应力张量应变张量与应力应变关系

代数上，（5-6）式是关于主方向 (l,m,n)
的线性齐次代数方程，它有非零解的条件是， 其系数行列式为零，即
x yx zx
xy y
zy
xz yz 0 （5-7） z
展开后得到关于主应力的三次代数方程（5-7），
称为应力张量的特征方程：
3I12I2I30
I1xy z
I2xyyzz xx 2 yy 2 z z 2x
yxx
xyyzyy
yzzzxx
xz z
I 3 xyz 2 xyz xxy 2 z yz 2 xzx 2
x xy xz yx y yz
zx zy z
可以证明方程（5-7）有3个实根，它们对应
该点的3个主应力，分别用 1、2、3表示。
l2m2n21
（5-9）
将（5-9）式与方程组（5-6）中的任意两式联
(1)、(2)、(3) 称为主剪应力。
如果 123，则最大剪应力为
max1
3
2
即最大剪应力等于最大主应力与最小主应力差的
一半，它作用在过oy轴（ 2 轴）而平分ox轴（
1 轴）和oz轴（ 3 轴）夹角的微分平面上。
（2）两主应力相等
为了确定起见，设 123
则（6）式的第一式已满足，第二式有
同样成立，这时取 i, j1,2, 3
2. 笛卡尔张量 上面证明了，同一矢量，当坐标旋转时，其分量
y
l 2 2 1 m2 22
s in cos
与前面推导类似
ij
ii jj ij
指标的取值为 i, j 1, 2
i, j1, 2
当取新系为正交曲线坐标系，其中转换系数 i 'i
j ' j 为点o处坐标曲线切线方向单位基矢量在旧
系下的方向余弦。
取 x r 方向
y 方向
xy Te2 ijnjei e2
2i 1j i j2j 1i ji 1i 2j ij
xz Te3 ijnjei e3
3i 1j i j3j 1i ji
1i3 jij
三个式子合起来，可简写为：
1j 1i jj ij
（2）
同理，取微斜面abc分别垂直于 y 、z ，可以得
关系
§5-1 应力分量的坐标变换 应力张量
在给定载荷作用下，物体内过一点的任意斜截 面上应力的大小和方向都是确定的，即一点的应力 状态是确定的。它不随所取坐标系而变化。但描述 一点应力状态的应力分量又是在确定的坐标系下确 定的，它随坐标系的不同而不同。
我们通常习惯的右手坐标系，
下面首先考察旋转变换的情形:
sin2 r cos2 2sin cosr
xy xr yr r x ay xr y r x yr r
cos sinr
(sin ) cos
cos2 r
(
s
in
)
s
inr
sin cos ( r ) (cos2 sin2 ) r
§5-2 主应力 应力张量不变量
将旧系下的矢量分量 a1、a2 向新系坐标 x
投影可得矢量 a在新坐标系下的分量
a1 a1cos1a2cos1 a2 a1cos2 a2cos2
进一步可表为
a1 11a1 12a2
a2 21a1 22a2
令 i, j 1,2则式（5-12）可简记为
（5-12）
ai ijaj
（5-12）
这就是矢量的坐标变换公式。此式在三维空间中
ij
yx zx
y zy
yz z
新、旧坐标系下坐标轴间的方向余弦为
x
y
z
x l1 11 m1 12 n1 13 y l2 21 m2 22 n2 23 z l3 31 m3 32n3 33
作斜面abc 垂直于x 轴，作用于该微面上的应力
矢量为
T
。用旧系下沿坐标轴的三个分量
T1、T2
T ν
（5-5）
将（5-4）式代入（5-5）式得：
ijnjei niei
故
ijnj ni
整理合并后得
(ijij)nj 0
z
T
y
x 图5-3
将上式展开
(x
)l
xym
xzn
0
yxl (y )m yzn 0
zxl zym(z )n 0
（5-6）
我们把只有正应力，而没有剪应力的平面称为 主平面；主平面上的正应力称为主应力；主平 面的法线方向，即主应力方向称为主方向。
方程（7）有三组解：
第一组是 m0, n0
第二组是 m0, n1/ 2
第三组是 m1/ 2, n0
有了m、n就可以从（4）中求得相应的l，并运用
（5）式得到相应的极值剪应力 ，由（2）式
得到极值剪应力面上的正应力 。 同理可从（3）和（4）中分别消去m和n，按上述 方法又可以得到六组解，但其中三组是重复的， 独立的解答一共六组，如表5-1所示。 表中前三组解答对应于主平面，其上剪应力为零； 而后三组解答对应于经过主轴之一而平分其他两 主轴夹角的平面，如图5-5示，其上剪应力为
第五章 应力张量 应变张量 与应力-应变关系
本章拟进一步讨论应力、应变的性质及线性弹 性应力与应变关系的一般规律，它将有助于对问题 的深入认识。
§5-1 应力分量的坐标变换 应力张量 §5-2 主应力 应力张量不变量 §5-3 最大剪应力 §5-4 笛卡尔张量基础 §5-5 物体内无限邻近两点位置的变化
§5-3 最大剪应力
现在我们来考察物体内一点P的最大剪应力及其
作用面。取应力主轴为参考轴（图5-4）。斜面
上应力矢量 T的分量及斜面上的正应力分别为：
T1 1l T2 2m T3 3n
1l22m 23n2
z
1
2
y
x
3
图5-4
将（1）、（2）式代入斜面上的剪应力公式（2-7）
得
2 |T|2 2
1 和 2 的方向可取与 ν (3) 垂直平面上的任
意方向。即与ν (3) 垂直的方向都是主方向。
如果 123，则 ν (1)ν (2)、ν (2)ν (3)、
ν (3)ν (1)三者可以是零，也可以不是零，这
说明三个主方向可以相互垂直，也可以不垂 直，也就是说，任何方向都是主方向。
（3）主应力的极值性 命题1：最大（或最小）主应力是相应点处任 意截面上正应力的最大（或最小）值。
n [(31 ) 2 n 2 (31 ) ]0
由此可解得
n0 n1/ 2
第一个解 n0表示平面通过oz轴，将
n0 及 1 2 代入（5）式得 0
即过oz轴的平面都是主平面。
第二个解 n1/ 2 ，将其代入（4）式得
l2 m2 1 2
它表示了任一个与圆锥面（图5-6）相切的微分面。
对应平面上的最大剪应力
1 2 3 12 23
31
I3 123
对于一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向
都是确定的，它不随坐标系的变换而变化，故
I1、I2、I3 也不会因坐标系的变换而改变。这种不 因坐标系变换而改变的量，称为不变量.
I1、I2、I3分别称为应力张量的第一、第二、 第三不变量。 主应力的几个重要性质： （1）主应力为实数 （2）主方向的正交性
设与主应力 1、2、3 对应的主方向为
ν(1、 ) ν(2、 ) ν(3)
如果 123
则
ν(1)ν(2)0
ν(2)ν(3)0
ν(3)ν(1)0
这表明，三个主方向是相互正交的。
如果 123
则
ν(2)ν(3)0
ν(3)ν(1)0
表明 3 的方向同时与 1 和 2 方向垂直；
而 ν (1)ν (2) 可为零，也可以不等于零，即
同理
r ri rj ij
rx rx x ry ry y rx rx y yry ry x
xc2 o sysi2n 2 s ic n oxs y
xco 2s ysi2n xy si2 n
ijij
xsi2n yco 2s xy si2 n r r i jij
(y x)s ic n o s x(yc 2 o ss2 in )
Cauchy公式（2-4）给出了过一点任意斜截面上
的应力矢量的计算关系，写成矢量的形式有
TTiei ijnjei
（5-4）
斜面上的应力矢量不仅与该点的应力状态有关，而
且与斜面的方向有关。
T 为该截面的正应力 ( ) ，而剪应力为零。
这个问题的数学描述是，求某个法线方向
ν (l,m,n) ，使满足方程：
(2)
13
2
（3）三个主应力相等，即 123
过该点的任何微分面上都没有剪应力，即任一
平面都是主平面，与§5-2的结论也是一致的。
z
45 45
y
x
图5-6
§5-4 笛卡尔张量基础
1. 坐标变换
考察平面内矢量 a的坐标变换关系。新、旧坐
标系的方向余弦为
x
y
x 11cos1 12cos1
y
2 1cos2 22cos2
r r
这就是极坐标下的应力分量与直角坐标下应力 分量的转换公式。
反过来，取直角坐标系为新坐标系，极坐标系 旧坐标系，根据（5-2）式，用极坐标应力分量 表示直角坐标应力分量的关系为：
x xr xr r x x 2 xr x r
cos2 r sin2 2sin cosr
y yr yr r y y 2 yr y r
转动张量 §5-6 应变的坐标变换 应变张量
§5-7 主应变 应变张量不变量 §5-8 广义Hooke定律的一般形式 §5-9 弹性体变形过程中的能量 §5-10 应变能和应变余能 §5-11 各向异性弹性体的应力-应变关系 §5-12 各向同性弹性体应力-应变关系 §5-13 各向同性弹性体各弹性常数间的
在式（5-1）中作指标置换，并利用 ij 的对
称性得
jiji ij ijij ji ji
ii jj ij
ij
应力张量在经坐标变换后，其对称性仍然保持不变。
在平面问题中，建立二维的新、旧坐标系如图5-2， 新、旧坐标轴的方向余弦为
x
y
x
l1 11
m1 12
cos
sin
和T 3 ，及Cauchy公式（（2-4）式）可将T 表为
TT1e1T2e2T3e3
Tiei ijnjei
在新系下，T 沿坐标轴的三个分量即为新系下该
面上的三个应力分量 x 、 x y 和 xz。
将T
向
x
、y
和
z轴方向投影，并注意到这里
nj 1 j 及剪应力互等关系 ij ji
得
x Te1 ijnjei e1 1i1jij
考察物体内任一点o。设oxyz为旧坐标系下o点处
的局部标架（图5-1（a）），单位基矢量为
e1、e2、e3 ，相应的应力分量为:
x xy xz
ij
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yx zx
y zy
yz z
设 oxyz为新坐标系下o点处的局部标架，单位 基矢量为 e1、e2、e3 ，相应的应力分量:
x xy xz
到新系下的其余六个应力分量与旧系下九个应力
分量间的类似关系：
2j 2i jj ij
（3）
3j 3i jj ij
（2）～（4）式可以统一写为
（4）
ij iijjij
（5-1）
这就是应力转轴公式，式中 i 'i 或 j ' j 称为
转换系数。
在数学上，将坐标变换符合式（5-1）的一组 量称为二阶张量。按此定义，决定一点应力 状态的九个应力分量就是一个二阶张量，称 为应力张量。
立，即可求出与给定主应力 i 对应的主方向。
1、2、3是方程（5-7）的三个根，所
以，也可以将特征方程写成
( 1 ) ( 2 )( 3 ) 0
展开后有 3 ( 1 2 3 ) 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 1 2 3 0
与式（5-7）比较，得
I1 I2
2
取极值的点也使 ，将（4）式代入方程
2 /m0
2 /n0
得
m n ( (3 2 2 2 1 1 2 2 ) ) 2 2 m n ( (3 2 1 1 ) )m m [ 2 [ 2 ( (2 2 1 1 ) ) n n 2 2 ( (3 3 1 1 ) ) 1 1 ] ] 0 0
（3）
1 2 l 2 2 2 m 2 3 2 n 2 (1 l 2 2 m 2 3 n 2 )
利用几何关系：
l2m2n21
（4）
得
2 ( 1 m 2 n 2 )1 2 m 22 2 n 23 2
[1 (m 2 n 2 )1 m 22 n 23 ]2
（5）
下面分三种情况考虑：
（6）
（1）三个主应力互不相等，即 123
将（6）式的第一式除以 (2 1)，第二式除以
(3 1) ，整理后得
m n { { (3 (2 1 1 )) 2 2 [[m m 2 2(( 2 2 1 1 )) n n 2 2(( 3 3 1 1 ))]] } 0 } 0 （7）