大物教材参考答案

1.7 一质点的运动学方程为22(1,)x t y t ==-,x 和y 均以为m 单位,t 以s 为单位，试求：

（1）质点的轨迹方程；、

（2）在t=2s 时，质点的速度v 和加速度a 。

解：（1）由运动学方程消去时间t 可得质点的轨迹方程，将t =代入有

2

1)y = 或1=-

(2)对运动学方程微分求速度及加速度,即 2x dx v x dt

=

= 2(1)y dy v t dt

=

=- 22(1)v ti t j =+-

2,2y x x y dv dv a a dt

dt

=

==

= 22a i j =+

当t=2s 时,速度和加速度分别是

42v i j =+ /m s 22a i j =+

2

/m s

1.8 已知一质点的运动学方程为2

2(2)r ti t j =+-

,其中, r ,t 分别以 m 和s 为单位,试

求:

(1) 从t=1s 到t=2s 质点的位移； (2) t=2s 时质点的速度和加速度； (3) 质点的轨迹方程；

（4）在Oxy 平面内画出质点的运动轨迹，并在轨迹图上标出t=2s 时，质点的位矢r

,速度v 和加速度a 。

解： 依题意有

x=2t （1） y= 2

2t - (2)

(1) 将t=1s,t=2s 代入，有(1)r = 2i j + ， (

2)42r i j =-

故质点的位移为 (2)(1)23r r r i j ∆=-=-

(2) 通过对运动学方程求导可得

22dx dy v i j i t j dt dt =+=- 22222d x d y a i j j dt dt

=+=-

当t=2s 时，速度，加速度为 24v i j =- /m s 2a j =-

2

/m s

(3) 由（1）（2）两式消去时间t 可得质点的轨迹方程 2

2/4y x =- （4）图略。

1.11 一质点沿半径R=1m 的圆周运动。t=0时，质点位于A 点，如图。然后沿顺时针方向

运动，运动学方程2

s t t ππ=+,其中s 的单位为m ，t 的单位为s ，试求： （1）质点绕行一周所经历的路程，位移，平均速度和平均速率； （2）质点在第1秒末的速度和加速度的大小。 解： (1) 质点绕行一周所经历的路程为圆周 周的周长，即2 6.28s R m π∆==由位移和平 均速度的定义，可知此时的位移为零，平均速度 也为零，即

0r ∆=

， 0r v t

∆==∆ 令2

()(0)2s s t s t t R πππ∆=-=+=。可得质点绕行一周所需时间1t s ∆= 平均速率为2 6.28/s R v m s t

t

π∆=

==∆∆

由以上结果可以看出路程和位移，速度和速率是不相同的。

（2）t 时刻质点的速度和加速度大小为

2ds v t dt

ππ=

=+

a =

当t=1s 时， v=9.42m/s a=89.02

/m s .

1.14 一质点沿半径为0.1m 的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为3

24t θ

=+，θ的

单位为rad,t 的单位为s ，试求：

（1）在t=2s 时，质点的切向加速度和法向加速度的大小； （2）当θ等于多少时，质点的加速度和半径的夹角成0

45。

解：（1）质点的角速度及角加速度为 2

12d t dt

θω== ，2

2

24d t dt

θβ=

=

因此，质点的法向加速度和切向加速度大小为 24

144n a R R t ω==，24a R Rt τβ== 当t=2s 时，2230.4/n a m s =， 2

4.8/a m s τ=。

（2）设时刻'

t ，a

和半径夹角为 0

45，此时n a a τ=，即

144R '4t =24R 't 得'3

1/6t s = ''3

()242.67t t r a d θ=+=。

4.6

质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为cos sin r a ti b t j ωω=+

。

（1）试求质点的动量；

（2）试求从t=0到t=

2π

ω

这段时间内质点受到的合力的冲量，并说明在上述时间内，质点的动量是否守恒？为什么？

解：（1）由质点运动学方程得质点速度v =d r d t

=sin cos a ti b t j ωωωω-+

动量为 sin cos p m v m a ti m b t j ωωωω==-+

（2）根据动量定理，合力的冲量为 2()(0)0

I P P πω

=-=

虽然t=0和t=

2π

ω

时质点的动量是一样的，但在上述时间内，由（1）中动量的表达式可以

看出动量是时间的函数并不守恒。所以质点的动量不守恒。

4.14 一质点M=10kg 的物体放在光滑的水平桌面上，并与一水平轻弹簧相连，弹簧的劲度

系数k=100N/m 。今有一质量m=1kg 的小球以水平速度04/v m s =飞来，与物体M 相撞后以12/v m s =的速度弹回，试求:

(1) 弹簧被压缩的长度是多少？

（2）小球m 和物体M 的碰撞是完全弹性碰撞吗？

（3）如果小球上涂有黏性物质，相撞后可与M 粘在一起，则（1）（2）所向的结果又如何？ 解： 碰撞过程物体，小球，弹簧组成系统的动量守恒 01mv mv M u =-+ 01()

0.6/m v v u m s M -=

=

小球与弹簧碰撞，弹簧被压缩，对物体M 有作用力，对物体M ，由动能定理得： （1）2

2

1102

2

kx M u -

=-

弹簧被压缩的长度

0.60.06x =

=

= m

（2）2

2

2

101112

2

2

k E M u m v m v ∆=+

-

=

2

2

2

11110(0.6)12142

2

2

⨯⨯+

⨯⨯-

⨯⨯= 4.2-J 有动能损失说明是非弹性碰撞。

（3）小球与物体M 碰撞后粘在一起，设其共同速度为'

u ，根据动量守恒及动能定理 '

0()m v M m u =+ 即'2

'2

110()2

2

kx

M m u =-

+

此时弹簧被压缩的长度是'

0.04x =

=

= m

碰撞后，两物体粘在一起，这种碰撞为完全非弹性碰撞。