高中数学：立体几何中的轨迹问题

高中数学：立体几何中的轨迹问题

以立体图形为载体的轨迹问题，将立体几何和解析几何巧妙地整合在一起，解答这类问题的关键是把空间问题转化为平面问题，一般可从两个方面考虑：一是利用曲线的定义，二是用解析法求出轨迹方程。

例1、已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹是（）

A. 一个圆

B. 两条平行直线

C. 四个点

D. 两个点

图1

解析：如图1，设点P在平面内的射影是O，则OP 是、的公垂线，OP=4。在内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3，可知所求点的轨迹是内在以O为圆心，3为半径的圆上。又在内到直线的距离等于的点的集合是两条平行直线m、n，它们到点O的距离都等于，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点。因此所求点的轨迹是四个点，故选C。

例2、在四棱锥中，面PAB，面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）

A. 圆

B. 不完整的圆

C. 抛物线

D. 抛物线的一部分

解析：因为面PAB，面PAB，所以AD//BC，且。

又，

可得，

即得

在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A（-3，0）、B （3，0）。设点P（x,y），则有

，

整理得

由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B。

小结：根据题目的信息，利用空间几何性质，把立体几何问题转化到平面上，再利用解析几何的方法探求轨迹是本题的闪光之处。

例3、如图2，定点A和B都在平面内，定点P C是内异于A和B的动点。且，那么动点C在平面内的轨迹是（）

A. 一条线段，但要去掉两个点

B. 一个圆，但要去掉两个点

C. 一个椭圆，但要去掉两个点

D. 半圆，但要去掉两个点

图2

解析：因为，且PC在内的射影为BC，所以，即。所以点C的轨迹是以AB为直径的圆且去掉A、B两点，故选B。

小结：本题主要考查圆、线面垂直的基本知识，利用线面垂直的条件，将空间问题转化到平面上的圆的问题。例4、如图3，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）

A. 直线

B. 圆

C. 双曲线

D. 抛物线

图3

解析：因为P到的距离即为P到的距离，所以在面内，P到定点的距离与P到定直线BC的距离相等。由圆锥曲线的定义知动点P的轨迹为抛物线，故选D。

小结：本题以立体几何知识为载体，考查了圆锥曲线的概念等基础知识，将抛物线的动态定义寓于正方体之中，体现了知识间的内在联系和整合应用。

例5、已知正方体的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（）

A. 抛物线

B. 双曲线

C. 椭圆

D. 直线

图4

解析：如图4，以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系。设P（x,y），作于E、于F，连结EF，易知

又作于N，则。

依题意，

即，

化简得

故动点P的轨迹为双曲线，选B。

例6、已知异面直线a,b成角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a,b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程。

图5

解析：如图5，易知线段AB的中点P在公垂线段MN 的中垂面上，直线、为平面内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，于，于，则，且P也为的中点。

由已知MN=2，AB=4，易知得。

则问题转化为求长等于的线段的两个端点、分别在、上移动时其中点P的轨迹。现以的角平分线为x轴，O为原点建立如图6所示的平面直角坐标系。

图6

设，，

则

消去m、n，得线段AB的中点P的轨迹为椭圆，其方

程为。

小结：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲

线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力。