探讨利用导数的定义及相关性质进行解题[开题报告]

毕业论文开题报告

数学与应用数学

探讨利用导数的定义及相关性质进行解题

一、选题的背景与意义

导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）分别在研究力学和几何学过程中建立起来的．导数是一元函数微分学中的重要概念，在数学、物理、经济等许多领域有着广泛的应用，导数与微分中值定理、Taylor 公式有一定的联系，且可以判断曲线的单调性、凹凸性，求函数的极值、拐点、最值等，还可以用来求函数解析式、比较大小、求数列和、求参数取值范围、解决根的分布、处理优化问题、处理函数图像的切线．

二、研究的基本内容和拟解决的主要问题

本论文的主要目的是通过阅读书籍和文献搜集及整理利用导数的定义和性质解题的各种计算技巧，要求在充分理解的基础上进行归类总结．首先我们来介绍一些概念：

定义1[]1:设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限

000

()()lim x x f x f x x x →-- （1） 存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作0'()f x ．

若令0x x x =+∆，00()()y f x x f x ∆=+∆-，则（1）式可改写为

00000()()lim

lim '()x x f x x f x y f x x x

∆→∆→+∆-∆==∆∆ （2） 所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比y x ∆∆的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数0'()f x 则为f 在0x 处关于x 的变化率．

若（1）（或（2））式极限不存在，则称f 在点0x 处不可导．

定义2[2]: 设函数()y f x =在点0x 的某右邻域00[,)x x σ+上有定义，若右极限

0000()()lim lim x x f x x f x y x x

++∆→∆→+∆-∆=∆∆ （0x σ<∆<）存在，则称该极限值为f 在点0x 的右导数，记作0'()f x +． 类似地，我们可定义左导数0000()()'()lim x f x x f x f x x

--∆→+∆-=∆． 左导数和右导数统称为单侧导数．

定义3: 若函数在区间I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称f 为I 上的可导函数.此时对每一个x ∈I ，都有f 的一个导数'()f x （或单侧导数）与之对应.这样就定义了一个在I 上的函数，称为f 在I 上的导函数，也简称为导数．记作'f ，'y 或dy dx ，即0()()'()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆，x ∈I ． 定义4： 若函数f 在点0x 的某邻域0()U x 内对一切0()x U x ∈有

0()()f x f x ≥ 0(()())f x f x ≤

则称函数f 在点0x 取得极大（小）值，称点0x 为极大（小）值点．极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点．

显然常量函数()f x C =在任何一点x 的导数都等于零，即'()0f x =．设()f x 在0x 可导，那么0'()y f x x

ε∆=-∆是当0x ∆→时的无穷小量，于是()x x εο⋅∆=∆，即 0'()()y f x x x ο∆=∆+∆ （３）

我们称（３）为()f x 在点0x 的有限增量公式．注意，此公式对0x ∆=仍旧成立． 由公式（３）立即推出如下定理．

定理1[3]：设函数()F x 在区间上I 上可导，且导函数为()f x ，若()f x 在0x ∀∈１，

的极限存在，则()f x 在0x 点连续．即00lim ()()x x f x f x →=．

由微分中值定理，容易证明该结论成立,简单地说，对于'()()F x f x =(()f x 在I 上有定义)来说，有极限必连续,这是一般函数不具备的一个性质．

定理2：若()F x 在[,]a b 上处处可导，且'()()F x f x =，则在0x ∀∈I 处，()f x 在点0x 不连续必第二类(振荡)间断．

注：反之，若如果函数在某点的邻域内处处可导，则导函数在该点的左右极限存在且相

等时，函数该点必可导且导函数在该点连续(定理1)，而'()f x 该点的一侧或两侧同时振荡，()f x 在该点可能可导．

定理3：（费马定理[4]）设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导.若点0x 为f 的极值点，则必有0'()0f x =.

我们称满足方程0'()0f x =的点为稳定点.

对于函数3()f x x =，点0x =是稳定点，但却不是极值点．

定理4：（导数的介值定理(达布)）设()f x 在[,]a a -上处处可导(端点处单侧导数)，如果'()'()f a f b ≠对于任意'()'()f a f b 间的任意实数c ，至少存在一点[,]a b ζ∈使得成立'()f c ζ=

实际上，由前面的定理1和定理2，也容易理解这个定理成立，即导函数在其定义域内任意点要么连续要么不离开导数值振荡,因此导函数无论连续与否，导数值都应“充满”导函数的值域，因此介值定理仍然成立．

定理[5]：如果函数()y f x =在0x 点处当且仅当能做出一条非垂直的切线，则称函数()y f x =在点0x 处是可导的．

利用以上定理可以解决以下问题：

1、函数单调性的应用

例[6]证不等式：sin tan 2x x x +> (0)2x π

<<

证：设函数()sin tan 2f x x x x =+-，则有

2222'()cos sec 2cos sec 2

(cos sec )0,(0)2f x x x x x x x x π=+->+-=-><<

所以，函数()f x 在[0,]2π上单调增加，当02x π

<<时，()(0)0f x f >=，

即sin tan 2x x x +>(0)2x π<<

2、求函数的极限