平面的投影

点的投影规律应用
例2-1 已知点B的正面投影和水平投影，求其侧面投影。 Z 作图步骤： （1）过原点O作一条 b' b" 45°辅助线； （2）过b’向右作直线 与OZ轴垂直； （3）过b向右作直线与 O YW X OYH轴垂直,并延长与45° 辅助线相交， （4）再过该交点向上作 b 竖直线与过b’的直线相 交，其交点既是所要求 的点B的侧面投影。 YH
(3)侧垂线的投影特性
投影特性： 1. a”b”积聚成一点；2.ab OY; a’b’OZ 3. ab = a’b’=AB。
W
H
H
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3. 一般位置直线
a a
z
百度文库
a b YW
A
a
b
b b
B
b
a
x
o
a
b
投影特点 a. 三个投影都小于实长； b.三个投影都均倾斜于投影轴。
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二、点的直角坐标表示法 Z V (x,z) a'(x,z) a'
A(x,y,z)
O
Z
a" (y,z)
X H
a" W (y,z)
X
O
YW
a(x,y)
YH 1.点A到W面的距离等于点A的X坐标，即AW=XA； 2.点A到V面的距离等于点A的Y坐标， 即AV=YA； 3.点A到H面的距离等于点A的Z坐标， 即AH=ZA；
侧面投影带两撇；a"
H
a Y
A点的水平投影 —a A点的正面投影 —a' A点的侧面投影 —a"
http://decweb.neu.edu.cn 水平投影不带撇。
a
(2)点的三面投影图
V a' A X a Y H a" W
Z
V a'
Z a"
W
O
X
O
YW
H
a YH
保持V面不动，将H面绕OX轴向下转90°，W面 绕OZ轴向后转90°，使V，H，W三个投影面处 于同一个平面上。
第二章
点、直线、平面的投影
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第二章
点、直线、平面的投影
投影法概述 点的投影 直线的投影 平面的投影
第一节 第二节 第三节 第四节
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第一节 投影法概述
一、投影法
投影法概念的引入 任何一个物体经光线照射后，总会在预定的 平面上产生影象，人们将这一自然现象称为投影。 科学工作者对这种现象进 行抽象，总结出了利用投 影来表达空间形体的形状 和大小，并将在指定投影 面上作出形体投影的方法 称为——投影法。
正垂线—垂直V面，平行H、W面的直线
铅垂线—垂直H面，平行V、W面的直线 侧垂线—垂直W面，平行V、H面的直线
投影特点 1）在直线所垂直的投影面上的投影积聚为一点； 2）另外两个投影面上的投影等于实长，且平行于相 应的投影面。
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(1)铅垂线的投影特性
V Z a a
c"
20
20
O
YW
15
c
YH
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三、两点的相对位置
两点的相对位置是指空间两点上下、前后、左右的位置关系。 上 下
Z
a' b'
Z a' b' b" O
-
a"
A B
b O
a"
X
左 -右
X
b" b
YW
后 -前
a
Y
a
YH 后 前 -
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b.正投影法
投射线与投影面垂直。
正投影法是工程图 样绘制的理论基础。
A C
Aa,Bb,Cc 投影线 投影方向垂 直投影面
B c
△abc正投影 投影面
a
b
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三、 工程上常用的投影图
结论: 一个投影不 能确定空间物体 的形状。
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1.多面正投影图
多面正投影图立体图 多面正投影 立体图是在三个 互相垂直的投影 面上作形体的三 面正投影图，该 图样可以唯一确 定形体的形状和 大小。
Z
W
V
X
Y
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多面正投影展开
将三面正投影立体图展开后得到下图：
Z V W
多面正投影图
X
O
YW
H
YH
实际工程图样绘制时不 画投影面边界及投影轴。
YH
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三、直线上点的投影
Z
a a
c c b a b X b c b c O a a b
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3. 标高投影图
用正投影法将物体表面的一系列等高线投射到水平的 投影面上，并标注出各等高线的高程数值的单面正投影。 23 22 21 20 A 19
I
J
K
L
B
i a19.7 19.8
19
23 22 21 20
20.2
j
k 20.3
20.6
l
22 21
垂直于一个投影面，与 另外两个投影面平行。
b
a (b)
a b b
a
3. 一般位置直线 直线与三个投影面都倾斜
a b
http://decweb.neu.edu.cn a
二、各种位置直线的投影特性
1. 投 影 面 平 行 线 正平线—平行V面，倾斜H、W面的直线
水平线—平行H面，倾斜V、W面的直线 侧平线—平行W面，倾斜V、H面的直线
点
直线
平面
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一、点在三投影面体系中的投影
1. 三投影面体系的建立 水平投影面—简称H面 正面投影面—简称V面 V 侧立投影面—简称W面 投影轴 —相邻两投影 面的交线 OX、OY、OZ X 原点：O— 三个投影轴的交点
Z
O
H
Y
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b20.7
标高投影图用于不规则曲面的表达。
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4.透视投影图
用中心投影法将形体投射在单一投影面上所得到的图形 称为透视投影图，简称透视图。
特点：透视图直观性强，但度量性差，作图复杂，一般用在 绘画和建筑设计中。
透视图
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第二节
点 的 投 影
一、点在三投影面体系中的投影 二、点的直角坐标表示法 三、两点的相对位置 J 四、重影点及可见性
E
A D
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F G
L
B
C
H
立体的构成
点、直线和平面称为构成立体的几何元素。
点是构成立体的最基本元素。
研究点的正投影规律也是用图示方法表示直线、 平面和立体的基础。
四、重影点及可见性
1. 什么是重影点？ 当空间两个点到两个投影面的距离相 等，即有两个坐标值相等，此时，该两点 处于对某个投影面的同一条射线上，这两 点在该投影面上的投影将重合为一点，将 空间这样的两点称为重影点。
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YA=YB,XA=XB
V
b'
a' A B
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S
A
B
a b
投影的定义
S—光源点 投射中心
S SAa,SBb—发自光
源点的射线,投射线
AB— 空间的曲线（形体）
A
B
预定的平面H —投影面
ab —空间曲线的投影
a b
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二、投影法的分类
1. 中心投影法 投射中心距投影 面有限远，所有 的投射线都交于 一点。
V Z
a'
A X ax a
az
V a'
Z az a"
W
a" O ay
W X ax O ayw YW
H
Y a
H YH
ayh
(2) 点的投影到投影轴的距离，等于该点到相应投影面的距离。 既：a’ax=a‟‟ayw=Aa ; aax=a‟‟az=Aa’; aayw=a‟az=Aa”;
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z
a
A
b
a
W
x
b
o
b
yW
X
B
a(b)
O
b
a(b)
投影特性： 1. ab积聚成一点； 2. a’b’OX; a’’b’’OY; 3. a’b’= a’’b’’=AB http://decweb.neu.edu.cn
Y
yH
(2)正垂线的投影特性
投影特性： 1.a‟b‟ 积聚 成一点；
2. ab OX; a ” b ‟‟ OZ ； 3. ab = a ‟‟ b ‟‟ =AB 。 http://decweb.neu.edu.cn
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Y
a (x,y)
点的投影规律应用
例2-2 已知点C的直角坐标(20,15,20),求其三面投影。
作图步骤：
（1）在X轴上确定一点， 使其距原点O的X坐标为20； （2）过该点向上作垂直线； 量取Z坐标为20，即 点C的 正面投影; X （3）过该点向下作垂直线； 量取Y坐标为15，即点C的水 平投影； （4）分别过c’、c向右作 水平线，利用45°辅助线， 得到点C的侧面投影。 c' Z
规定：直线的投影画粗实线。
(e‟) b‟
X e a b a‟ Z
a”
e” O b” E A B C
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J I
F G
YW
H D
YH
一、直线的分类
1. 投影面平行线
a b a a b b
平行于一个投影面，与 另外两个投影面倾斜 。 2. 投影面垂直线
投影特点 1）在直线所平行的投影面上的投影反映实长； 2）另外两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
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（1）水平线的投影特性
V Z a b a b
z a b
A
B
O
a b W
x
a b Y
o
yW
X
a
b
yH
投影特性 1.a'b'//OX，a"b"//OY http://decweb.neu.edu.cn 2. ab=AB
2. 点在三投影面体系中的投影
(1) 求空间点A的三面投影
V Z
结论：
根据正投影的概念，求点在 三投影面体系中的投影方法， 既过空间点分别向三个投影 面作垂线，所得到的垂足， 既是点在三投影面的投影。
a'
A X O a" W
规定：
空间点用大写字母表示，如 A、B、C…等。 投影用对应的小写字母表示。 而且正面投影在小写字母右 上角带一撇； a'
(c') d'
C
对V面 ZC=ZD,XC=XD 重影点 a‟
b‟
D
(c‟) d‟ O
X O a (b) c d
X
a(b)
c
对H面 重影点
d
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2. 重影点的可见性判别
判别可见性的方法： ZA>ZB 利用坐标值不相等 a‟ (c‟)d‟ 的一对投影判定， b‟ 点C正 坐标值大的点投影 面投影 可见，另外一个点 的投影则为不可见。 不可见 X O 规定： 不可见点的投影在 c 投影符号上加一圆 a (b) d 括号表示。 点B水 YD>YC 平投影 不可见 http://decweb.neu.edu.cn
第三节
直线的投影
一、直线的分类 二、各种位置直线的投影特性 三、直线上点的投影 四、两直线的相对位置
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直线的一般概念
直线一般用直线段来表示，即用直线的两个端点表示。 直线的投影一般情况下仍然是直线，特殊情况下积聚为一点。 讨论直线的投影，实质上是讨论直线的两个端点的投影。
（2）正平线的投影特性
投影特性： 1. a„b‟=AB； 2. ab//OX ，a“b”//OZ；
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（3）侧平线的投影特性
投影特性： 1.a”b”=AB； 2. a„b‟//OZ ， ab//OY；
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2. 投 影 面 垂 直 线
V Z
a'
A X ax a
az
V a'
Z az a"
W
a" O ay
W X ax O ayw YW
H
Y a ayh
YH H （1）点的相邻投影的连线垂直于相应的投影轴； 既a'a⊥OX; a'a”⊥OZ
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；a”ayw ⊥OYw ;
aayh⊥OYH
3.点的三面投影规律（2）
a
S 投射中心 投射线 A B c 投影 b
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C
投影面P
2.平行投影法
投射中心距投影面无限远， 所有的投射线都互相平行。
C
a.斜投影法
投射线与投影面倾斜
Aa,Bb,Cc投影线 投影方向S倾 斜投影面P
c
A B
a
投影面 △abc投影
b
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(3)点的三面投影图作图方法
规定：
a）点的三面投影图中， 不画投影面界线; b）投影点画细实线的小 圆圈。
投影连线 ——细实线
Z
a'
a"
a'a 、a’a"
称为投影连线
X
O
YW
a
投影轴 ——细实线 http://decweb.neu.edu.cn
YH
3.点的三面投影规律（1）