圆周率pi的BBP计算公式之详细证明
圆周率小知识
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圆周率计算方法
圆周率计算方法圆周率，又称π，是数学中一个十分重要的常数，它代表了圆的周长与直径的比值。
圆周率的精确值是一个无限不循环小数，最常见的近似值是3.14159。
在数学、物理、工程等领域，圆周率都有着广泛的应用。
因此，研究圆周率的计算方法对于我们深入理解数学规律和解决实际问题具有重要意义。
圆周率的计算方法有很多种，下面我们将介绍几种常见的计算方法。
首先，最简单直观的计算方法是利用圆的周长与直径的关系进行计算。
根据定义，圆的周长C等于π乘以直径d，即C=πd。
因此，我们可以通过测量圆的周长和直径，然后利用这个关系式来计算圆周率的近似值。
其次，我们还可以利用圆的面积与半径的关系来计算圆周率。
根据定义，圆的面积A等于π乘以半径r的平方，即A=πr^2。
因此，我们可以通过测量圆的面积和半径，然后利用这个关系式来计算圆周率的近似值。
除了利用圆的几何特性进行计算外，还可以利用级数、积分、连分数等数学方法来计算圆周率。
其中，著名的皮亚诺级数和莱布尼兹级数都可以用来计算圆周率的近似值。
此外，利用积分和连分数也可以得到圆周率的近似值，这些方法在数值计算和数学研究中都有着重要的应用。
需要注意的是，圆周率的计算是一个充满挑战性的问题，因为它是一个无理数，无法用有限的小数或分数来表示。
因此，我们通常只能得到它的近似值。
随着计算机技术的发展，人们可以利用计算机来进行圆周率的计算，得到更精确的近似值。
目前，圆周率的计算已经超过了数万亿位小数，但仍然有许多数学家和计算机科学家在不断努力，希望能够得到更多的圆周率的小数位数。
综上所述，圆周率的计算方法有很多种，可以利用几何特性、级数、积分、连分数等数学方法来进行计算。
圆周率的计算是一个重要而又具有挑战性的问题，它对于我们深入理解数学规律和解决实际问题具有重要意义。
希望通过不断的努力和研究，我们能够更深入地理解圆周率，并得到更精确的近似值。
pi的计算
5.圆周率的随机模拟计算方法 (蒙特卡罗法)
cs=0 n=500 %随机取点数 for i=1:n a=rand(1,2); if a(1)^2+a(2)^2<=1 cs=cs+1 end end 4*cs/n
１
０
１
依次取n 500,1000,3000,5000,50000取算得 圆周率的近似值分别为 3.18400000000000 3.10400000000000 3.13866666666667 3.12080000000000 3.14376000000000
1 ( 1)n (6n)! 13591409 545140134n 12 , 3 3 3 n n 0 ( 3n)!( n! ) 640320 2
并在1994年计算到了4044000000位．它的另一 种形式是
426880 10005 . (6n)!(545140134 n 13591409) 3 3n ( n ! ) ( 3 n )! ( 640320 ) n 0
例3 完成下面的实验任务
(1) 用MATLAB软件计算函数arctan x的Maclaurin 展开式，计算的近似值.
( 2)利用下面的等式计算 的值，并与（ 1）比较.
2 1 2 ( 1)n1 (a ) (b) , 2, 2 8 n1 ( 2n 1) 12 n1 n
分析法时期
这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难 计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。 1593年，韦达给出
这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式。甚至 在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它 表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和 开平方就可算出 π 值。
圆周率
在1949年，美国制造的世上首部电脑－ENIAC（Electronic Numerical Interator and Computer）在亚伯丁试验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分钟算出一位数。五年后，NORC（海军兵器研究计算机）只用了13分钟，就算出π的3089个小数位。科技不断进步，电脑的运算速度也越来越快，在60年代至70年代，随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，π的值也越来越精确。在1973年，Jean Guilloud和M. Bouyer发现了π的第一百万个小数位。 在1976年，新的突破出现了。萨拉明（Eugene Salamin）发表了一条新的公式，那是一条二次收敛算则，也就是说每经过一次计算，有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式，但十分复杂，在那没有电脑的时代是不可行的。之后，不断有人以高速电脑结合类似萨拉明的算则来计算π的值。目前为止，π的值己被算至小数点后51,000,000,000个位。 为什么要继续计算π 其实，即使是要求最高、最准确的计算，也用不着这么多的小数位，那么，为什么人们还要不断地努力去计算圆周率呢? 这是因为，用这个方法就可以测试出电脑的毛病。如果在计算中得出的数值出了错，这就表示硬体有毛病或软体出了错，这样便需要进行更改。同时，以电脑计算圆周率也能使人们产生良性的竞争，科技也能得到进步，从而改善人类的生活。就连微积分、高等三角恒等式，也是由研究圆周率的推动，从而发展出来的。
这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月，日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。 4、波尔文四次迭代式： 这个公式由乔纳森·波尔文和彼得·波尔文于1985年发表的。 5、bailey-borwein-plouffe算法 这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发 丘德诺夫斯基公式
圆周率的计算公式
圆周率的计算公式圆周率是一个数学常数，通常用希腊字母π（pi）来表示，表示圆的周长与直径之比。
圆周率是一个无理数，它的小数点后面没有重复的模式，并且它是一个无限不循环小数。
计算圆周率的公式有很多种，下面介绍几种常见的计算圆周率的方法。
1.无穷级数法最著名的计算圆周率的方法就是使用无穷级数。
其中最著名的是勾股定理的推导。
勾股定理表述了在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
通过将斜边的平方展开成无穷级数，可以得到一个近似表示圆周率的级数。
例如，著名的莱布尼茨级数和尼尔森级数就是计算圆周率的一种方法。
2.随机方法随机方法是通过随机生成点来计算圆周率的近似值。
其中最著名的方法就是蒙特卡洛方法。
蒙特卡洛方法是通过在一个正方形内随机生成点，然后计算落在圆内的点的比例，利用比例来近似计算圆周率。
这种方法的精确度取决于生成的随机点数量，生成的随机点数量越多，计算得到的圆周率越接近真实值。
3.连分数法连分数法是一种通过递归的方式计算圆周率的方法。
其中，皮亚诺连分数和沃勒连分数是应用最广泛的连分数方法。
连分数法可以得到圆周率的连分数表示，通过不断逼近，可以得到圆周率的一个有理数近似值。
尽管连分数法在计算过程中非常复杂，但是可以得到一个非常高精度的近似值。
4.多项式逼近法多项式逼近法是一种通过多项式函数逼近圆周率的方法。
最经典的多项式逼近法是马青定理。
马青定理表明，对于任意一个自然数n，至少存在一个n次的整系数多项式，使得这个多项式在0到1之间的区间上与圆周率的差值小于1/n。
通过递归的方式，可以构造出一个多项式函数，使得这个多项式函数可以逼近圆周率。
5.高精度计算法高精度计算法是利用计算机的高精度计算功能来计算圆周率的方法。
计算机可以进行大量的运算和迭代，可以得到非常精确的近似值。
最著名的高精度计算法是基于无穷级数的方法，通过计算级数的前n项来得到一个n位精确的近似值。
以上介绍的方法只是计算圆周率的一部分，实际上还有很多其他的方法，如使用快速傅里叶变换（FFT）等数值计算方法。
圆周率pi的BBP计算公式之详细证明
是一个小小的惊喜。这个公式，被称为 Bailey-Borwein-Plouffe 公式，简称为 BBP 公式，相 应的算法，被称为 BBP 算法。
2 BBP 公式的证明
BBP 公式是在 1996 年发现的[1]，该算法的正式论文发表于 1997 年[3]，在这篇文章中，
π π2
log(2)
log
2
(
2)
log(9 10)
提出了一种计算某些超越数（包括 ， ，
，
，
等）小数点后
第 d 位数字的算法。这些算法具有如下特点：
l 算法计算出的小数点后第 d 位的数字不是以 10 为基数（radix）的，而是以 2 为 基数或者以 16 为基数，也就是实际计算出的是以二进制表示或者十六进制表示
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圆周率 pi 的 BBP 计算公式之详细证明
4
∫1 16 y −16
0
y4
−
2y3
+
4y
−
dy 4
( )( ) ∫1
，换句话说就是 3.1408...
<π
<
3.1428... 。公元
π 5 世纪，中国古代数学家祖冲之采用阿基米德方法的一种变体将 求到了小数点后 7 位。
π 到了 17 世纪，微积分被牛顿和莱布尼兹发现之后，大量计算 的公式被发现了。著名
的 Gregory-Leibniz 公式就是其中一个：
π 4 = 1 −1 3 +1 5 −1 7 +1 9 −1 11+ L
圆周率_计算机算法_概述及解释说明
圆周率计算机算法概述及解释说明1. 引言1.1 概述圆周率是一个非常重要且神秘的数学常数，由于其无限不循环的小数表示形式，一直以来吸引着数学家、工程师和计算机科学家的兴趣。
它被广泛应用于科学、工程和技术领域，并在现实生活中有许多实际应用。
本篇文章将对圆周率的计算方法进行概述和解释说明，介绍了几种主要的计算机算法方法。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、圆周率的定义和历史、圆周率的计算方法简介、计算机算法实现圆周率的各种方法详解以及结论及未来展望。
在引言部分，我们将提供整体的概述，并对文章接下来的内容做简单介绍。
1.3 目的本文旨在向读者传达关于圆周率计算方法的知识，并详细解释不同方法背后的原理和思想。
通过阅读本文，读者可以了解到各种计算机算法如何实现圆周率近似值的准确性和效率，并能够进一步探索该领域中仍需研究和改进的方向。
以上为引言部分的详细内容。
2. 圆周率的定义和历史:2.1 圆周率的定义:圆周率（π）是一个数学常数，表示圆的周长与直径之间的比例关系。
在几何中，它被定义为所有圆形图形中任意一点到该圆心的距离都相等。
圆周率是一个无理数，它的十进制表示形式是无限不循环小数。
2.2 圆周率的历史:对于人类来说，早期就对圆和其性质感兴趣，并试图了解其相关特性。
早在公元前2000年左右，古代埃及人就已经发现了一个近似值3.16用于计算房屋建筑、土地测量等方面。
而公元前250年左右，希腊天文学家阿基米德提出了一种近似计算圆周率的方法，在正多边形内外画线来逼近圆周。
随着时间推移，欧洲数学家们逐渐改进和推广这种求取π值的方法。
17世纪初期，英国数学家约翰·沃利斯使用连分数展开法得到了越来越准确的结果，并将π值扩展至更多小数位。
18世纪末期至19世纪初期，德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯和埃米尔·卢阿哥等人独立提出了基于连分数理论的算法来计算π值。
这些方法比以前的方法更有效，可以得到更多小数位的精确值。
圆周率π的近似计算方法
圆周率π的近似计算方法班级学号姓名众所周知，圆周率π是平面上圆的周长与直径之比，它等于3.141 592 6…。
古代人把3作为它的近似值。
π是一个非常重要的常数.一位德国数学家评论道:\历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以做为衡量这个这家当时数学发展水平的重要标志.\古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过π值的计算方法.古人计算圆周率，一般是用割圆法（不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长）。
即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。
公元263年，刘徽通过提出著名的割圆术，得出π ＝3.14，通常称为\徽率\，他指出这是不足近似值。
割圆术用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率π ＝3927/1250 ＝3.1416。
而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。
后来祖冲之通过割圆法求得圆周率3.1415926 ＜π ＜ 3.1415927 ，得到π 的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。
他算出的π 的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。
以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。
我们再回头看一下国外取得的成果。
1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出π= 3927/1250 = 3.1416。
1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了3×228＝805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出π 值，他的结果是：π＝3.14159265358979325 有十七位准确数字。
这是国外第一次打破祖冲之的记录。
在日本，十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率时创立零约术，其实质就是用加成法来求近似分数的方法。
他以3、4作为母近似值，连续加成六次得到祖冲之约率，加成一百十二次得到密率。
关于π和黄金比例的计算与准确的光速
关于π和黄金比例的计算与准确的光速（一）圆周率（π）现在圆周率（π）这个概念大家都清楚了，但是很少有人知道怎样精确地计算出准确的π值。
其实，π是很容易计算的，只不过计算量很大。
下面推荐几个计算π的公式：①专业莱布尼兹公式（最简单，但速度最慢）：∑-∞=+-⨯=11124π1k k k ）（②通俗易懂的公式（莱布尼兹公式简化版）：⋯⋯+-+-+-+-=174154134114947454344π（无限地计算下去，每次分母都加2，开始不像是π，后面越来越接近） ③专业BBP 公式（速度最快）：)681581482184(1π016+-+-+-+=∑∞=k k k k k k （二）黄金比例大家知道黄金比例≈0.618034，但谁知道怎样把它算得精确呢？下面介绍几个著名的算法： ①斐波那契数列计算法。
1、1、2、3、5、8、13、21……大家看出来了，这个数列的每一个数都等于前面两个数的和。
只要用这个数列的任意一个数除以后一个数，就是黄金比例（越后越好）。
②公式计算法。
152+=黄金比例 你知道吗？黄金比例这个数很特别，它的倒数等于自身加1，也就是≈1.618034，所以我们可以用一元二次方程解出它。
解：设黄金比例为x 。
15211+=+=x x x 这个公式就是这样得来的。
（三）光速。
现在普遍认为光速是3×108m/s ，其实这不准确，我们可以通过国际标准单位中对米的定义来推算光速。
国际标准单位——米（m ）被定义为光在2997924581秒内走的距离。
由此可知： 米）光速（1299792458/ s m ，光速是299792458m/s 。
圆周率计算公式推导方法大全
3.1326286133 3.139350192
3.1410319398 3.1414524723 3.1415576079 3.1415838921 3.1415904632 3.1415916588 3.1415920694 3.141586944 3.1415869677
3.1415869678
0.0654381654 0.0327234633 0.0163622792 0.0081812081 0.0040906126 0.0020453071 0.0010226537 0.0005113269 0.0002556634
0.0001278315
0.0000639159
0.0000319579
)
解得：X ＝
则：
而后以 （ ） ＝计算边长；则 ( )(n)现以此法实际计算的 值如下表：
正n边形数 边长
12
0.5176380902
值
3.1058285412
24 48
96 192 384 768 1536 3072 6144 12288 24576
49152
98304
196608
0.2610523844 0.1308062585
丘德诺夫斯基（Chudnovsky）公式：
此公式十分适合计算机编程，是目前计算机使用较快的一个公式。将 artanx 展 成 级 数 , 得 x 的 2n+1 次 方 除 以 2n+1 令 x 等 于 1 得 π=4-4\3+4\5-4\7+4\9-4\11.........
根据这样计算，当n越大π值越精确.
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－－《湘江击水》编辑
此外，另有巧法直接计算圆周率：
圆周率
简介圆周率（π）是一个常数（约等于3.141592654），是代表圆周长和直径的比值。
它是一个无理数，即是一个无限不循环小数。
但在日常生活中，通常都用3.14来代表圆周率去进行计算，即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，也只取值至小数点后约20位。
π(读作“派”)是第十六个希腊字母，本来它是和圆周率没有关系的，但大数学家欧拉在一七三六年开始，在书信和论文中都用π来代表圆周率。
既然他是大数学家，所以人们也有样学样地用π来表示圆周率了。
但π除了表示圆周率外，也可以用来表示其他事物，在统计学中也能看到它的出现。
π=Pai（π=Pi）古希腊欧几里德《几何原本》（约公元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）中有“径一而周三”的记载，也认为圆周率是常数。
历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前1700）中取pi=（4/3）^4≒3.1604 。
第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到（3+（10/71））<π<（3+（1/7）），开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的π值。
中国数学家刘徽在注释《九章算术》（263年）时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。
他用割圆术一直算到圆内接正192边形，得出π≈根号10 （约为3.16）。
南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。
他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。
其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲不知道是祖冲之先知道密率的，将密率错误的称之为安托尼斯率。
pi的计算
f ( x i 1 ) f ( x i ) ( ( xi xi 1 )) 2 i 1
当区间划分为n等分时
b
s3
s4
o
x2 x3
b x
——trapz(x,y)
n 1 h f ( xi ) f (b)) , a f ( x )dx Tn 2 ( f (a ) 2 i 1 ba 其中 h , xk a kh k 1,2,, n 1 n
出：
1706年，英国天文学教授John Machin(梅钦) 发现了下面的公式
1 1 16 arctan 4 arctan , 5 239
梅钦公式
并利用下面公式计算到了圆周率的100位.
2 n1 x3 x5 x7 x n1 arctan x x 1 3 5 7 2n 1
虽然计算π的精确值已经没有实际意义了，但是研究它 的计算方法及相应算法的收敛速度还是很有必要的。
1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan发表了 下面的公式：
9801 (4n)! (1103 26390n) 2 2 4n 4 4n 4 ( n ! ) 99 n 0
在中国
祖冲之: 在刘徽研究的基础上，进一步地发展， 经过既漫长又烦琐的计算，一直算到圆内接正 24576边形，而得到一个结论： 3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 同时得到π 的两个近似分数：约率为22／7； 密率为355／113。 他算出的 π 的8位可靠数字，不但在当时是最精 密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致 于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。
无理数 和e的近似计算
西安交通大学 数学与统计学院 赵小艳
圆周率的计算方法
圆周率的计算方法古人计算圆周率，一般是用割圆法、即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长、这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好、随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式、下面挑选一些经典的常用公式加以介绍、除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了、1、马青公式π＝16arctan 51－4arctan 2391 这个公式由英国天文学教授约翰·马青于1706年发现、他利用这个公式计算到了100位的圆周率、马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度、因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现、还有很多类似于马青公式的反正切公式、在所有这些公式中，马青公式似乎是最快的了、虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，马青公式就力不从心了、下面介绍的算法，在PC 机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度、这些算法用程序实现起来比较复杂、因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT 〔FastFourierTransform 〕算法、FFT 可以将两个大数的乘除运算时间由O 〔n2〕缩短为O 〔nlog 〔n 〕〕、2、拉马努金公式1914年，印度数学家拉马努金在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式、这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度、1985年Gosper 用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位、1989年，大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良，这个公式被称为丘德诺夫斯基公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度、1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位、丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：3、AGM 〔Arithmetic-GeometricMean 〕算法高斯-勒让德公式：这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了、1999年9月，日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录、4、波尔文四次迭代式：这个公式由乔纳森·波尔文和彼得·波尔文于1985年发表，它四次收敛于圆周率、5、bailey-borwein-plouffe 算法这个公式简称BBP 公式，由DavidBailey,PeterBorwein 和SimonPlouffe 于1995年共同发表、它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n 位，而不用计算前面的n -1位、这为圆周率的分布式计算提供了可行性、。
圆周率100位圆周率
圆周率100位圆周率圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。
它定义为圆形之周长与直径之比。
它也等于圆形之面积与半径平方之比。
是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。
在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。
圆周率（π，读作pài）是一个常数（约等于3.141592654），是代表圆周长和直径的比值。
它是一个无理数，即无限不循环小数。
在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。
而用十位小数3.141592654便足以应付一般计算。
即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百个位。
记号π是第十六个希腊字母的小写。
π这个符号，亦是希腊语περιφρεια（表示周边，地域，圆周等意思）的首字母。
1706年英国数学家威廉·琼斯（William Jones ，1675－1749）最先使用“π”来表示圆周率。
1736年，瑞士大数学家欧拉也开始用π表示圆周率。
从此，π便成了圆周率的代名词。
要注意不可把π和其大写Π混用，后者是指连乘的意思。
定义π一般定义为一个圆形的周长C 与直径d 之比：π=C/d 。
由相似图形的性质可知，对于任何圆形，C/d 的值都是一样。
这样就定义出常数π。
第二个做法是，以圆形半径为边长作一正方形，然後把圆形面积和此正方形面积的比例订为π，即圆形之面积与半径平方之比。
定义圆周率不一定要用到几何概念，比如，我们可以定义π为满足sin x =0的最小正实数x。
这里的正弦函数定义为幂级数实验时期一块古巴比伦石匾（约产于公元前1900年至1600年）清楚地记载了圆周率 = 25/8= 3.125。
同一时期的古埃及文物，莱因德数学纸草书（Rhind Mathematical Papyrus）也表明圆周率等于分数16/9的平方，约等于3.1605。
埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。
拉出圆周率的数字 (2)
拉出圆周率的数字David Austin关键词：圆周率, 算法大自然给了我们许多不容易被人类数字系统表示的重要常数，如π和e。
例如，π的前50位数字π=3.14159265358979323846264338327950288419716939937510…只提供了这个重要数的一个逼近，因而我们觉得有必要更深入地了解这样的数。
我们也可能会问这些重要的常数之间是否有关联。
例如，乍一看，π和e似乎在不同的数学领域出现，所以如果发现它们的值可通过简单的方式联系在一起，这将是非常值得注意的。
在这篇文章中，我们将探讨圆的周长与直径的比π怎样以惊人的精度计算出来。
事实上，我们将看到如何深入到π的十六进制表示的内部来计算我们希望的任何位数。
我们还将介绍相关的新算法，使我们能够探讨各种数值常数是否存在简单的关系。
虽然现实世界的应用不需要准确到50位数字的π，然而计算π的历史是丰富的，其动机主要是出于我们自己的好奇心。
对于计算科学家来说，计算问题提出像“数如何有效地相乘”这样的技术性挑战，他们的解决方案有着广泛的应用。
早期的圆周率计算古希腊数学家阿基米德是仔细研究π的先驱之一。
他的技术从一个周长为2π的单位圆开始，然后用内接和外切正多边形的周长来逼近圆周长。
例如，下图所示的两个正六边形的周长将给出π的上、下界。
通过增加多边形的边数，我们可以得到更好的上下界。
如果令a n和b n分别表示外切n-边形（标以红色）和内接n-边形（标以蓝色）的周长，则有b n<2π<a n及2π=lim n→∞a n=lim n→∞b n.当n=6时，容易计算出周长a6=43√,b6=6.本质上利用三角中的半角公式，阿基米德确定出当边数加倍后周长如何变化，从而得到循环公式a2n=2a n b n a n+b n,b2n=a2n b n−−−−−√.用这一方法，我们有上下界22371<π<227.1600年左右在荷兰工作的德国数学家Ludolph van Ceulen采用了阿基米德的计术算出了π的前35位，并将它的上下界刻在自己的墓碑上。
圆周率的计算方法
圆周率的计算方法古人计算圆周率，一般是用割圆法。
即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。
Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen 用正262边形得到了35位精度。
这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。
随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。
下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。
除了这些经典公式外，还有很多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。
∙Machin公式这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。
他利用这个公式计算到了100位的圆周率。
Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。
因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。
Machin.c 源程序还有很多类似于Machin公式的反正切公式。
在所有这些公式中，Machin公式似乎是最快的了。
虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machin公式就力不从心了。
下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。
这些算法用程序实现起来比较复杂。
因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。
FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。
关于FFT算法的具体实现和源程序，请参考Xavier Gourdon的主页∙Ramanujan公式1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。
这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。
1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
1989年，David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为：这个公式被称为Chudnovsky公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。
圆周率π的计算及简单应用
圆周率π的计算及简单应用一、π的来历π即圆周率，定义为：圆的周长与直径之比，是一个常数。
通常用希腊字母π来表示。
英国人琼斯在1706年首次创用π代表圆周率。
但是，他的符号并未立刻被采用，后来，欧拉予以提倡，才渐渐被推广开来。
此后π才成为圆周率的专用符号。
π的历史是饶有趣味的。
对π的研究程度，在一定程度上反映一个地区和时代的数学水平，。
实际上，在古代长期使用π＝３这个数值，古巴比伦、古印度、古中国都是如此。
直到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。
后来东汉的数学家又将π值改为约为3.16。
然而直正使圆周率的计算建立在科学的基础上，应归功于阿基米德。
他用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71，为此专门写了一篇论文《圆的度量》，同时这也是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。
但是第一次用正确方法计算π值的，是中国魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法即穷竭法，算得π值约为 3.14。
在我国称这种方法为割圆术。
直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。
后人为纪念刘徽的贡献，也将圆周率称为徽率。
公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位即3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。
同时，祖冲之还找到了两个分数，分别是22/7和355/113。
用分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。
由中国南朝数学家祖冲之计算出的圆周率，保持了一千多年的世界记录。
直到在1596年，才由荷兰数学家卢道夫打破了。
他把π值推到小数点后第15位小数，后来又推到了第35位。
人们在他1610年去世后，为了纪念他的这项成就，为此在他的墓碑上刻上：3.14159265358979323846264338327950288这个数，从此也把它称为"卢道夫数"。
之后，随着数学的发展，尤其是微积分的发现，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展。
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圆周率 pi 的 BBP 计算公式之详细证明
4
∫1 16 y −16
0
y4
−
2y3
+
4y
−
dy 4
( )( ) ∫1
对于公式(7)中的第二部分，根据计算机浮点算术运算单元的精度，通常计算开始的几 项就够了，因为通过观察可知，第二部分中的每一项都是一个分数除以一个整数的商，随着 k 的增大，计算出来的每一项的值将迅速逼近计算机浮点算术运算单元所能表示的最小精 度。
{ } 16 简单分析可知，公式(5)中 dπ 的值是不可能小于 0 的，但是由于在公式(7)的第一部
π π2
log(2)
log
2
(
2)
log(9 10)
提出了一种计算某些超越数（包括 ， ，
，
，
等）小数点后
第 d 位数字的算法。这些算法具有如下特点：
l 算法计算出的小数点后第 d 位的数字不是以 10 为基数（radix）的，而是以 2 为 基数或者以 16 为基数，也就是实际计算出的是以二进制表示或者十六进制表示
(1)
这个公式很容易得到。根据微积分公式和级数展开公式，可以将 tan−1 x 展开成下面的级 数：
∫ ∫ tan−1 x =
x dt 0 1+t2
=
x (1 − t 2 + t 4 − t6 + L)dt
0
(2)
= x − x3 3 + x5 5 − x7 7 + x9 9 −L
代入 x = 1 即可得到 Gregory-Leibniz 公式。Gregory-Leibniz 公式简洁优美，但是可惜的
1 0
2
x1−1 1− x8
dx
−
2
×
24
2
1 0
2
x4−1 1− x8
dx
−
25
2
1 0
2
x5−1 1− x8
dx
−
26
2
1 0
x 2 6−1 1 − x8 dx
∫=
1 0
24
2 − 8x3 − 4 2x4 − 8x5
1− x8
dx
在上式中代入 y = 2x ，得
Rockins Chen <ybc2084@> UESTC, Chengdu 4/6/2009
π log(2)
上通过几个小时的计算求出
或
的十亿个二进制位。在文献[3]中，作者展
π 示了将 计算到十六进制小数点后一百亿位的结果
π 计算 的 BBP 公式是：
∞
∑ π =
1( 4
−
2
−
1
−
1
)
16 k=0 k 8k + 1 8k + 4 8k + 5 8k + 6
(4)
此公式是计算机推导出的。但要证明此公式并不难。 【证明】首先注意到对任何 p < 8 ，有下式成立：
π 尽管靠着计算机的帮助，人类似乎已经把 的位数计算到了不可逾越的精度。但是以 π 上所有这些算法都有一个共同的特点：为了计算 的第 d 位，将不得不首先计算出 d 位之 π 前的所有位。换句话说，没有任何捷径可以让计算机能够直接计算出 的第 d 位。因为这
个缘故，所有这些已知的算法都表现出需要“吞噬大量内存”的特点，典型地，对内存的需 求量与要计算的总的位数成线性关系。
因此公式(4)(4)等号右边可以写成
∞
∑16 k =0
1
k
4 8k +
1
−
2 8k +
4
−
1 8k +
5
−
1 8k +
6
=
∞
4
∑k 16 k =0
1
(8k
+ 1)
−
∞
2
∑k 16 k =0
1
(8k
+
4)
−
∞
∑k 16 k =0
1
(8k
+
5)
−
∞
∑k 16 k =0
1
(8k
+
6)
∫ ∫ ∫ ∫ = 4 × 21 2
∫ ∫ ∑ ∑ ∑ ( ) 1 0
2
x p−1 1 − x8
dx
=
1 0
2 ∞ x p−1+8k dx = ∞
1 x p+8k
k =0
k=0 p + 8k
1 0
2
=
1 2p 2
∞
k =0 16k
1 8k + p
于是有
∑ ( ) ∫ ∞
k =0 16k
1 8k + p
= 2p 2 1 0
x 2 p−1 1 − x8 dx
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圆周率 pi 的 BBP 计算公式之详细证明
5
{16 } ∑ ∑ d Sj
=
d k =0
(3)
π 1873 年，Shanks 采用 Machin 的方案将 计算到了小数点后 707 位，不过可惜的是，
Rockins Chen <ybc2084@> UESTC, Chengdu 4/6/2009
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圆周率 pi 的 BBP 计算公式之详细证明
1
圆周率 pi 的 BBP 计算公式之详细证明
Rockins Chen <ybc2084@> UESTC, Chengdu 4/6/2009
π 是，这个公式中的级数收敛得非常慢，以至于仅需要计算 的小数点后两位有效数字时，
就需要计算级数中的前面数百项。
随后，一个和 Gregory-Leibniz 公式类似但是收敛速度快得多的公式被提了出来，这个 公式要归功于 Machin：
π 4 = 4 tan−1(1 5) − tan−1(1 239)
−
2 ln
y2 − 2y + 2
1 0
+4 tan−1
(
y
− 1)
1 0
= 2ln (−1) − 2ln (−2) + 2ln 2 − 4 tan−1 (−1)
= 2ln (i2 ) − 2ln (2) − 2ln (i2 ) + 2ln 2 + π
=π
证毕。■
3 BBP 公式的算法实现
π 利用公式(4)，可以得到一个计算十六进制 的算法，算法能够在不计算小数点后前 d π 位的情况下，直接计算出小数点后从 d 位开始的一串数字。尽管该算法不是目前求 的效
∞。对第一部分，之所以在分子中加入模 8k + j 操作，是因为公式(7)中只关注商的小数部 分，因此通过取模操作简化运算。第一部分包含总共 d 项的连加和，其中的每一项都是一个
不大于 8k + j 的整数（16d−k mod8k + j ）除以 8k + j 的商，所以用通常的计算机浮点算术
运算即可完成每一项的除法操作，并求连加和。
π 因此，当一个能够直接计算出 的第 d 位的全新公式被发现的时候，带给人们的绝不
是一个小小的惊喜。这个公式，被称为 Bailey-Borwein-Plouffe 公式，简称为 BBP 公式，相 应的算法，被称为 BBP 算法。
2 BBP 公式的证明
BBP 公式是在 1996 年发现的[1]，该算法的正式论文发表于 1997 年[3]，在这篇文章中，
傅立叶变换（FFT）可以用来完成高精度的乘法运算，而运算速度却比传统的计算方案快得 多。
尽管有了这样一些显著的进步，在 20 世纪 70 年代之前所有计算机都是采用古典公式来
π 计算 的，通常是 Machin 公式的变种。到了 1976 年，Salamin 和 Richard Brent 独立发现了 π π 一个新的计算 的算法。这个算法收敛到 的速度比任何古典公式都要快得多，该算法只 π 需二十五次迭代就足以将 计算到超过四千五百万十进制位的精度。
Lindemann 的证明彻底地解决了源自古希腊的“化圆为方”问题，即能否仅用直尺和圆规将 一个圆变为一个正方形的问题。Lindemann 的证明否决了这一猜想。
π 进入 20 世纪 50 年代，凭借着计算机技术的发展， 先是被计算到了上千位，随后又 π 被计算到了上百万位。一些新的技术被引进到 的计算中，比如在 1965 年的时候人们发现
=
16 y −16
dy
0 y2 − 2 y2 − 2y + 2
∫ ∫ =
1 0
4y y2 −
dy 2
−
1 4y −8
0
y2
−
2
y
+
dy 2
∫ ∫ ∫ =
2
1 0
2y
y2
−
dy 2
−2
1 0
y
2
2y −2 −2y +
dy 2
+
4
1
0 (y
1
− 1)2