地球物理反演理论综述

目录摘要 (1)一、反演问题基本概念 (1)二、线性反演问题 (2)三、线性反演问题的求解 (4)3.1适定和超定问题 (4)3.2欠定问题 (4)3.3混定问题 (4)四、非线性反演方法 (5)4.1线性化迭代算法 (5)4.2最速下降法 (5)4.3 共轭梯度法 (6)4.4遗传算法 (7)4.5模拟退货法 (7)4.6人工神经网络法 (8)总结： (8)地球物理反演理论综述摘要在地球物理学中，其核心问题就是如何根据地面上的观测信号推测地球内部与信号有关部分的物理状态。

不同的地球物理问题，其数学物理是不同的；同一个物理问题，应为观测方式不同，也会有不同的物理模型。

在地球物理学中，大多数的观测数据核模型参数之间是不满足线性关系的。

但是在一定近似条件想均可简化或近似简化为线性关系。

因此线性反演是地球物理的关键问题。

关键词：反演；线性反演；非线性反演一、反演问题基本概念把数据模型中的一个点定义为m，把数据空间中的一个点定义为d，两者的关系可以成：d=Gm式中，G为模型空间M到数据空间D的一个映射，也称反函数算子，反应了模型m与数据d之间的物理规律从空间映射来看，如果存在一个映射A，使得m=Ad则A为有数据空间D到模型空间M的映射，即A为G的逆映射，称逆算子。

也可以写成=m1-dG我们把给定模型m求解数据d的过程称为正演；把给定数据d求解模型参数m的过程称为繁衍问题。

图1.1模型空间域数据空间之间的映射关系示意图反演问题的研究归纳为四个方面的问题：1) 解的存在性：给定数据d ，按照物理定律，能否找到满足要求的模型参数m ；2) 模型构制：若解存在，如何让构制问题的数学模型使得反演问题的解能迅速而准确地确定；3) 解的非唯一性：若解存在，其是否唯一；4) 解的评价：若解的非唯一性的，如何从非唯一解中获取真实解的信息。

关于上述四方面问题的研究就构成了地球物理反演的基本理论。

二、线性反演问题为了使问题简单明了而又不失一般性，我们在此讨论一维问题。

设有积分方程()()()⎰=bad m x G x d ξξξ,式中，()[]b a m ,∈ξ。

在观测数据数目有限的情况下，为便于书写，我们把各参量表示成如下形式()jj d x d =()()jj j G G x G ==ξξ, ()m m =ξ⎰=baj j md G d ξ()M j ,,2,1 =由于()ξm 与()ξ,x G 线性无关，则式(2-2)可以表示成内积形式()m G d j j ,= ()M j ,,2,1 =我们先用核函数jG 构造另一组正交函数，即∑==Mj jkj k G 1αψ ()M k ,,2,1 = 以kja 为系数对观测数据jd 作一个线性组合，并令其为kE ，则()()()m m G a m G a d a E k j Mj kj Mj j Mj kj j kj k ,,,111ψ====∑∑∑===由此可见，kE 是m 在正交基k ξ轴上的投影。

()∑∑∞=∞===11k kk k k k m ϕβξϕβ这里()ξϕk 是Hilbert 空间的任意坐标基，可以正交，也可以是不正交。

若将其分成两部分，并取k k ψϕ= ()M k ,,2,1 = k ϕ为其他任意坐标基 M k > 则式(2-8)可写成()∑∑∞+=∞=+=11M k kkk k k m ϕβξϕβ 可以证明k k E =β。

因为()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∑∑∑∑∞+==∞+==1111,,M l l k l M l l k l M l l l M l l l k k k m E ϕψβψψβϕβψβψψ∑∞==1l klklβψψβ∑∞+==1M l l klϕψβ所以有kk E β=。

第二项∑∞+=1M l klϕβ是无限维空间中一个向量投影之和，且该向量在M 维正交基k ψ中的投影为零，则对于问题中的模型m ，它可视为零向量，即()∑∞+==1M k kkm ϕβξ故()∑∞=+=1k k k m E m ψξ即()()jjMl kj Mk kjl Ml kl Mk Mi jjkilMl kljd d a a d a G G a d a m G ===+=∑∑∑∑∑∑======12111110,,讨论:1) 对于给定的观测数据总是能找到与之对应的数据模型，即解是存在的； 2) 模型的构制本质上就是对线性无关的核函数实行正交变换，求得相应的新正交坐标基及模型在这个正交坐标基上投影的过程；3) 反演问题是在特征解上加以任何零化子向量所得的模型，都可拟合观测数据，所以姐是非唯一的。

三、线性反演问题的求解3.1适定和超定问题在线性反演问题中，如果观测数据的个数多于模型参数的个数，我们想得到一组与观测系统之间误差平方和最小的观测数据所对应的模型参数，也就是适用最小二乘法。

3.2欠定问题欠定问题中假设方程数比未知的模型参数少，则可以找到很多的最小方差解。

即，虽然数据能提供有关模型参数的信息，但是由于信息不足所以不能唯一确定模型参数。

为了唯一确定解，可以把某些为引入的信息附加到该问题上，这些附加信息称为先验信息。

它是不依赖实际数据使解以某种定量的形式出现。

3.3混定问题混定问题是一种混合模式，观测数据个数多于模型参数的个数，但特征值接近或等于零，具有欠定性质。

混定问题可以引入2ε求解，2ε取决于预测误差E 与模型长度L 在极小化过程中的相对重要性，称为阻尼因子或加权因子。

四、非线性反演方法4.1线性化迭代算法我们所遇到的问题中都是求解多远函数的最优化问题，即寻找目标函数极小点或极大点所对应的数学实现过程。

迭代算法在给定一个初始点b0 后按照一定的规则产生一个新的点b 1 ，如此迭代产生k 个点，形成一个序列{b k } ，并使得bk 不断逼近极值点b*，最终得到最优化问题的解。

对于迭代酸度最重要的是极小化序列的收敛性和收敛速度问题。

线性化迭代反应过程中包含有分辨率的快速、慢速提高，方差的急增和混沌的相态，数据误差的大小会影响相态的转变速度。

在解估计方差急增之前停止迭代就可以得到分辨率高而方差不大的反问题。

线性迭代算法的主要问题是可能陷入空间的局部极小区，因此建议把所有可能的模型都作为初始模型输入，然后再反演结果中找出拟合误差最小的解估计。

4.2最速下降法最速下降法是一种运用梯度与极值的性质，综合数值计算方法寻找局部极值。

基本思想：任一点的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。

将维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法。

图4.1：最快下降法具体步骤：Step 1 给定初始点，允许误差，令。

Step 2 计算搜索方向。

n 0nx R ∈0ε≥1k =()k k d f x =-∇Step 3 若，则为所求的极值点，否则，求解最优步长，使得。

Step 4 令，最速下降方向是反映了目标函数的局部性质，它只是局部目标函数值下降最快的方向。

4.3 共轭梯度法基本思想：将共轭性与最速下降法相结合利用已知迭代点的梯度方向构造一组共轭方向，并沿此方向搜索，求出函数的极小值。

例如：其中，，是对称正定矩阵具体步骤：Step 1 取初始点，取第一次搜索方向为。

Step 2 设已求得，若，令，则下一个搜索方向由于与关于共轭，所以给（1）两边同时乘以，即：解得：Step 3 搜索步长的确定，已知迭代点，和搜索方向，确定步长，即：解得：共轭梯度法是对最速下降法的一种改进，减少了迭代次数从而提高了程序运行效率。

k d ε≤ k x k λ()min ()k k k k k f x d f x d λλλ+=+1k k kk x x d λ+=+1k k =+1min ()2T T f x x Ax b x=+0nx R ∈A (0)x (0)(0)()d f x =-∇(1)k x +(1)()0k f x+∇≠(1)()()k g x f x +=∇(1)()1k k k k d g d β++=-+(1)k d+()k dA ()Tk dA ()(1)()()()10TTTk k k k k k k dd dg dd β++A =-A +A =()1()()k T k k k T k d A g d Ad β+=()k x ()k d k λ()()min()k k f x d λλ+()()()Tk k k k T k g d d Ad λ=-4.4遗传算法遗传算法设计步骤如下： Step0 设置迭代参数Step1 确定进化代数,0←n 随机产生规模为N 且满足约束条件的群体A 0。

Step2 对群体A n 中的个体进行评价，如果个体A i 不满足约束条件，则随机生成一个满足约束条件的个体来替换，并保存当前最好的个体Step3 采用比例选择算子对当前群体进行选择操作，选择群体规模为N 的个体。

Step4 对群体中的个体进行两两随机配对。

以概率Pc 交换部分基因。

Step5 对群体中个体的每一个基因以概率Pm 进行变异，未变异的个体直接进入新群体。

Step6 变异后的新群体取代上一代群体，并对当前群体1+n A 中的个体进行评价。

倘若当前群体中最大适应值大于上一代群体中的最大适应值，则当前群体中的最好个体取代上一代保留下的最好个体，否则不取代。

Step7 条件判断，如满足条件，则停止迭代。

否则，1+←n n ，转回Step3。

遗传算法的核心是由“繁殖”，“杂交”，“变异”三步组成的转移过程。

同时计算繁殖杂交概率与变异概率用于控制迭代过程并使数据进一步拟合。

4.5模拟退货法模拟退火的原理：将热力学的理论套用到统计学上，将搜寻空间内每一点想像成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。

演算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。

模拟退火的基本思想:(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T 值的迭代次数L(2) 对k=1，……，L做第(3)至第（6）步：(3) 产生新解S′(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

模拟退火法是用于求解非线性地球物理反问题的一种好方法，对于模型参数较小的情况下计算很方便，但实际应用上其反演结果还是依赖于初始参数选择和降温方式选择等问题。