八年级数学课件 二次根式的乘除(3)除法(1)

练习一：把下列各式分母有理化
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
（3） 2 3 40
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝ －4 14 ；
37
3 7• 7
21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b ＝ 2a a＋b
a＋b • a＋b
a＋b
（3） 3
2＝
2 ＝
40 3 • 2 10 6
2 • 10 ＝
27
3 8
2a
1 解法1..
3
3
35
15
15
15
5 5 5 5 25 25 5
解法2..
3
3
5
15
5 5 5 5
2 3 2 3 2 2 3 6
27 3 3 3 3 3
3 8 8 2a 4 a 2 a
2a 2a 2a 2a a
注意：在进行分母有 理化之前，可以先观 察把能化简的二次根 式先化简，再考虑如 何进行分母有理化。
复习提问
二次根式的乘法：
a • b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
ab a • b (a 0,b 0)
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 请试着自己举出一些例子．
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
1.
4 9
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
(3) 2 ＝ 2 33
4 9
2 3
4 4 99
16 49
4 7
16 49
16 49
2＝ 2
55
规律:
a a bb
a 0,b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，
作为商的被开方数
a a a 0,b 0
bb 1、a≥0、b＞0！
2、如果被开方数是带分数，应先化成假分数。
(1) 6 (2) a2 b2 (3) 2ab3 x
(4) 0.5ab (5) a (6) 6
3
4
(7) 24x (8)3 2 (9) 3 2
把分母中的根号化去,使分母 变成有理数,这个过程叫做分母有 理化。
a a a 0,b 0 a a
bbBaidu Nhomakorabea
bb
例1、把下列各式分母有理化
1 3
5
2 3 2
3 25x 25x 5 x
9y2 9y2 3y
注意： 如果被开 方数是带 分数，应 先化成假 分数。
练习：
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
解：（1） 2 7＝ 25＝ 25 ＝ 5
9 9 93
(2)
81 25x2
81 9 25x2 5x
(3)
16b2c a2
a
0,
b
0
(4)
0.09 ×169 0.64 ×196
二次根式有如下两个特点：
1.被开方数不含分母或分母中 不含二次根式 2.被开方数不含能开得尽方的 因数或因式 满足上述两个条件的二次根式，叫做 最简二次根式
例如：2 2、 30 、2 2是最简二次根式； 10 a
但 4、1、3 不是最简二次根式。 33
例1、指出下列各式中哪些是最简二次 根式？
1、解：要使等式成立，m必须满足
m-3 0 m-5>0
m
5
a b
a a 0,b 0
b
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的
算术平方根。
例5：化简 (1) 3 100
(2) 1 3 16
3 25x
9y2
解： 1 3 3 3
100 100 10
（2） 1 3 ＝
19
＝
19 ＝
19
16 16 16 4
练习3、已知： a 2 b b 2 3,
求 a b a b 的值。 a b a b
例3、化简下列各式
（1） 9 49
（2） 4 3
（3）1.5
（4） 0.75
练习、化简下列各式
解：(3)
16b 2 c a2 =
16b2c 4b c 4b
=
=
a2
a
a
c
0.09 ×169 0.09 ×169 0.3 ×13 39
(4)
=
=
=
0.64 ×196 0.64 ×196 0.8 ×14 112
在二次根式的运算中， 最后结果 一般要求
(1)分母中不含有二次根式.
(2) 最后结果中的二次根式要求写 成最简的二次根式的形式.
的被开方数
例1：计算 1
24
3
解：
2 3 1
2 18
1原式 24 8 2 2
3
2原式 3 1 3 18 27 3 3
2 18 2
3 48
23
43 6x2 y (6 2xy )
（3）解法1：原式 48
48
4 2
12 12
解法2：原式 4 3 2 23
(4)原式 1 6x2 y 2xy 1 3x
10 • 10
20 ＝ 2 5 ＝ 5 60 60 30
注意：要进行分母有理化，关键是要搞清楚 分式的分子和分母都乘什么，有时还要先对 分母进行化简。
练习二：
把下列各式的分母有理化：
（1）－8 3 8
（2）3 2 27
（3）
5a 10a
（4） 2y 2 4xy
例2、把下列各式分母有理化
1 1 3 1 (4) 3 2
2 3
52
32
练习1、把下列各式分母有理化
1 1 2 1 3 1 (4) a b
3 2 3 3
22
a b
练习2、
3
（1） 3的倒数是 ______3___
（2）2 3的倒数是 __2____3___
2 3 （3）4 2 3的倒数是 ____2_____
3 1 （4）1 3的倒数是 _____2____
2
2
试一试
32
计算：(1) 2
(2) 50 10
3 4 1 7
5 10
(4)2 11 5 1 26
解：1 32 32 16 4
22
2 50 50 5
10 10
(3)原式＝
41 7＝ 5 10
21 10＝
57
6 如果根号前 有系数，就
把系数相除，
(4)原式＝ 2 1 1 1 ＝ 2
例如、3 1必须先化成 10 ,
3
3
以免出现 3 1 3 1的错误。
3
3
－ －53 成例1立、1、的等条式件mm是－ －__53_＝_m_>__5mm_－ －__53__成。立 的 条 件
1、解：要使等式成立，m必须满足
m-3 0 m-5>0 m 5
a a a 0,b 0
bb
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商
5 26 5
36 ＝6
2
5
仍旧作为二 次根号前的 系数。
aa
bb
a 0,b 0
商两的个算 二术 次平 根方 式根 相等除于，被等除于式把的被算开术方平 数方 相根 除， 除作以为除 商式 的的 被算 开术 方平数方根。
例1、等式 m 5 m 5 成立
m3 m3
的条件______m_>_5_______