的学习有所帮助。
对数函数及其性质三
典型示例
茅盾中学 对数函数及其性质(三)
4、复合函数奇偶性问题
例5、讨论函数f (x) lg 1 x 的奇偶性. 1 x
练4、讨论函数y ln( x2 1 x)的奇偶性.
总结作业
茅盾中学 对数函数及其性质(三)
复习引入
茅盾中学
1、复合函数定义域问题
2、复合函数值域问题
3、复合函数单调性问题
4、复合函数奇偶性问题
5、复合函数图像问题
对数函数及其性质(三)
典型示例
茅盾中学
1、复合函数定义域问题
例1、求下列函数的定义域 :
对数函数及其性质(三)
(1) y lg 4 x;
(2) y log 1 3x 2).
2
对数函数及其性质(三)
练2、求函数f (x) log 2 (x2 4x 5)的值域.
典型示例
茅盾中学 对数函数及其性质(三)
3、复合函数单调性问题
例3、求函数y log 3 (x 4)的单调递增区间.
例4、求函数y log 1 (2x2 x 6)的单调区间.
2
练3、求函数y log 2 (x2 2x 3)的单调区间 和值域.
2
练1、求下列函数的定义域 :
(1) y log 3 x;
(2) y log x1(16 4x ).
典型示例
茅盾中学
2、复合函数值域问题 例2、求下列函数的值域 :
(1) y log 2 x 3, x [1,); (2) y log 1 (x2 4x 6).
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拓展延伸
应用点一 求对数型函数的定义域
【例1】求下列函数的定义域:
(1)y =log 3(3x -9);(2)y =ln (x -2);
(3)y =log (2x -1)(5x -4).
思路分析:求对数型函数的定义域,除了考虑一般的函数有意义的条件外,还要使对数的底数大于零且不等于1,真数大于零.
解:(1)由3x -9>0,得x >3,即定义域为(3,+∞).
(2)由ln(x -2)≥0,得x -2≥1,
所以x ≥3,即定义域为[3,+∞).
(3)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 5x -4>0,2x -1>0,
2x -1≠1,得x >45
且x ≠1, 所以函数y =log (2x -1)(5x -4)的定义域为(45
,1)∪(1,+∞).
求下列函数的定义域:
(1)
y ;
(2)y =x -4lg (2x -3)
. 应用点二 对数函数的图象
【例2】作函数y =|log 2(x +1)|+2的图象.
思路分析:含有绝对值的函数的图象是一种对称变换,一般地,y =f (|x -a |)的图象是关于直线x =a 对称的轴对称图形;函数y =|f (x )|的图象,在f (x )≥0时与y =f (x )的图象相同,而在f (x )<0时与y =f (x )的图象关于x 轴对称.
解:先作基本函数的图象,然后作适当的图形变换,分步骤完成.
第一步:作y =log 2x 的图象(如图2.2.2-2①);
第二步:将y =log 2x 的图象向左平移1个单位长度,得y =log 2(x +1)的图象(如图
2.2.2-2②);
第三步:将y =log 2(x +1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换,得y =|log 2(x +1)|
的图象(如图2.2.2-2③);
第四步:将y =|log 2(x +1)|的图象向上平移2个单位长度,便得到所求函数的图象(如图
2.2.2-2④).
图2.2.2-2
如图,若C 1,C 2分别为函数y =log a x 和y =log b x 的图象,则( ).
A .0<a <b <1
B .0<b <a <1
C .a >b >1
D .b >a >1
若0<a <1,且函数f (x )=|log a x |,则下列各式中成立的是( ).
A .f (2)>f (13)>f (14
) B .f (14)>f (2)>f (13
) C .f (13)>f (2)>f (14
) D .f (14)>f (13
)>f (2) 应用点三 比较对数值的大小
【例3】比较下列各组值的大小:
(1)1
24log 5与126log 7
;(2)12log 3与15log 3;(3)13log 0.3与log 20.8. 思路分析:充分利用函数的图象和性质(如单调性)来比较两数的大小.
图2.2.2-3
解:(1)函数y =12
log x 在区间(0,+∞)上递减,
又45<67,∴124log 5>12
6log 7. (2)借助y =12log x 及y =15
log x 的图象,如图2.2.2-3所示.
在(1,+∞)上,前者在后者的下方, ∴1125
log 3log 3<.
(3)由对数函数性质知,13
log 0.30>,log 20.8<0, ∴13
log 0.3>log 20.8.
log 43,log 34,log 433443
3log 4的大小顺序为( ). A .4
33log 4
>log 43>log 34 B .log 34>log 43>4
3
3log 4 C .log 34>4
33log 4
>log 43 D .log 433443
3log 4>log 34>log 43 应用点四 解对数不等式
【例4】解不等式:log a (x -4)>log a (x -2).
思路分析:对a 分a >1和0<a <1两种情况进行讨论.
解:当a >1时,由⎩⎪⎨⎪⎧ x -4>x -2,x -4>0,
x -2>0,
得此时无解. 当0<a <1时,由⎩⎪⎨⎪⎧ x -4<x -2,x -4>0,
x -2>0,得x >4.
∴综上可知:当a >1时,不等式的解集为
;
当0<a <1时,不等式的解集为(4,+∞).
应用点五 求反函数
【例5】求y =0.2x +1的反函数. 思路分析:从已知的解析式中解出x ,再将x ,y 互换位置. 解:因为y =0.2x +1,
所以y -1=0.2x ,x =log 0.2(y -1),即y =log 0.2(x -1).
又因为函数y =0.2x +1的值域是y >1,
所以y =log 0.2(x -1)的定义域为x >1,即函数y =0.2x +1的反函数是y =log 0.2(x -1)(x >1).
迁移1.解:(1)由12
410,log 10,0,
x x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩-≠-≥> 得1,41,20.x x x ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
≠≤> ∴定义域是{x |0<x ≤12,且x ≠14
}.
(2)由40,230,lg 230,x x x ⎧⎪⎨⎪()⎩-≥->-≠得4,3,22.
x x x >≥≠ 故所求函数的定义域为{x |x ≥4}.
迁移2.B 解析:作直线y =1,则直线与C 1,C 2的交点的横坐标分别为a ,b ,易知0<b <a <1.
迁移3.D 解析:因为0<a <1, 所以f (x )=|log a x |在(0,1)上单调递减. 所以f (14)>f (13
). 因为f (x )=|log a x |在(1,+∞)上单调递增, 所以f (3)>f (2).
又因为f (3)=|log a 3|=|log a
13|=f (13), 所以f (13
)>f (2). 综上所述,f (14)>f (13
)>f (2). 迁移4.B 解析:因为log 34>1,0<log 43<1,14
43334log log ()43
-==-1, 所以log 34>log 43>4
33log 4
.。