高等数学 第六章

通过以上两个实例，我们介绍了微分方程的几个基本概 念. 微分方程在社会生产实践中，是我们解决许多实际问题的 有力工具，现将解决实际问题的方法步骤归纳如下：
(1) 建立反映实际问题的微分方程； (2) 按实际问题写出初始条件； (3) 求微分方程的通解；
(4) 由初始条件确定所求的特解. 例3 函数y=C1ex+C2e－x(C1，C2为任意常数)且微分方程y″ －y=0的通解吗？说明理由. 解 首先先验证是微分方程的解，对y=C1ex+C2e－x求导得
初始条件为s(0)=0，v(0)=s′(0)=20.
方程两边同时积分，得速度为
再积分一次，得
ds v(t) dt 0.4t C1 s(t)=－0.2t2+C1t+C2
将初始条件v(0)=20，s(0)=0代入v(t)和s(t)，得C1=20，C2=0. 于是可得，制动后列车的速度方程和运动方程分别为 v(t)=－0.4t+20 s(t)=－0.2t2+20t
积分，得
y 2xdx x2 C
又曲线经过点(1，2)，将y|x=1=2代入上式，得C=1． 于是，所求曲线方程为 y=x2+1 例2 [自由落体运动] 设一质量为m的质点，在t=0时刻自
由下落(空气阻力忽略不计)，求其运动方程． 解 建立坐标系如图6-1，设运动方程为s=s(t)，由于质点
第六章 微分方程
6.1 微分方程的概念 6.2 可分离变量的微分方程 6.3 一阶线性微分方程 6.4 二阶常系数线性齐次微分方程
6.1 微分方程的概念
一、 两个实例 例1 [曲线方程问题] 已知曲线上任一点M(x，y)处切线 的斜率等于该点横坐标的2倍，且曲线经过点(1，2)，求此曲 线方程． 解 设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点M(x，y)处的切线斜 率为dy/dx．根据题意有
y′=C1ex－C2e－x，y″=C1ex+C2e－x 将y及y″代入方程y″－y=0中，得
左边=(C1ex+C2e－x)－(C1ex+C2e－x)=0=右边 所以函数y=C1ex+C2e－x是微分方程的解；又因为解中含有两 个独立任意常数， 且微分方程是二阶的，故函数y=C1ex+ C2e－x是微分方程的通解.
解 设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点M(x，y)处的切线斜
率为dy/dx． 根据题意有
dy x dx y
初始条件为y|x=1=0. 这个方程不能用两边同时积分的方法求解，因为微分
方程的右端含有未知函数y，积分 如果将方程作如下变形写成：
x y
dx
解不出来. 但
y dy=－x dx
这时方程的左端只含有未知函数y与dy，右端只含有自变量x
只受重力mg作用，且力的方向与运动方向相同，由牛顿第二 定律，得质点满足方程
mg ma m d 2 s dt 2
图6-1
即
d2s
g dt 2
(2)
对(2)式两边积分，得
ds dt
gt
C1
上式两边再同时积分，得
s
1 2
gt 2
C1t
C2
其中，C1，C2是两个独立的任意常数.
又因为s(0)=0，s′(0)=0，将两个条件代入上式得C1=0，C2=0.
求解步骤如下：
dy f (x) g( y) dx
(1) 分离变量
dy f (x)dx; g( y)
(2) 两边积分
dy f (x)dx; g( y)
(3) 求出积分， 得通解 G(y)=F(x)+C. 其中G(y)，F(x)分别是1/g(y)，f(x)的原函数，C为任意常数.
例6 求微分方程dy/dx=2xy满足初始条件y|x=0=1的特解. 解 分离变量，得
例4 (刹车制动问题) 列车在直线轨道上以20 m/s的速度
行驶，当制动时列车获得的加速度为－0.4 m/s2，问开始制动
后多长时间列车才能停住，这段时间内列车行驶了多少米？
解 设列车制动后t秒行驶了s米，由题意知，制动后列车
行驶的加速度等于－0.4 m/s2， 即 d 2 s 0.4 dt 2
与dx. 即变量y和 dy已经分离在方程的两端，此时两边可以同
时积分 ydy xdx ，得
1 y2 1 x2 C
2
2
即 x 2 y 2 2C (C为任意常数)
将y|x=1=0代入通解中，得C=1/2，于是所求曲线方程为 x2+y2=1
通过例5我们看到，在解微分方程中，若两个变量同时出 现在方程的某一端，就不能直接用两边积分的方法求解，如 果能将两个变量分离，使方程的一端只含变量y及dy，另一端 只含x及dx，那么就可以用两边同时积分的方法求出通解. 这 种求解方法称为分离变量法. 变量能分离的微分方程称为可分 离变量的微分方程. 它的一般形式可表示为
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数 与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解. 通解 中，利用附加条件确定任意常数的取值所得的解称为微分方 程的特解，这种附加条件称为初始条件.
如例1中，y=x2+C是微分方程 dy/dx=2x的通解；y=x2+1是 微分方程在初始条件y|x=1=2下的特解.
于是，质点作自由落体的运动方程为
s 1 gt 2 2
二、 微分方程的概念 一般地，凡含有未知函数的导数(或微分)的等式称为微 分方程. 微分方程中所含的未知函数的最高阶导数的阶数， 称为微分方程的阶. 如上述两个实例中dy/dx=2x是一阶微分方 程，d2s/dt2=g是二阶微分方程. 如果微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称 为线性微分方程；否则称为非线性微分方程. 例如，两个实例 中的微分方程和y″+2y′－3y=sinx都是线性微分方程， (y″)2－y=ex和yy′+2y=x是非线性微分方程. 任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解. 求微分方 程解的过程称为解微分方程.
令v(t)=0，得0=－0.4t+20，所以列车从制动开始到停住所需 的时间
t 20 50 (s) 0.4
把t=50代入s(t)，得列车制动后行驶的路程 s=－0.2×502+20×50=500(m)
6.2 可分离变量的微分方程
例5 一曲线过点(1，0)，且曲线上任意点M(x，y)处的切
线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程.