初三数学-二次函数讲义-详细

二次函数
一、二次函数的解析式
1. 二次函数解析式有三种：
(1) 一般式：y 二ax2 bx c (a = 0)
2
(2) 顶点式：y二ax-hi亠k 顶点为h, k
(3)交点式：y = a x — x1x — x2咅，0 x?，0是图象与x轴交点坐标。

2. 根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式
二、二次函数与一元二次方程
_ 2 2
1. 二次函数y = ax bx c ^^0与一元二次方程ax • bx • c = 0 a = 0的关系。

一元二次方程ax bx 0是二次函数y二ax bx c当函数值y = 0时的特殊
情况。

2. 图像与x轴的交点个数：
①当厶二b2 -4ac 0时，图像与x轴交于两点A x1,0 ,B x2,0 x<^ x2，其中^,x2
是一元二次方程ax ■ bx ■ c = 0 a = 0的两根；
②当厶=0时，图像与x轴只有一个交点；
③当■ = ：：0时，图像与x轴没有交点。

1 '当a 0时，图像落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y -0
2 '当a :: 0时，图像落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y ：：：0。

板块一二次函
数解析式
1
1. (1)把函数丫=丄x2+3x+2化成它的顶点式的形式为______________________________ ；
2
⑵把函数y = Jx2+4x +6化成它的交点式形式为___________________________________ ；
2
⑶把函数y =3(x-2 )+4化为它的一般式的形式为_________________________________ ；
⑷把函数y =3(x -1)2-12化成它的交点式为________________________________ ;
(5)把函数y =2x2的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的二次函数解析式是；
⑹把抛物线y = x2 2x -3向左平移3个单位,然后向下平移2个单位,则所得的抛物线的解析式为—•—
2. (1)抛物线了y=a(x+1)(x-3)(a 工0)的对称轴是直线()
⑵已知二次函数y = ax ? +bx +c 的对称轴为x = 2,且经过点(1 , 4),(5,0), 求二次函数 的解析式
⑶已知二次函数过点(0，-1)，且顶点为(-1,2)，求二次函数的解析式，并化成它的一 般形式。

⑷ 已知二次函数的图像与 x 轴交于A(-1，0)，B(2，0)，并经过点M(1, 2)求二次函数
的解析式。

4. 已知二次函数的图象与 x 轴交于A(-2，0)、B(3，0)两点，且函数有最大值是 2. (1)求二次函数的图象的解析式；
⑵设次二次函数的顶点为 戸，求厶ABP 的面积.
板块二二次函数与方程
2
1. (1)二次函数y =ax bx c 与x 轴的两个交点坐标为(-1,0)、(5,0)，则一元二次方
程ax 2 +bx + c = 0的两根为 _______________ .
A. x=1 B .x=— 1 C .x=— 3 D . x=3
(2)二次函数 y=(x+1) 2+2的最小值是
()
A. 2
B
.1
C
.—3
D
.-
3
3.(1)已知一个二次函数过(0 , 0) , (-1 , 11) , (1
9)三点，求二次函数的解析式
⑵如果一元二次方程ax2• bx • c = 0的两个根是3和-1.则二次函数y = ax2 bx c的
图像的对称轴是直线___________________ .
2
⑶已知二次函数y =-x - 4x - m的部分图像如右图所示，则关于x的一元
二次方程
—x2 +4x +m = 0 的解是_______________ .
2.根据下列表格中二次函数y =ax2，bx c的自变量x与函数y的对应值，判断方程
ax bx ^0 a=0,a,b,c为常数的一个解x的范围是()
x 6.17 6.18 6.19 6.20
-0.03-0.010.020.04
y =ax2 +bx +c
A. 6：：x：6.17
B. 6.17 ：： x ：： 6.18
C. 6.18 ：： x ：： 6.19
D. 6.19 ：：x ：： 6.20
2
3.已知二次函数y =ax bx c的y与x的部分对应值如下表：
x-1013
y-3131
则下列判断中正确的是()
A.抛物线开口向上
B. 抛物线与y轴交于负半轴
2
C.当x = 4时，y • 0
D. 方程ax bx ^0的正根在3和4之间
4.(1)已知直线y=5x + k与抛物线y=x2+3x+5的交点的横坐标为1,则k= ___________________
(2) 直线y=4x+1与抛物线y = x +2x + k有唯一的交点，贝V k= _______________
(3) 直线y=ax—6与抛物线y=x +4x+3只有一个交点，则a= __________________
2
⑷当m取何值时，抛物线y =x与直线x m :①有公共交点；②没有公共点
5.已知关于x的二次函数y = x2- 2m T x • m2• 3m • 4，探究m满足什么条件时，二次函数y 的图像与x的交点个数。

2
6.二次函数y =ax • bx • c a = 0的部分图像如图所示，根据图象解答下列问题:
(1)写出x为何值时，y的值大于0 ；
⑵写出X为何值时，y随X的增大而增大;
⑶若方程ax bx k有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

板块三二次函数与不等式
1.(1)不论x为何值时，y=ax2十bx+c永远为正值的条件是()
a 0, _ 0 C. a 0,二0 D. a ■ 0,. ：：：0
A . a 0,二；：0 B.
2
⑵若抛物线y = m -1 x - 2mx - m 3位于x轴上方，则m的取值范围是()
A. m 1
B. m 3
C. m_3
D. 1”仝
2 2 2
2
(3)二次函数y = ax 'bx c对于x的任何值都恒为负值的条件是(
A . a 0,二0 B. a 0,二；：0 C. a 0,, ；^0 D.
2. (1)如图1所示：抛物线y=ax2+bx+c ( a工0)的对称轴是直线x=1，则(
(A) c 0 ; (B) 2a b =0 (C) b2-4ac 0 ；(D)
a -
b
c 0
2 . .
(2)已知二次函数y=ax +bx+c(a工0)的图象如图2所示，c>0;③ b2一4ac>0;
④a-b+c<0 ,其中正确的个数是()A
D. 4
⑶已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3所示，则下列
—2b+c, 2a+b, 2a —b中，其值大于0的个数为(
C . 4
D . 5
(4)如图4,在直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系式不正确的是
()
A . h=m
B . k=n
C . k>n D
则下列四个结论：①b<0;
5个代数式：ac, a+b+c,
)A . 2 B .
4a
3 图1
2
(5)已知二次函数y二ax bx c的图象如图6所示，有以下结论：① a b ： 0:②
a -
b •
c 1 ；③abc 0 ；④4^ 2b c 0 ;⑤c - a 1其中正确结论的序号是 ( )
A. ①②
B. ①③④
C. ①②③⑤
D. ①②③④⑤
(6)已知二次函数y二ax2 + bx + c( a = 0 )的图象如图7所示，则下列结论：1)a,b同号；2)当x = 1和x = 3时，函数值相同；3) 4a + b = 0 ；4)当y = - 2时，x的值只
能为0；其中正确的是_____________________
3.(1)如图7，% = ax2+ bx + c(a H 0)与y2= kx 的图像交于点A( -2 , 4)，B(8, 2)，
8所示.当y v 0时，自变量x的取值范围
2
(2)二次函数y=x -2x-3的图象如图
观察图像，写出力_ y2时x的取值范围，方程ax2bx m的解为 ______________
⑶已知，抛物线y = x2 -6x 5,满足x2-6x • 5 ：：：0的x的取值范围是_________ .—
2
4.如图，直线y = x • m和抛物线y =x bx c都经过点A(1, 0), B(3 , 2)。

(1) 求m的值和抛物线的解析式;
(2) 求不等式 2
x bx c x m的解集
【课后练习】
1.已知二次函数
\
0A
A
y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的()
2. 小强从如图1所示的二次函数y=ax 2 2+bx+c 的图象中，观察得
出了下列五个结论：① a<0;②c>1 :③b>0;④a+b+c>0; ⑤a — b+c>0.其中正确的个数是()
A. 2 B . 3 C . 4 D . 5
3. 二次函数y=ax 3 4+bx+c (a 工0)的图象如图2所示，则下列判断错误的是()
2
A. a<0 B . b<0 C . c<0 D . b — 4ac<0
4. 用配方法把二次函数 y=x 2 — 4x+3变成它的顶点式为 ________________________
5. 已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是
(1 , — 2)，求这个二次函数
的解析
式.
2
6. 二次函数y =ax bx c 0的图象如图所示，根据图象解答下列问题: (1) 方程 ax 2 +bx +c =0的两个根是 __________________ (2) 不等式 ax 2 +bx +c a 0的解集是 ___________________ (3)
y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围是
(4) 若方程ax bx
k 有两个不相等的实数根，则
k 的取值范
围是 _________________ 7.
如图，二次函数过点 A(0，— 2) , B( — 1, 0) , C(-5,9).
(1)求此二次函数的解析式. ⑵点M(1,丄)是否在直线 AC 上?
(3)过点M(1,丄)作一条直线丨与二次函数的图象交于 E 、F 两点(不同于A 、B 、C 三点)，请
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自己给出点E的坐标，并证明厶BEF是直角三角形.。