全国大学生数学建模答辩

＜（6tanα-R）/cosβ+R时（如下图），情 ），情 （1）当0≤h＜（ 0≤ ＜（ α ） β 时 如下图）， 况类似实验储油罐发生变位时的情况(1)，根据我们的假 况类似实验储油罐发生变位时的情况(1)， (1) 设，储油罐两端的球罐体组合在一起可看做是一个完整 的椭球体，而椭球体的体积计算公式是已知的， 的椭球体，而椭球体的体积计算公式是已知的，油罐中 间部分的体积计算可以借鉴试验油罐的相应情形下的计 算公式： 算公式：
a H 1 2 2 V = L[( H − b) H (2b − H ) + b arcsin( − 1) + πb ] b b 2
①
2. 接下来考虑试验罐体发生纵向倾斜的情况： 当储油罐发生如题目中所示的纵向变位时，罐体内部储 油量的情况随着液面h的变化可以分为三种（如下图所 示）
（1）当0≤h＜2.05tanα即油液面低于 ≤ ＜ α 油液面低于BM1时 此时储油罐内部油的纵截面 呈三角形（如图5 ）。为方便计 呈三角形（如图5-4）。为方便计 算，我们将其等效成一个等同底 边长的矩形，并使两个面积相等， 边长的矩形，并使两个面积相等， 从而得出等效高度H 和底边长L 从而得出等效高度H1和底边长L1 分别为： 分别为：
1 H1 = (h + 0.4 tan α ) L1 = h / tan α + 0.4 2
此时相当于一个平卧的储油罐，其液面高度是H 此时相当于一个平卧的储油罐，其液面高度是H1，油罐长度 代入① 得出该种情况下储油罐V-h关系： 关系： 为L1。代入①式，得出该种情况下储油罐 关系
V= a H 1 L1[( H1 − b) H1 (2b − H1 ) + b 2 arcsin( 1 − 1) + πb 2 ] b b 2
H1 = H ' +
L tan α = (h − R) cos β + R + 2 tan α 2
H 2 = (h − R ) cos β + R − 6 tan α
1 V = V中 + (V椭球1 + V椭球 2 ) 2
（3）当（R-2tanα）/cosβ+R＜h≤2R（如下图）时，油 α β ＜ ≤ （如下图） 罐内V 关系为： 罐内V-h关系为：
第一问 试验模型的解答
1. 首先来考虑试验罐体水平时的情况： 我们根据几何关系在储油罐椭圆横 截面上取得微元dy，求出在y高度 处每一个面积s，即s(y)=2x·L，进 而可以得出每一个体积微元dv= s(y)dy我们利用积分建立起非线性 模型得出在某一液面高度H下，罐 体油品体积V有以下函数关系[1]：
式中 H 2 = h − 0.825 tan α （3）当2b-0.4tanα≤h≤1.2即油液面处于 2b-0.4tanα≤ ≤ 即油液面处于 OM2与DE之间时： 之间时： 之间时
V = πab[0.4 − (2b − h) / tan α ] + a H 1 L3[( H 3 − b) H 3 (2b − H 3 ) + b 2 arcsin( 3 − 1) + πb 2 ] b b 2
第二问 实际模型的解答
由于实际储油罐横截面是圆形， 由于实际储油罐横截面是圆形，且发生纵向位移时的 液高是出于中轴面上的高度， 液高是出于中轴面上的高度，故其发生横向偏移时并不直 接影响体积的变化， 接影响体积的变化，而是通过影响实测液高与计算纵向位 移时所用的中轴面上液高H两者的关系来影响体积的变化 两者的关系来影响体积的变化。 移时所用的中轴面上液高 两者的关系来影响体积的变化。 通过几何关系分析我们得出 H=(h-R)cosβ+R H=(h-R)cosβ 1. 模型的建立 实际储油罐比实验用储油罐两端多 出两个球冠体， 出两个球冠体，故我们分析储油量随 液高变化的关系时将储油罐分成三部 两端球冠体V椭球1 分，两端球冠体 椭球 、V椭球 和中间 椭球2 段V中。 在计算中间段体积V中时需要按第一问的思路并且将纵向 偏转角度α考虑进去。
所以按以上方法可以得到第一种情形下油罐内油位高度h与 油量V之间的关系：
H' 1 V中 = L [( H − R) H (2 R − H ) + R arcsin( − 1) + πR 2 ] R 2
' ' ' ' 2
L' = [(h − R) cos β + R] / tan α + 2
1 H ' = (((h − R) cos β + R) + 2 tan α ) 2
续表
实际罐容 V/L 3786.92 3816.10 3844.45 3871.93 3898.49 3924.08 3948.63 3972.08 3991.03 4007.94 4023.34
4. 误差分析 根据上表中所得的数据，并结合实际情况下的数据， 根据上表中所得的数据，并结合实际情况下的数据，分 析两种变化曲线之间的关系如下图： 析两种变化曲线之间的关系如下图： 从上图中所作曲线可以看 出，所建立的模型与试验值 拟合性较好， 拟合性较好，并变位后的试 验值小于模型计算值， 验值小于模型计算值，分析 其主要误差产生在忽略的附 件（探针、注油管、出油管 探针、注油管、 所占用的体积中， 等）所占用的体积中，且温 油的静压力、 度、油的静压力、浮力等都 影响了模型的计算值产生的 误差。 误差。
式中 H 3 = b + − 1.025 tan α

h 2
L3 = 2.05 + (2b − h) / tan α
3. 试验模型的求解 实验罐体变位后的罐容标定表
油位高度 h/m 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 实际罐容 V/L 1.48 3.13 5.55 8.84 13.09 18.37 24.74 32.28 41.03 51.07 62.43 75.18 89.36 105.02 122.20 142.04 165.68 油位高度 h/m 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 实际罐容 V/L 190.41 216.17 242.89 270.53 299.03 328.35 358.45 389.29 420.85 453.08 485.96 519.46 553.55 588.21 623.41 659.14 695.36 油位高度 h/m 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 实际罐容 V/L 732.05 769.21 806.80 844.81 883.22 922.01 961.17 1000.67 1040.51 1080.66 1121.11 1161.85 1202.86 1244.12 1285.62 1327.36 1369.30 油位高度 h/m 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 实际罐容 V/L 1411.45 1453.78 1496.29 1538.95 1581.77 1624.71 1667.78 1710.96 1754.24 1797.60 1841.03 1884.52 1928.06 1971.63 2015.23 2058.84 2102.44
同理，我们可以得到其他两种情形下储油罐内 储油罐内V-h关系： 关系： 储油罐内 关系 （2）当2.05tanα≤h≤2b-0.4tanα即油 2.05tanα≤ ≤ α 液面处于BM1与DE之间时： 液面处于BM DE之间时： 之间时
V= a H 1 L[( H 2 − b) H 2 (2b − H 2 ) + b 2 arcsin( 2 − 1) + πb 2 ] b b 2
V中 = πR 2 [2 − (2 R − h) / tan α ] + [6 − (2 R − h) / tan α ][( H ' − R) H ' (2 R − H ' ) + H' 1 R arcsin( − 1) + πR 2 ] R 2
H' 1 V中 = L[( H − R) H (2 R − H ) + R arcsin( − 1) + πb 2 ] R 2
' ' ' 2
H ' = (h − R) cos β + R − 2 tan α
V椭球 =
πc
1 2 [ R 2 ( H − R) − ( H − R)3 + R 3 ] R 3 3
2010高教社杯 全国大学生数学建模竞赛答辩
————储油罐的变位识别与罐容表标定
问题及总体思路——
在问题（ ） 要求我们利用实验所给数据， 在问题（1）中，要求我们利用实验所给数据，建立 数学模型研究纵向变位对罐容表的影响， 数学模型研究纵向变位对罐容表的影响，并给出相关的 罐容表标定值。 罐容表标定值。根据已知数据得出合理的模型，我们分 析变位前后油位高度和储油量之间的关系，已知油罐的 横截面是一个椭圆，即罐中油体积随着油位高度变化属 于非线性变化，因此我们利用积分和已学知识建立起非 线性模型，得出液高与体积之间的函数关系式，然后利 用关系式确定在某一液高时的储油量，建立起相关的罐 容表标定值。 在问题（2）中，要求我们将第一问的模型进一步扩 展，得到一个包含变位参数α和β的油位高度与油量的关 系，并利用实际采集数据求出α、β的值，然后返回来用 此关系得到一个罐容标定表并且验证其可靠性。