专项练习题集不等式恒成立问题

2016年专项练习题集-不等式恒成立问题

三级知识点：不等式恒成立问题

介绍：不等式恒成立问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式等内容，综合性强，能力要求高，为历年高考试题的热点。

选择题

1．不等式2230mx mx +-≤对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．30m -<<

B ．30m -<≤

C ．30m -≤<

D ．30m -≤≤

【分值】5

【答案】D 【易错点】容易忽略0m =的情形。

【考查方向】本题主要考查了含参数的二次不等式的恒成立问题。 【解题思路】对m 的分类讨论，（1）0m =，（2）当0m ≠时，结合二次函数图象，二次函数应该开口向下，判别式小于等于零，列出满足的条件求解．

【解析】当0m =时不等式化为30-≤恒成立；当0m ≠时需满足00m <⎧⎨∆≤⎩

，所以30m -≤<，综上可知实数a 的取值范围是30m -≤≤.

2．已知2()3f x ax bx =+-，不等式0)(

A ． [14,10]--

B ．(,10]-∞-

C ．(,14]-∞-

D ．[14,14]-

【分值】5

【答案】C

【易错点】不会求出a ，b 的值，不会转化恒成立问题。

【考查方向】本题主要考查了函数的解析式，考查恒成立问题，解题的关键是利用好不等式的解集与方程解之间的关系，将恒成立问题转化为函数的最值加以解决．

【解题思路】（1）根据不等式的解集与方程解之间的关系可知230ax bx +-=的两根为1-，3，从而可求,a b 的值，进而可求()f x 的解析式；（2）要使对于任意[1,2]x ∈-，不等式()10f x m -≥恒成立，只需[]min ()10f x m -≥即可，从而可求m 的范围．

【解析】不等式()0f x <的解集是(1,3)-，所以1-和3是方程230ax bx +-=的两个根，由韦达定理得1,2a b ==-．所以2

()23f x x x =--，所以()10f x m -≥恒成立等价于2213x x m --≥恒成立，由22213(1)1414x x x --=--≥-，所以14m ≤-．选C ．

3．对任意的实数x ，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．0a <

B ．03a <<

C ．3a <

D ．3a >-

【分值】5

【答案】D

【易错点】不会去掉绝对值，函数的最值。

【考查方向】本题主要考查了含参数的绝对值不等式的恒成立问题。

，依题意，只需求得min ()f x 即可求得a 的取值范围． ，则min ()3f x =，所以min ()3a f x <=，即3a <，故选C.

4．若不等式290x tx -+≥对于任意(0,)x ∈+∞都成立，则t 的最大值是（ ）

A ．0

B ．-6

C ．6

D ．9

【分值】5

【答案】C

【易错点】不会将变量t 分离出来。

【考查方向】本题主要考查了含参数的二次不等式的恒成立问题以及分类变量法。

【解题思路】首先根据不等式将t 对任意(0,)x ∈+∞

都成立，即 【解析】不等式290x tx -+≥对于任意(0,)x ∈+∞都成立等价

任意(0,)x ∈+∞都成立．因为，所以只需6t ≤即可．故C 正确． 5．若关于x 的不等式2(2)120x a x a +--->对任意的[2,2]a ∈-均成立，则x 的取值范

围是（ ）

A ． (,1)(3,)-∞+∞

B

．(,(5,)-∞+∞

C ．(,(3,)-∞+∞

D

．(

【分值】5

【答案】C

【易错点】不知道讲原不等式转化为关于a 的一次函数。

【考查方向】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值加以解决．

【解题思路】可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题. 解：原不等式转化为2

(2)210a x x x -+-->在[2,2]a ∈-时恒成立, 设2()(2)21f a a x x x =-+--,则()f a 在[-2,2]上恒大于0，故有：

(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩即2243050x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩

解得：31x x x x ><⎧⎪⎨><⎪⎩或

所以3x x ><或，故选C.

填空

6．若函数()sin cos 3f x x a x =++的图象始终在直线1y =的上方，则a 的取值范围是_______．

【分值】5

【易错点】不会利用辅助角公式对()sin cos 3f x x a x =++进行变形，不会将()f x 在1y =的上方转化成()1f x >恒成立。

【考查方向】三角恒等变换和不等式恒成立问题。 【解题思路】问题转化为()1f x >恒成立，利用三角恒等变形以及三角函数的最值建立不等式，求出a 的范围。

【解析】由()f x 的图象始终在1y =的上方，即()1f x >恒成立，

7．若关于x 的不等式21x mx m ++≥恒成立，则实数m ＝ ．

【分值】5

【答案】2 【易错点】判别式容易容易出现0∆≥。

【考查方向】二次不等式恒成立问题。 【解题思路】将不等式右边项移到左边，利用判别式0∆≤，求出m 的值.

【解析】原不等式可变为210x mx m ++-≥，0∆≤，()2410m m ∴--≤，()220m ∴-≤，2m ∴=.

8．已知1a >，若关于x 在区间()0,2上恒成立，则实数a 的取值范围是 ．

【分值】5 【答案】[)4,+∞．

【易错点】不会转化原不等式，不会利用数形结合处理本题。

【考查方向】本题主要考查了反比例函数及其单调性、不等式恒成立问题，同时考查了数形结合的思想。 在区间()0,2上恒成立，由图象可知，在区间()0,2上，函数log a y x =的图象的上方，从而可得解．

，解得4a ≥，所以实数a 的取值