第四章 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示

一、选择题
1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( )
A ．(6,3)
B ．(－2，－6)
C ．(2,1)
D ．(7,2)
解析：2a －3b ＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．
答案：B
2．(2012·黔西南州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )
A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2
解析：∵a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，
又a ＋b 与4b －2a 平行，
∴3(4x －2)＝6(1＋x )，解得x ＝2.
答案：D
3．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )
A ．－12a ＋32
b B.12a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12
b 解析：设
c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝λ＋μ，2＝λ－μ.∴⎩⎨⎧ λ＝12，μ＝－32.
∴c ＝12a －32
b . 答案：B
4．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，
那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴存在实数t ，满足AB ＝t AC ，即λa ＋b ＝ta ＋μtb ，
又a ，b 是不共线的向量，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝t ，1＝μt ，∴λμ＝1. 答案：D
5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线
与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝( )
A.14a ＋12
b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23
b 解析：由已知得DE ＝1
3
EB ， 又△DEF ∽△BEA ，
∴DF ＝13
AB . 即DF ＝13DC .∴CF ＝23
CD ， ∴CF ＝23CD ＝23
(OD －OC ) ＝23⎝⎛⎭⎫12b －12a ＝13b －13
a ， ∴AF ＝AC ＋CF ＝a ＋13
b －13
a ＝23a ＋13
b . 答案：B
二、填空题
6．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．
解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．
答案：(－4，－2)
7．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .
解析：∵e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －n ＝1，2m ＋n ＝1，∴m ＝23，n ＝－13. 答案：23 －13
三、解答题
8．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC ＝13AB ，DA ＝－13
BA ，求点C ，D 的坐标和CD 的坐标．
解：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
由题意得AC ＝(x 1＋1，y 1－2)，AB ＝(3,6)，
DA ＝(－1－x 2,2－y 2)，BA ＝(－3，－6)．
因为AC ＝13 AB ，DA ＝－13
BA ， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2
＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，
从而CD ＝(－2，－4)．
9．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．
(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；
(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．
解：(1)由已知得AB ＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，
∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥AC .
∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.
(2)∵AC ＝2AB ，
∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝－3. ∴点C 的坐标为(5，－3)．
10．(2012·东营模拟)已知P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0.延长AP 交
BC 于点D ，若AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP 、AD .
解：∵BP ＝AP －AB ＝AP －a ，CP ＝AP －AC ＝AP －b ，
又3AP ＋4BP ＋5CP ＝0，
∴3AP ＋4(AP －a )＋5(AP －b )＝0，
化简，得AP ＝13a ＋512
b .
设AD ＝t AP (t ∈R)，
则AD ＝13ta ＋512
tb .① 又设BD ＝k BC (k ∈R)，
由BC ＝AC －AB ＝b －a ，得
BD ＝k (b －a )．而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ， ∴AD ＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .②
由①②，得⎩⎨⎧ 13t ＝1－k ，
512t ＝k .
解得t ＝43. 代入①，有AD ＝49a ＋59b .。