第五 代数结构优秀课件

§2运算及其性质
《定义》：设*是S上的二元运算,对任一xS,则： x1=x, x2=x*x,…xn=xn-1*x
《定理》：设*是S上的二元运算,且x S,对任一m,n I+ 有
（1）xmxn=xm+n
（2）(xm)n=xmn
证明：
（Biblioteka Baidu） xmxn= (xm x) x… x = (xm+1 x) x… x
第五 代数结构
代数系统
第五章 代 数 结 构
§1 代数系统的引入 §2 运算及其性质 §3 半群 §4 群与子群 §5 阿贝尔群和循环群
§6* 陪集与拉格朗日定理 §7 同态与同构
§1 代数系统的引入
《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f：ZnZ,则称f为
Z中的n元运算,整数n称为运算的阶（元,次）。 若n=1,则称f： ZZ为一元运算； 若n=2,则f： Z2Z为二元运算。
§2运算及其性质
例：（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+ 是满足分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不为等幂元 素,对“-”法是不可交换,不可结合的；
（2）在(z)中, ,均是可交换,可结合的, 对, 对 均是可分配的； (z)中任一元素,对,均是等幂元素。∴满足等幂律； 而(z)中,对称差分是可交换,可结合的。 除(s) ={}以外不满足等幂律。∵ = ,而除 以外的A (z)有A A≠A。
例：（1）在正整偶数的集合E中,对×,+运算是封闭的； 在正整奇数的集合中,对×运算是封闭的,
而对+运算不是封闭的。
（2）在前例中,R,I集合中+,-,×运算； (z)的元 素中, ,~,运算等均为封闭的。
§2运算及其性质
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS有 xy∈S则称运算在S上是封闭的。
《定义》:一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运 算f1,f2,….,fk所组成的系统就称为一个代数系统， 记作<A, f1,f2,….,fk>。
§1 代数系统的引入
《定义》:若对给定集合中的元素进行运算,而产生的象 点仍在该集合中,则称此集合在该运算的作用下是封闭 的。 在f：Z2Z二元运算的定义中,本身要求满足运算是封 闭的。
§2运算及其性质
《右能定零 使理θ元》*x，：=于x若*θ是θ=l对θ和。所θ在r分有此别的情是x 况ZZ中下，对，可于θ有*的θZl是左= 唯零θr一元=θ的和，，
并称θ是Z中对*的零元。 证明：方法同幺元。 例： （1）在实数集合R中，对×而言,，θL = θr =0 （2）在(E)中，对而言，θ = ；
对而言，θ = E ； （3）{命题逻辑}中，对∨而言，θ ∨ =T ；
对∧而言，θ ∧ = F。
§2运算及其性质
《定义》：设*是Z中的二元运算，且Z中含幺元e，
令x Z， （1）若存在一xlZ，能使xl *x= e，则称xL是x的左逆 元,并且称x是左可逆的； （2）若存在一xr Z，能使x* xr = e，则称xr是x的右 逆元，并且称x是右可逆的； （3）若元素x既是左可逆的，又是右可逆的，则称x 是可逆的，且x的逆元用x-1表示。
元e1和e2,则有e1* e2= e2= e1,这和假设相矛盾。 ∴若存在幺元的话一定是唯一的。
例： （1）在实数集合R中,对+而言, e+=0；对×而言, e*=1 ； （2）在(E)中,对而言, e =E（全集合）；
对而言, e =（空集）；
§2运算及其性质
（3）{双射函数}中,对“”而言， e =Ix（恒等函数）；
《定义》:设和是集合S上的二个二元运算, 对任一x,y,z S有 x （y z）=（x y） （x z）；
（y z） x=（y x） （z x）,则称运算对是 可分配的（或称对满足分配律）。
§2运算及其性质
《定义》:设，是定义在集合S上的两个可交换二元运 算，如果对于任意的x,yS，都有： x (x y)=x；x (xy)=x
（4）{命题逻辑}中，对∨而言，e ∨ =F（永假式）； 对∧而言， e ∧ =T（永真式）。
《定义》：设*是对集合Z中的二元运算， （1）若有一元素θl Z，且对每一个x Z有 θl *x= θl ，则称θl 为Z中对于*的左零元； （2）若有一元素θr Z，且对每一个x Z有 x* θr= θr ，则称θr为Z中对于*的右零元。
本章主要讨论一元运算和二元运算。
例：（1）在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而对 ÷而言就不是二元运算
（2）在集合Z的幂集(z)中,,均为二元运算,而 “~”是一元运算；
§1 代数系统的引入
（3）{命题公式}中,∨,∧均为二元运算,而“”为一元 运算
（4）{双射函数}中,函数的合成运算是二元运算； 二元运算常用符号：+,,,,,,,等等。
n
n-1
=….= xm+n （2）(xm)n= xm … xm= xm+m xm … xm=…=xmn
n
n-1
§2运算及其性质
下面定义特异元素幺元,零元和逆元。
《定义》：设*是集合Z中的二元运算,
(中1)对若于有*一的元左素幺e元l (左Z,对单任位一元x素)；Z有el*x=x；则称el为Z (中2)对若于有*一的元右素幺e元r （Z右,对单任元一元x 素Z）有。x* er=x；则称er为Z
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS有 xy=y x,则称运算在S上是可交换的（或者说在S 上满足交换律）。
§2运算及其性质
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,y,z S 都有 （x y） z=x （y z）,则称运算在S上是可结 合的（或者说*在S上满足结合律）。
则称运算和运算满足吸收律。 《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一 x S有x x=x,则称满足等幂律。 讨论定义： 1)S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律； 2)若在S上存在元素xS有x x=x,则称x为S上的幂等元
素； 3)由此定义,若x是幂等元素,则有x x=x和xn=x成立。
《定理》：若el和er分别是Z中对于*的左幺元和右幺元,
则称e对为于Z每中一关个于x运算Z，* 的可幺有元el=，e且r =e
e和e*x=x* e=x，则 Z是唯一的。
§2运算及其性质
∵ el和er分别是对*的左,右左元， 则有el * er = er = el
∴有el = er = e成立。 （2）幺元e是唯一的。用反证法：假设有二个不同的幺