简谐振动的研究

实验4—5 简谐振动的研究
振动和波动理论是声学、地震学、建筑力学、光学、无线电技术等学科的基础，而简谐振动又是振动学和波动学的理论基础，因为一切复杂的振动都可以看作是多个简谐振动的合成。

因此，熟悉简谐振动的规律及其特征，对于学习振动和波动的知识是十分必要的。

研究简谐振动的实验仪器和方法很多，气垫导轨就是其中之一。

在气垫导轨上做实验可以减小摩擦力，从而使某些力学实验要求低摩擦力的条件得以实现，同时配以计时装置和其它各种附件，便可以在气垫导轨上较容易的实现运动学、动力学及能量等方面的实验。

所以，气垫导轨作为一种教学仪器被广泛应用。

【实验目的】
1．熟悉气垫导轨的使用。

2．了解简谐振动的规律和特征，测出弹簧振子的周期。

3．自行设计实验步骤测量弹簧振子中弹簧的劲度系数和有效质量。

4．自行设计实验步骤验证简谐振动中的机械能守恒。

【实验原理】
1.气垫导轨的介绍
1) 气垫导轨：本实验中的导轨是由长为2米的非常平直的三角管状铝质材料制成的，其表面均匀地分布着直径为0.4 mm的喷气小孔。

从导轨的一端送进压缩空气，由小孔喷出，与导轨上的滑块之间形成一层空气薄膜——“气垫”，将滑块浮起，使滑块近似地在导轨上做无摩擦运动。

整个导轨安装在工字架上，下面的底角螺丝用来调节导轨水平，如图4-5-1所示。

图4-5-1气垫导轨图4-5-2 U形挡光片
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2) 滑块：作为研究对象的滑块是由长10～20 cm 的角状铝组成，其内表面与导轨的两侧
面经精密加工达到精密吻合，两端可装缓冲弹簧和尼龙搭扣，上面装有挡光片。

3) 挡光片：挡光片分为条形和U 形两种。

U 形挡光片中s ∆为其有效宽度，作为挡光或
遮光物，如图4-5-2所示。

4) 导轨水平的调节：
① 静态调节法：导轨通气后，将滑块轻轻置于导轨中间部位，如果滑块做定向运动，
则说明导轨没有水平，这时应该调节单个底角螺丝，直到滑块保持不动或稍有不定向滑动。

② 动态调节：把两个光电门置于导轨中央彼此相距60－70 cm 处，将滑块放在一端，
并给以一定的初速度，使之平稳运动，分别记下通过两光电门的时间1t ∆和2t ∆，一般认为
21t t ∆=∆时，导轨已达水平。

2. 简谐振动的动力学规律
如图4-5-3所示，气垫导轨上质量为m 的滑块两端各连接一个劲度系数为1k 的弹簧，弹
簧的另一端固定在导轨两端，滑块处于平衡位置时每个弹簧的伸长量为0x , 滑块在气轨上作
往返运动时，略去阻尼，其运动应该是一个简谐振动。

当滑块距平衡位置为x 时，其运动方
程为
x
M kx =- （其中12k k =） （4-5-1） 求解（4-5-1）式可以得到
00cos()x A t ωϕ=-+
000sin()dx v A t dt
ωωϕ==-+ X
x
o x o (a)
(b)
图4-5-3 简谐振动研究实验装置图
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181 220002cos()d x a A t dt
ωωϕ==-+ （4-5-2） （4-5-2）式中 M k =
0ω 则有周期 k
m m k M T 00222+===ππωπ
（4-5-3） 其中0m m M +=是弹簧振子的有效质量，0m 是弹簧的等效质量。

由此可见，弹簧振子的周期由振子的有效质量M 和弹簧的劲度系数k 决定，与振幅无关。

若测出不同质量i m 下的周期i T ，则有
)(4012
2
1
m m k T +=π )(4022
2
2
m m k T +=π ……
)(4062
2
6
m m k T +=π （4-5-4） 本实验中滑块质量采取等质量递增，可以用逐差法处理数据，由（4-5-4）式可以得到
)
()()()(4321242225232632T T T T T T m m k i i -+-+--⨯⨯=+π （4-5-5） 代入测量数值，求出其平均值。

再将k 代入（4-5-4）式得到
i i i m T k m -=2204π
（4-5-6） 从而可以求得0m 的平均值。

也可以用作图法处理数据。

作2T m 图，结果是一条直线，直线的斜率为24π/k ，截
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距为（24π/k ）0m 。

所以利用2T m 图，很容易求得k 和0m 的数值。

3. 简谐振动中的能量守恒 当滑块距平衡位置为x 时，弹簧振子系统的动能为
202)(2
121v m m Mv E k +== （4-5-7） 势能（设弹簧自然长度时弹簧振子系统的势能为零）为
2022012012
121)(21)(21kx kx x x k x x k E p +=-++= （4-5-8） 上式中0x 是弹簧振子处于平衡位置时每个弹簧的伸长量。

总机械能为
202202202
1212121kx kA kx A M E •E E p k +=+=+=ω （4-5-9） 可以看出，E 为一个恒量，与x 无关。

通过测定各个位置的k E 和p E ，验证是否满足机械能守恒。

【实验仪器】
气垫导轨，气源，滑块，平板挡光片，U 形挡光片， MUJ —ⅢA 计时、计数、测速仪，光电门，弹簧（2根），天平，砝码。

【实验内容与步骤】
1. 测定周期T ，观察振动系统的周期与振幅的关系
1) 打开气源，把滑块置于气垫导轨上并将气垫导轨调水平，将弹簧连于滑块和气垫导轨两端之间。

使滑块离开平衡位置，观察其振动情况。

2) 四芯线的两个接头分别接导轨上的光电门和计时、计数、测速仪背后的接口，按下计时、计数、测速仪的周期键，设定记录时间为十个周期。

滑块的振幅依次取10cm 、20cm 、30cm ，分别测出其振动10个周期的时间，每个振幅测三次。

2. 测定弹簧的劲度系数和等效质量（自行拟定具体实验步骤）
不断改变滑块的质量（所加砝码的质量记为m δ），测出对应的周期。

实验数据处理要求先用逐差法求出k 和0m 值，再用作图法处理数据，在标准计算纸上以i m 为横坐标，以2i T 为纵坐标，做2T m 图，根据图中曲线的斜率和截距求出k 和0m 的值。

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3. 验证简谐振动中的能量守恒（自行拟定具体实验步骤） 在验证机械能守恒的实际测量过程中，因为势能中202
1kx 部分是常数，所以，可以测21'2
p E kx =，用''k p E E E =+ 验证机械能守恒。

由于挡光片本身占有一定的宽度，平衡位置不易找准，所以实验中采取两侧求v ，最后取平均值得到选定位置的速度。

【实验注意事项及常见故障的排除】
1. 气垫导轨的轨面的光洁度和平整度要求很高，必须倍加爱护，切勿压、划、敲击等。

2. 在导轨未通气时，不要将滑块在导轨上来回滑动，调节滑块上挡光片的位置或更换挡片时，应该把滑块从导轨上取下。

3. 要爱护弹簧，缓慢拉伸并一定注意不要超出弹性范围。

4. 注意防尘，实验前最好用干净软泡沫塑料块将导轨表面上的灰尘轻轻拂去，实验后整理好所有仪器并用软布盖好。

【实验数据处理及分析】
自拟数据记录表格，并按实验要求对数据进行处理，得出实验结果或结论，并对其进行误差分析，设计可行的减小误差的措施。

【思考题】
1. 仔细观察滑块的振幅有无衰减，分析其原因。

2. 弹簧振动时的等效质量并不等于弹簧的全部质量，为什么？
3. 实验中如果两个弹簧的劲度系数不一样，该实验能否实现？如能实现，操作过程应做哪些相应的调整？
【参考文献】
[1] 龚雄镇. 气轨上的物理实验[M]. 北京：北京大学出版社，1983
[2] 郑伯玮. 大学物理实验[M]. 北京：高等教育出版社，2000
[3] 张雄，王黎智等. 物理实验设计与研究[M]. 北京：科学出版社，2001
【附 录】
MUJ —ⅢA 计时、计数、测速仪的使用简介
本机采用单片微处理器，程序化控制，是一种新型设计的智能化仪器，可广泛应用于各
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种计时、计数、测速实验中。

在与气垫导轨配套使用时，除具有一般数字计时器的功能外，还具有将所测时间直接转换为速度、加速度的特殊功能。

1. 结构名称（如图4-5-4）
2. 功能、使用与选择
1）功能键
① 功能选择、复位键：用于五种功能的选择及取消显示数据、复位。

② 数值转换键：用于挡光片宽度设定，简谐运动周期值的设定，测量单位的转换。

2）使用
① 开机前接插好电源。

② 根据实验的需要，选择所需光电门的数量，将光电门线插入P1、P2插口（注意一定要接插可靠）。

③ 按下电源开关。

④ 按功能选择复位键，选择您所需要的功能。

注意：当光电门没遮光时每按键 一次 转换一种功能，循环显示。

当光电门遮光时按一下此键复位清零。

⑤ 当每次开机时，挡光片宽度会自动设定为10mm ，周期自动设定为10次。

⑥ 当选择及计时，加速度或碰撞功能时，按下数值转换键小于1.5秒时，测量数值自动在ms 、cm/s 、cm/s 2循环显示供您选择。

⑦ 按下数值转换键大于1.5秒将显示已设定挡光片的宽度1cm 显示1.0，3cm 显示3.0，此时如有已完成的实验数据可保持。

⑧ 再按数值转换键，可重新选择您所需要的挡光片宽度，
前面所保持的实验数据将被清
1.溢出指标；
2.电源开关；
3.LED 显示屏；
4.测量单位指示灯；
5.功能选择复位键；
6.功能指示灯；
7.功能转换键。

图4-5-4 MUJ —ⅢA 计时、计数、测速仪的面板图
实验4—5 简谐振动的研究185 除。

注：使用挡光片宽度数值应相符。

否则显示ms时正确，转换成cm/s2时将是错误的。

⑨当功能选择周期（T）时，按上述方法可设定您所需要的周期数值。

3.实验与操作
（仅显示时间时可忽实验开始前确认所使用的挡光片与本机设定的挡光片宽度是否相等。

略此项操作。

）
1）计时（S1）：测量P1口或P2口两次挡光时间间隔及滑块通过P1、P2口两只光电门的速度
①将光电门连接线接插可靠。

②按下功能选择键，设定在计时功能。

③让带有凹形挡光片的滑行器通过光电门，即可显示所需要的测量数据。

④此项实验可连续测量。

2）加速度（a）：测量滑块通过每个光电门的速度及通过相邻光电门的时间或这段路程的加速度a。

①将选择的2～4个光电门接插可靠。

②按功能选择键，设定在加速度功能。

③让带有凹形挡光片的滑行器通过光电门。

④本机会循环显示下列数据：
1 第一个光电门
×××××第一个光电门测量值
2 第二个光电门
×××××第二个光电门测量值
1—2 第一至第二光电门
×××××第一至第二光电门测量值
注：如接插3个或4个光电门时，将继续显示3，2—3，4，3—4段的测量值。

本机具有保护功能，只有按下功能键方可选择下一次测量。

3）碰撞（S2）：等质量、不等质量碰撞
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① 将P1, P2各连接一只光电门。

② 按下功能选择键，设定在碰撞功能。

③ 在两只滑行器上装好相同宽度的挡光片和碰撞弹簧，让滑行器从气轨两端向中间运动，各自通过一个光电门后相撞，相撞后向反方向运动，根据滑行器质量的变化分别通过各自的光电门。

④ 本机会循环显示下列数据：
P1.1 P1口光电门第一次通过
××××× P1口光电门第一次测量值
P1.2 P1口光电门第二次通过
××××× P1口光电门第二次测量值
P2.1 P2口光电门第一次通过
××××× P2口光电门第一次测量值
P2.2 P2口光电门第二次通过
××××× P2口光电门第二次测量值
⑤ 为提高循环显示效率，本机只显示遮过光的光电门的测量值。

⑥ 如滑块3次通过P1口，本机将不显示P2.2而显示P1.3。

⑦ 如滑块三次通过P2口，本机将不显示P1.2而显示P2.3。

注：本机具有保护功能，只有按下功能选择键方可选择下一次测量。

4） 周期（T ）。

测量简谐振动1～100周期的时间
① 滑行器装好挡光条，接插好光电门接口。

② 按下功能选择键，设定周期功能。

③ 按下数值转换键不改，确认到所需要的周期数放开此键即可。

④ 简谐运动每完成一个周期，显示的周期数会自动减1。

当最后一次遮光完成，本机会自动显示累计时间值。

⑤ 当需要重新测量时，请按功能选择键复位。

5）计数（J ）：测量遮光次数
① 将光电门接插可靠。

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②按下功能选择键，设定在计数功能。

③滑行器安装好挡光条，并通过光电门计数开始。

注：最大计数量程为99999次，超过后会自动清零，重新开始计数。

所需计数较大时，只需记住几次清零，用99999乘以清零次数加上显示数值即为计数值。