约束优化二次规划与SQP

找出“最优的”证券投资组合！
⊙ 参数
，设定值依赖于投资者的个人偏好
保守型投资者：大的参数取值 冒险性投资者：小的参数取值
等式约束二次规划 积极集法 逐步二次规划法
等式约束二次规划
等式约束二次规划
其中
假定:
线性无关
核心思想：消元法(基本、广义)
其中
，A1可逆
等式约束二次规划－基本消元法
消去 x3 代入 q(x)
积极集法－算法的原理(续)
◎ x(k)是当前等式约束问题的解，即s(k) =0： 设当前等式约束问题的Lagrange乘子是
⊙ 乘子中与不等式约束对应的分量非负： x(k)是原问题的KKT点，进而是全局解
⊙ 否则，存在
通常取指标 q 满足：
积极集法－算例
积极集法－算例(续)
作业中用同样的初始点和不同的初始工作集进行迭代求解
即使初始工作集相同，后面的迭代也可能不同 ⊙ 选取初试工作集的额外要求：所选约束的梯度线性无关 ⊙ 迭代次数有可能超过不等式约束的个数
逐步二次规划法
Successive Quadratic Programming Method
假设和记号
在设计和分析算法时，通常假设 f(x) , ci(x) 是连续 可微(二阶连续可微)的，且导数是李普希兹连续的！
积极集法－算法
算法10.2.1 求解凸二次规划的积极集法
积极集法－理论分析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理10.2.1 设 x(k) 是等式约束二次规划子问题的最优解，
是对应的乘子. 假设约束的梯度向量
线性无关，且存在指标
使得
. 考虑
问题
设该问题的解为 s’ . 则 s’ 是第 j 个约束的可行方向，即
. 此外，如果 s’ 满足二阶充分条件，则
等式约束二次规划－基本消元法(续)
找 A 的可逆子矩阵 A1，进行消元
如果 正定，解方程组
可得惟一解
等式约束二次规划－广义消元法
令 Y 和 Z 分别是 n×m 与 n×(n-m)矩阵，满足
考察方程组ATx=b: Yb是特解；通解x=Yb+ s， 其中s 是齐次线性方程组ATs=0的解
任一可行解均可表示为: x=Yb+Zy
基本/局部逐步二次规划法(续)
假设
是等式约束问题的满足二阶充分条件的极
小点，即
这里 Z 是A*Ts=0的基础解系组成的矩阵.
则s*=0 (x*)是下列问题的惟一最优解
基本/局部逐步二次规划法(续)
算法10.3.1 基本SQP法
基本/局部逐步二次规划法(续)
例
基本/局部逐步二次规划法(续)
• 优点：局部二阶收敛
其中
积极集法－算法的原理
◎ x(k)不是当前等式约束问题的解，即s(k) ≠0: ⊙ x(k) +s(k)满足其它约束： ，工作集保持不变 ⊙ x(k) +s(k)不满足某些约束，找阻滞约束和步长：
称取到最小值的指标 p对应的约束为阻滞(blocking)约束
无阻滞约束时，工作 集不变；否则给工作 集添加一个阻滞约束
凸二次规划
技术注记：此处用线性约束规范代替LICQ! 故二次规划的任 一解x*均满足KKT条件
最优积极集！
积极集法－算法的动机(motivation)
如果提前知道 ，求解
对最优积极集进行猜测，并不断修正，直到得到正确的！ 考虑第 k 次迭代： x(k)是可行点， Wk 是工作集(由等式约束和部分或全部 积极不等式约束组成)
⊙ 梯度投影法(gradient-projection methods)
界约束QP(BoxQP)!
⊙ 内点法(interior-point methods)
大规模凸二次规划！
积极集法
积极集法－问题
其中 G 是 n 阶对称方阵，ai , d是 n 维常向量 解的情况：无可行解、无界、有解
G 半正定
.
定理10.2.2 假设 s(k) 是关于增量的等式约束二次规划子问题 的最优解，且满足该问题的二阶充分条件，则 p(k) =s(k) 是 原目标函数的下降方向. 线搜索法、每个迭代点都可行
积极集法－进一步说明
⊙ 存在许多技术确定初始点－－比如人工变量法！ ⊙ 在恰当的假定下可证明－－算法有限步找到解！ ⊙ 可以推广来求解非凸二次规划 ⊙ 初试点相同，但初始工作集不同，则后面的迭代不同；
约束优化二次规划与SQP
有价证券的组合优化(续)
⊙ 证卷组合： 证卷组合的利润： 证卷组合的期望收益和方差：
G 是半正定矩阵！ ⊙ 证卷组合优化(portfolio optimization)：
有价证券的组合优化(续)
Markowitz引入风险容许参数(risk tolerance parameter)
定理 假设 x*是等式约束问题的满足二阶充分条件的局
部极小点, 且rank (A*)=m ， 是惟一的Lagrange乘子.
则当
充分接近
时，Lagrange-Newton
法有定义，且由该方法产生的序列
二次
收敛到
.
基本/局部逐步二次规划法
考虑二次规划问题
的解和对应的Lagrange乘子，其中 二次规划的 KKT条件
• 近似二阶导数
⊙ 用近似矩阵B(k)代替W(k) ⊙ 用近似矩阵代替既约海森矩阵Z(k)TW(k) Z(k)
• 子问题的求解
等式约束问题－Lagrange-Newton法
KKT条件： 其中
等式约束问题－Lagrange-Newton法
KKT条件： 其中
设
是近似解，则其牛顿校正
满足
等式约束问题－Lagrange-Newton法(续)
令
，上述方程组即
给定初始点
，利用上面两式进行迭代
解等式约束问题的－ Lagrange-Newton法
• 存在问题
⊙ 初始点不好时，迭代可能发散 ⊙ 子问题的解可能不存在－无界或者不可行 ⊙ 需要二阶导数－W(k)
实用逐步二次规划法
• 全局化策略：使用线搜索策略或者信赖域策略
⊙ 评价函数法 常用的是 l1 精确罚函数，迭代中需更新惩罚因子；
⊙ 滤子(Filter)法
存在问题：具有Martos效应，需要采取校正措施
如果ZTGZ正定，则原问题有惟一解，解方程组
等式约束二次规划－广义消元法(续)
构造 Y 和 Z的正交分解法 对矩阵 A 进行QR分解，即
等式约束二次规划－广义消元法(续)
实用二次规划算法综述
⊙ 经典积极集法(classical active-set methods)
求解凸和非凸二次规划问题－－中小规模(几百个变量！)