空间中的角

立体几何专题一：空间角

异面直线所成的角

一、基础知识

1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ΄//a ，b ΄//b ，相交直线a ΄b ΄所成的

锐角（或直角）叫做 。 2.范围： ⎥⎦

⎤ ⎝

⎛∈2,

0πθ 3.方法： 平移法、问量法、三线角公式

（1）平移法 (移到一点接三角形)

（2）向量法：

可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b a ><=,cos cos θ ),,(111z y x a = ),,(2

22z y x b =22

22

22

21

21

2

1

2

12121c o s z

y x z y x z z y y x x ++++++=∴θ

二、例题讲练

1、正四棱柱1111A B C D A B C D -中，12A A A B =

，则异面直线1A B 与1A D 所成角的余弦值为

2、如图正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中AB=2AA 1，M 、N

A 1

B 1，A 1

C 1的中点，则AM 与CN 所成角为 。

3、如图PD

⊥平面ABCD,四边形ABCD 为矩形， AB=2AD=2DP ，E 为CD 中点。 （1）AP 与BE 所成的角为

（2）若∈F 直线PD ，且AF 与BE 所成角为θ

①θ=30˚行吗？②θ=75˚时；

DP

DF

等于多少？

6.空间四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 与各边长均为1，O 为BCD

∆的重心，M 是AC 的中点，E 是 AO 的中点，求异面直线OM 与BE 所成的角 。

9、如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小；（

3

π）

解：用几何法和向量法分别求解

D A

B

C

D

P

E F

直线和平面所成的角

一、基础知识

1.怎么作出直线与平面所成的角？

2.直线与平面所成角范围是？

3. 方法： 几何法 公式法 向量法 （1

（2）公式法：θθθθθθ

cos cos cos cos cos cos 2

12

1=⇔=

2

1,,,θ

θθα=∠=∠=∠⊥

AOB B AB 于点 （即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值）

（3n m ,,

则><的余角或其补角的

余角角θ

，

n m ><=,cos sin θ二、例题讲解

例1、在长方体AC 1中，AB=2，BC=CC 1=1，求 （1）CD 与面ABC 1D 1所成的角

（2）A 1C 与平面ABC 1D 1所成的角 （3）A 1C 与平面BC 1D 所成的角

（2008年高考全国卷1）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为三角形ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成的角的正弦值等于 6.如图所示，∠BOC 在平面α内，OA 是α的斜线，∠AOB=∠AOC=60˚，OA=OB=OC=a ，BC=2a ，求OA 和平面α所成的角的大小。(公式法)

7.如图，已知正方形ABCD ，SA ⊥现面ABCD ，且SA=AB ，M 、N 分别为SB 、SD 的中点，

求SC 和平面AMN 所成的角

9、（2007湖北高考）如图，在三棱锥V A B C -中，V C ⊥底面ABC ，A C B C ⊥，D 是AB

的中点，且A

CB Ca ==，V D C θ∠=π02θ⎛

⎫<< ⎪⎝

⎭

． （I ）求证：平面V

A B ⊥VCD ； （II ）试确定θ的值，使得直线B C 与平面VAB 所成的角为

6

π

。 （Ⅲ）当解θ变化时，求直线B C 与平面VAB 第7题图

第6题图

第三节 平面与平面所成的角

一、基础知识

1.何为二面角，如何找二面角？

2.平面角的取值范围？

3.方法：几何法 向量法 公式法

（1）几何法：作出二面角的平面角，再求解，常见的有

①定义法：在棱取一点，然后过该点分别在两个平面作棱的垂线

②垂面法：在棱上取一点，过该点作棱的垂面，分别交俩平面两条直线

③三垂线法：过平面内一点分别作棱的垂线和另一个平面的垂线连接两个垂足 （2）向量法：

①分别求出α和β的法向量n m ,，则二面角βα--

l 的大小为><或π—>< （3）公式法：

①设二面角βα--l 的大小为,θ,

,,,l CD l AB CD AB ⊥⊥⊂⊂β

α令,

,,d BD n CD m AB ===则

注意：BA 与DC 所成的角一定与二面角的平面角大小相等，但不一定是异面直线BA 和

CD 所成角的大小。

②面积法： 设二面角βα--

l 的平面α内某一图形（一般取三角形）面积为S ，该图形在平面β上射影面积为S '，二面角βα--

l 的大小为θ， )(cos )(cos 为钝角

或为锐角θ

θθθS

S S S '-='= 二、例题讲练

例5、如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2， AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求二面角C-PA-B 的大小． 解法一：(I) ∵PC ⊥平面ABC ，⊂AB 平面ABC ，

∴PC ⊥AB ．

∵CD ⊥平面PAB ，⊂AB 平面PAB ，

∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ，∴AB ⊥平面PCB ．

(II) 取AP 的中点E ，连结CE 、DE ．

∵PC=AC=2，∴CE ⊥PA ，CE=2．

∵CD ⊥平面PAB ，由三垂线定理的逆定理，得 DE ⊥PA ．

∴CED ∠为二面角C-PA-B 的平面角．由(I) AB ⊥平面PCB ，

又∵AB=BC ，可求得BC=2．在PCB Rt ∆中，PB=6BC PC 2

2

=+，

3

2

622PB BC PC CD =⨯=⋅=． 在CDE Rt

∆中， sin ∠CED=362

32

CE CD ==． ∴二面角C-PA-B 的大小为arcsin 3

6

解法二：（I ）同解法一．

(II) 设平面PAB 的法向量为m = (x ，y ，z)．

A

B

C D

P

A B

C D

P

x

y

z A

B

C D

P

E F