沪教版二次函数的概念辅导讲义(概念较详细)
沪科版数学九年级上册教学课件：21.1 二次函数(共27张PPT)
解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120，
整理得
x2－18x＋72＝0，
解得
x1＝6，x2＝12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第6档．
【解题归纳】解决此类问题的关键是要吃透题意， 确定变量，建立函数模型．
新课进行时
思考： 1.已知二次函数y＝－10x2＋180x＋400 ,自变量x的取 值范围是什么？ 2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y＝－10x2＋ 180x＋400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题 有意义.
新课进行时 核心知识点三 二次函数的值
例4 一个二次函数 y (k . 1)xk23k4 2x 1
（1）求k的值.
（2）当x=0.5时，y的值是多少？
解：（1）由题意，得
k
2
3k
4
2,函数Leabharlann 系；S 6a2 (a 0)
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；
y x2 (x 0)
4
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与 一对角线长x(cm)之间的函数关系．
S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)
2
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6
元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量
减少5件，
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．
∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，
即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；
沪教版九年级上册-二次函数复习 讲义
教学内容—二次函数综合复习知识精要二次函数的概念：形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数。
定义域是一切实数。
二次函数的图像函数 对称轴顶点 开口方向最值 ()20y ax a =≠ y 轴 （0，0）a>0,图像开口向上,顶点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点.()20y ax c a =+≠ y 轴),0(cc()()20y a x m a =+≠m x -= ()0,m -)0()(2≠++=a k m x a y m x -=),(k m -k()02≠++=a c bx ax yabx 2-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 ab ac 442-)0)()((1≠--=a x x x x a y x221x x x +=一、选择题典型例题1）有关二次函数图像与系数关系1．如果0k <（k 为常数），那么二次函数22y kx x k =-+的图像大致为 （ ）．2. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如图所示， 以下关于实数c b a ,,的符号判断中，正确的是（ ） A.0,0,0>>>c b a B.0,0,0><>c b a C.0,0,0<>>c b a D.0,0,0<<>c b a第6题ABCDy O x y Ox yOxyOx2）二次函数性质的判断：对称轴，开口方向，顶点，增减性1． 已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是 （ ） A. 若12y y =，则12x x = B. 若12x x =-，则12y y =- C. 若120x x <<，则12y y > D. 若120x x <<，则12y y > 2．关于抛物线4)1(32-+-=x y ，下列说法正确的是 （ ）A ．抛物线的对称轴是直线1=x ；B ．抛物线在y 轴上的截距是4-；C ．抛物线的顶点坐标是（41--，）； D ．抛物线的开口方向向上． 3．已知函数222y x x =--的图像如图所示，根据图像提供的信息，可得y ≤1时，x 的取值范围是 （ ）A ．3x -≥B ．31x -≤≤C ． 13x -≤≤D ．1x -≤或3x ≥4．对于抛物线23y x =-，下列说法中正确的是（ ）A ．抛物线的开口向下 ；B ．顶点（0，－3）是抛物线的最低点 ；C ．顶点（0，－3）是抛物线的最高点；D ．抛物线在直线0x =右侧的部分下降的．3）二次函数的平移问题1．把抛物线22y x =--平移后得到抛物线2y x =-,平移的方法可以是（ ）． A. 沿y 轴向上平移2个单位； B. 沿y 轴向下平移2个单位； C. 沿x 轴向右平移2个单位； D. 沿x 轴向左平移2个单位．2. 把抛物线()216+=x y 平移后得到抛物线26x y = ，平移的方法可以是 （ ）.A. 沿y 轴向上平移1个单位；B. 沿y 轴向下平移1个单位；C. 沿x 轴向左平移1个单位；D. 沿x 轴向右平移1个单位. 巩固练习1．已知抛物线解析式为243y x x =--，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是__________．2．二次函数322+=x y 图象的顶点坐标是 .3．如果二次函数()()21122+-++=x k x k y ，那么它的图象的开口向 .4. 如果)8,(x A ，),2(y B -是二次函数221x y =图像上的两个点，那么=+y x . 5．抛物线c bx x y ++=2经过点)3,0(和)0,1(-，那么抛物线的解析式是 ． 6．如果二次函数a x x y ++=2与x 轴有交点,那么实数a 的取值范围是 .7. 抛物线12-=ax y 上有一点)2,2(P ，平移该抛物线，使其顶点落在点)1,1(A 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为 ．二、 二次函数解答题典型例题例1.在直角坐标平面内，已知抛物线()()012>-=a x a y 顶点为A ,与y 轴交于点C ，点B 是抛物线上另一点，且横坐标为3，若⊿ABC 为直角三角形时，求a 的值.例2．如图，抛物线322++=ax ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 和点B 分别在x 轴的正、负半轴上），3cot =∠OCA ． （1）求抛物线的解析式；（2）平行于x 轴的直线l 与抛物线交于点E 、F （点F 在点E 的左边），如果四边形OBFE 是平行四边形，求点E 的坐标．巩固练习1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO =12，CO =BO ，AB =3，求这条抛物线的函数解析式.CyO A BxCxy oA 11-4B三、二次函数与相似结合题例1. 抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，已知该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ， （1）根据图象所给信息，求出抛物线的解析式； （2）求直线BC 与y 轴交点D 的坐标；（3）点P 是直线BC 上的一点，且APB ∆与DOB ∆相似，求点P 的坐标.例2．如图9，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数图像经过(1,2)A -、(3,2)B -和(0,1)C 三点，顶点为P ．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点P 的坐标； （2）联结PC 、BC ，求BCP ∠的正切值；（3）能否在第一象限内找到一点Q ,使得以Q 、C 、A 三点为顶点的三角形与以C 、P 、B 三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点Q 共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由．自我测试1．下列抛物线中，顶点在第一象限内的是 ( ) A.2)1(21-=x y B. 3212+=x y C. 3)1(212++=x y D. 3)1(212+-=x y . 2．若A （113,4y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =--的图像上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是 （ ）．A.123y y y <<B. 321y y y <<C. 312y y y <<D. 132y y y << 3．将抛物线y =2x 2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是( ) A. y=2(x+1)2 +3； B. y=2(x －1)2－3； C. y=2(x+1)2－3； D. y=2(x －1)2+3．4. 若二次函数k x x y +-=32的图像与x 轴有公共点,则实数k 的取值范围是 。
沪教版九年级上册-二次函数的概念与特殊二次函数的图像(一)讲义
教学内容—二次函数的概念及特殊二次函数的图像知识精要1.二次函数的概念一般地，解析式形如2(,,0)y ax bx c a b c a =++≠其中是常数，且的函数叫做二次函数。
二次函数2y ax bx c =++的定义域为一切实数。
特殊二次函数的图像函数 对称轴顶点 开口方向最值 ()20y ax a =≠ y 轴 原点a>0,图像开口向上,顶点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点.()20y ax c a =+≠ y 轴),0(cc()()20y a x m a =+≠m x -= ()0,m -)0()(2≠++=a k m x a y m x -=),(k m -k()02≠++=a c bx ax yabx 2-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 ab ac 442-)0)()((1≠--=a x x x x a y x221x x x +=值函数的图象及性质＞0⑴开口向上，并且向上无限伸展；⑵当x ＝时，函数有最小值；当x ＜时，y 随x 的增大而减小；当x ＞时，y 随x 的增大而增大．＜0 ⑴开口向下，并且向下无限伸展；⑵当x ＝时，函数有最大值；当x ＜时，y 随x 的增大而增大；()20y ax bx c a =++≠当x ＞时，y 随x 的增大而减小．图像平移规律: 左加右减，上加下减。
2、一元二次方程的根与系数关系：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根分别是1x 、2x ，那么1212,.b c x x x x a a+=-⋅= 两点之间距离公式：22()()A B A B AB x x y y =-+- 3、一元二次方程的根的情况与二次函数图像关系 一元二次方程有两个不同的实数根 ∆>0 抛物线与x 轴有两个不同的交点 一元二次方程有两个相同的实数根∆＝0抛物线与x 轴只有一个交点，且这个交点为抛物线顶点一元二次方程无实数根∆<0抛物线与x 轴无交点 热身练习1. 正方体的棱长为x ，表面积为y ，y 关于x 的函数解析式是2. 圆的面积为S ，半径为R ，S 关于R 的函数解析式为 。
沪科版九年级数学上21.1二次函数 (共22张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若
是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t² (5)y= _x1_²-x
(4) y=(x+3)²-x² (6) v=10πr²
先化简后判断
例2、y=（m+3）xm2-7 为二次函数，求m的值。
二次函数的概念课件(共27张PPT)沪科版数学九年级上学期
26.1 二 次 函 数 的 概 念
上海教育出版社 九年义务教育课本 九年级 第一学期（试用本）
一、情境引入
一、情境引入
消防水枪的喷射路线
一、情境引入
投出的篮球
跳水比赛
一、情境引入
喷水池喷射出的一条水线
一、情境引入
问题1 我们已经学习过哪些函数？
问题2 从哪些方面研究这些函数？
方厘米，那么 y 关于 x 的函数解析式是__________.
问题6 把一根40厘米的铁丝分为两段，再分别把每一段弯折成一个正方形．设
其中一段铁丝长为 x 厘米，两个正方形的面积和为
y 平方厘米，那么 y
= − + . 定义域是_________.
关于 x 的函数解析式是_____________
问题3 如何研究新的函数？
实际问题
概
念
图
像
性
质
实际应用
一、情境引入
抛物线
一、情境引入
问题4 如果正方形的边长是 x 厘米，那么它的面积 y 平方厘米是边长 x 厘米的
函数，y 关于 x 的函数解析式是__________．
问题5 一个边长为4厘米的正方形， 若它的边长增加 x 厘米，则面积随之增加
的函数叫做二次函数． 其定义域为一切实数．
二次函数解析式的特点：
1.关于自变量的整式
2.自变量的最高次数为二次
3.二次项系数不为零
二、新知讲授
问题7 已知函数 y=ax2+bx+c (其中a、b、c是常数)，那么 y 是 x 的什么函数？
(1)当 a≠0 时， y 是 x 的二次函数．
26.1 二次函数的概念(课件)九年级数学上册(沪教版)
典型例题
例1 下列函数中哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数
项。
① = 2 2 + 2 √
③ =
2
1+
2
−1 ×
最高次数是4
⑤ = ( + 1) √
② = 2 2 + (1 − 2)
④ =
1
2
⑥ =
4 + 2
2 +1
+ 2
×
√
解：①二次项系数是 2，一次项系数是0，常数项是2
1
1 2 1
m nn 1 n n
2
2
2
探究新知
问题3：某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产
量．如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产
品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系
应怎样表示？
分析：这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t，再
探究新知
思考：二次函数的一般式y=ax²+bx+c(a≠0)与一元二次方程
ax2+bx+c＝0(a≠0)有什么联系和区别？
联系：
(1)等式一边都是ax2+bx+c且a≠0；
(2)方程ax2+bx+c=0可以看成函数y=ax2+bx+c中y=0时得到的.
区别:
(1)前者是函数,后者是方程；
(2)函数的左边是y,方程右边是0.
经过一年后的产量是20(1+x)2 t，即两年后的产量是：
y 20 1 x 20 x 2 40 x 20
数学沪教版(上海)九年级第一学期2二次函数的概念课件
【思索归纳】
定义： 一般地,解析式形如
y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数,且 a≠ 0)
的函数叫做二次函数.
二次函数y=ax²+bx+c 的定义域为一切实数. 遇到实际问题，具角线数 d 与边数 n 有什么关系？ n边形有＿＿n 个顶点,从一
个顶点出发,连接与这点不相 邻的各顶点,可作＿＿(n－＿3) 条对 角线.因此,n边形的对角线总 数 d =＿＿＿1 n＿(n－＿3) ＿.
2
即:
➢ 通过研究函数可以帮助我们解决生活中的 问题
➢ 分享曾经用函数解决的生活问题
正比例函数 反比例函数 一次函数
函数: 在一个变化过程中,如果有两个变 量x与y, 并且对于x的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么就说y 是x的函数, x是自变量.
一次函数 y=kx+b (k≠0)
函 数
(正比例函数) y=kx (k≠0)
反比例函数
y=
k x
(k≠0)
问题1: 正方体六个面 是全等的正方形,设正 方形棱长为 x,表面积为 y ,则 y 关于x 的关系式 为＿＿＿＿. y=6x2
3、把一根 40 cm 长的铁丝分成两段，再分 别将每一段弯折成一个正方形，设其中一段 铁丝为 x cm，两个正方形的面积和为y cm 2，
则y =__4x__2_____4_0_4___x___2___y____18_x2 5x 100
4、农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三 个月的产量 y (台)与月平均增长率 x 之间的
26.1二次函数的概念
教学目标 :
对二次函数概念的理解。
由实际问题确定函数解析式和确定自变量的 取值范围。
沪科版九年级上册21.1.1二次函数的概念(共17张PPT)
1 x2
不是
(3) y x(1 x)
是
(4) y (x 1)2 x2 不是
先化简后判断
知识巩固
2. 把下列函数化成二次函数的一般式,并分别说出二);
解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6; 1,-5,6
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2; (3)y=-2(x+3)2.
S= x(20-x) =-x2+20
y=(190-10x)(15+x) =-10x2+40x+2850
上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同的特征? 经化简后都具有y=ax²+bx+c(a,b,c是常数, a≠0 )的形式.
二次函数的相关概念
一般地,表达式形如 y=ax²+bx+c (其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6; -1,4,-6 (3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18. -2,-12,-18
例题分析
例1 关于x的函数 y (m 1)xm2m 是二次函数,求m的值.
解 根据题意得m+1≠0且 m²-m=2,解得m=2.
注意:二次函数的二次项系数不能为零.
课堂小结
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数, a≠0 )
6. 列出函数表达式，并求自变量的取值范围. （1）一块矩形草地的长为100m,宽为80m,欲在中间修筑两条互相垂直的宽为 x(m)的小路,这时坪的面积为y(m²).求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围.
（2）某商品每件成本40元,以单价55元试销,每天可售出100件。根据市场预 测,定价每减少1元,销售量可增加10件. 求每天销售该商品获利金额y(元)与定 价x(元)之间的函数关系.
沪教版二次函数的概念辅导讲义(概念较详细)
14.如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．
（1）在第n 个图中，第一横行共 _________ 块瓷砖，第一竖列共有 _________ 块瓷砖；（均用含n 的代数式表示） （2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与（1）中的n 的函数； （3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值；
15.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y=kx+b ，且x =65时，y =55；x =75时，y =45． （1）求一次函数b kx y +=的表达式；
（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
16.如图，在ABC ∆，︒=∠90B ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以s cm /1的速度移动，点Q 以B
点开始沿BC 边向点C 以s cm /2的速度移动．（1）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过几秒钟，使PBQ ∆的面积等于82
cm ？（2）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，并且P 到B 后又继续在BC 边上前进，Q 到C 后又继续在CA 边上前进，经过几秒钟，使PCQ ∆的面积等于12.62
cm ？。
沪科版 九年级上册 21章二次函数讲义(word无解析)
第一讲二次函数的图像和性质（一）课时一二次函数的定义学习目标根据二次函数定义解决问题.课前预习感悟新知一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数, a≠0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量，y是因变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.温馨提示：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a≠0;（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.例题精讲理解新知1.下列函数是二次函数的是（）A. y=3x+1B. y=ax2+bx+cC. y=x2+3D. y=(x−1)2−x22.在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A. y=2x2B. y=2x−2C. y=ax2D. y=ax3.已知y=(m+2)x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A. −2B. 2C. ±2D. 04.二次函数y=-x2-2x+1的二次项系数是（）A. 1B. −1C. 2D. −25. 如果函数y=（k-3）x k2−3k+2+kx+1是二次函数，那么k的值一定是______．课时二y=ax²、y=ax²+k、y＝a(x＋h)²的图像和性质学习目标利用y=ax²、y=ax²+k、y＝a(x＋h)²的图像和性质解决问题课前预习感悟新知（1）y=ax²的图像和性质y=ax²+k的平移方式：抛物线y=ax²+k与y=ax²的形状、开口大小和开口方向相同，只是图像位置不同。
抛物线y=ax²+k可由抛物线y=ax²沿y轴方向平移 |k|个单位得到。
当k>0时，向上平移；k<0时，向下平移。
（3）y＝a(x＋h)²的图像和性质y=a(x＋h)²的平移方式：抛物线y=a(x＋h)²与y=ax²的形状、开口大小和开口方向相同，只是图像位置不同。
26.1二次函数的概念 上海教材 很全很详细
26.1 二次函数的概念【学习目标】1、知道二次函数的一般表达式；2、能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式；3、能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量 的取值范围。
【主要概念】1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零． 二次函数的定义域是全体实数。
2、 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2；（2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
3、在实际问题中抽象出二次函数模型的步骤（1） 审清题意，找出实际问题中的已知量与未知量，并分析它们之间的关系，将文字或图形语言转化成数学符号语言（2） 根据实际问题中存在的等量关系建立二次函数解析式；应注意将解析式整理为：2(0)y ax bx c a =++≠的形式；（3） 根据实际意义，明确自变量的取值范围。
注意点：（1）列二次函数解析式的基本思路和列方程解应用题的思路是一样的。
（2）注意自变量的范围4、用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤 （1） 设出二次函数解析式2y ax bx c =++（2） 把已知x ，y 的对应值代入所设解析式，得到关于a ，b ，c 的方程组； （3） 解方程组，求出系数a ，b ，c 的值 （4） 代入所求系数得到二次函数解析式 注意点：（1）有几个未知数列几个方程组 （2）代入时，注意对应代入【知识点填空】一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。
其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 【经典例题】【例1】观察：①y ＝6x 2；②y ＝－32 x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________．【例2】函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）．（1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数．【例3】下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2（4）y ＝3x 3＋2x 2（5）y ＝x ＋1x(6)y=5x ＋1(7)y=4x 2－1 (8)y=2x 3－3x 2(9)y=5x 4－3x ＋1【例4】m 取何值时函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是以x 为自变量的二次函数？【例5】n 支球队参加比赛，没两队之间进行一场比赛。
沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第15讲 二次函数的概念及特殊二次函数的图像(解析版)
二次函数是九年级上学期第三章的内容．本讲首先讲解二次函数的概念，需学会判断一个函数是否是二次函数，重点是学会在实际问题中用二次函数描述两个变量之间的依赖关系，并确定函数定义域．其次，在理解了二次函数概念的基础上，本讲讲解了特殊二次函数2y ax=的图像，重点是学会利用描点法画出二次函数的图像，并通过观察和分析，归纳出抛物线2y ax=的特征，掌握其直观性质，为学习其他形式的二次函数的图像做好准备．1、二次函数一般地，解析式形如2y ax bx c=++（其中a、b、c是常数，且0a≠）的函数叫做二次函数．二次函数2y ax bx c=++的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．二次函数的概念与特殊二次函数的图像1内容分析知识结构模块一：二次函数的概念知识精讲步同级年九2 / 19【例1】 判断下列函数是否是二次函数．（1）23y x =； （2）2112y x =-+； （3）21y x =；（4）()2y x x =-； （5）()212y x =+-；（6）()222y x x =+-．【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）是；（5）是；（6）不是 【解析】（1）没有二次项；（2）符合()20y ax bx c a =++≠；（3）不是整式； （4）()222y x x x x =-=-+，符合()20y ax bx c a =++≠； （5）()221221y x x x =+-=+-，符合()20y ax bx c a =++≠；（6）()22244y x x x =+-=+，没有二次项．【总结】本题考察二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合()20y ax bx c a =++≠的形式．【例2】 ()()222231y m m x m x m =--+-+是关于x 的二次函数需要满足的条件是_____________．【答案】3m ≠且1m ≠-．【解析】2230m m --≠，解得3m ≠且1m ≠-．【总结】本题考察二次函数的概念，二次函数需满足二次项系数不为零．【例3】 二次函数()22y x =-+的二次项系数为a ，一次项系数为b ，常数项为c ，则24b ac -=_____．【答案】0．【解析】()22244y x x x =-+=-+，所以1a =，4b =-，4c =，代入得240b ac -=． 【总结】本题考察二次项系数、一次项系数、常数项的概念，做题的关键是把函数化为一般式．【例4】 已知二次函数2253y x x =-+．（1）当12x =-时，求函数值；例题解析（2）当x 取何值时，函数值为0？【答案】（1）6；（2）1或32．【解析】（1）把12x =-代入2253y x x =-+得6y =；（2）把0y =代入22530x x -+=得11x =，232x =． 【总结】本题一方面考察了函数值求解问题，已知自变量的值代入函数解析式即可，另一方面考察了已知函数值求自变量的值的问题．【例5】 下列函数中（x ，t 为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．（1）2132y x =-+；（2）()()23422y x x x =--+；（3）23s t =++；（4）26y x =-．【答案】（1）是，二次项是23x 、一次项系数是0、常数项是12-； （2）不是；（32、一次项系数是1、常数项是3； （4）不是【解析】形如2y ax bx c =++（0a ≠）的函数叫做二次函数，其中2ax 叫做二次项、b 叫 做一次项系数、c 是常数项．【总结】本题考察二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念．【例6】 已知函数()()22932y m x m x =---+． （1）当m 为何值时，这个函数是二次函数？ （2）当m 为何值时，这个函数是一次函数？【答案】（1）3m ≠±；（2）3m =-．【解析】（1）当函数()()22932y m x m x=---+为二次函数时，则290m-≠时，即3m≠±．（2）当函数()()22932y m x m x=---+为一次函数时，则()29030mm⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，得3m=-．【总结】本题考察了二次函数与一次函数的概念．【例7】如图，有一矩形纸片，长、宽分别为8厘米和6厘米，现在长宽上分别剪去宽为x厘米（6x<）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积y关于x的函数关系式为【答案】()2144806y x x x=-+<<．【解析】阴影部分的长方形的的长为()8x cm-，宽为()6x cm-，所以面积()()()286144806y x x x x x=--=-+<<．【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．【例8】某公司4月份的营收为80万元，设每个月营收的增长率相同，且为x (0x>)，6月份的营收为y万元，写出y关于x的函数解析．【答案】()2801y x=+【解析】因为4月份的营收为80万元，5月份起，每月增长率都为x，所以5月份的营收为()801x+万元，12月份的营收为()2801x+万元．【总结】本题是平均增长率的问题，可用公式()21a x b+=来解题．【例9】用长为15米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过15米），围成一个矩形花圃．设花圃的宽为x米，面积为y平方米，求y与x的函数解析式及函数的定义域．【答案】21521502y x x x⎛⎫=-+<<⎪⎝⎭．【解析】设花圃的宽为x米，则长为()152x-米，∴面积()2152215y x x x x=-=-+152x⎛⎫<<⎪⎝⎭．【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量 的等量关系是解决问题的关键．【例10】 三角形的两边长的和为10厘米，它们的夹角为30°，设其中一条边长为x 厘米，三角形的面积为y 平方厘米，试写出y 与x 之间的函数解析式及定义域． 【答案】()21501042y x x x =-+<<．【解析】如图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ．设AB x =厘米，则()10BC x =-厘米，∵30B ∠=︒，∴1122AH AB x ==， 三角形面积()()211151001022242x y BC AH x x x x =⋅⋅=⋅-⋅=-+<<．【总结】此题主要利用三角形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量 的等量关系是解决问题的关键．【例11】 设12y y y =-，1y 与1x成反比例，2y 与2x 成正比例，则y 与x 的函数关系是（ ）A ．正比例函数B ．反比例函数C ．二次函数D ．一次函数【答案】C ． 【解析】∵1y 与1x成反比例，∴设1111k y k x x==，∵2y 与2x 成正比例，∴设222y k x =，∴21212y y y k x k x =-=-，∴y 与x 的函数关系是二次函数．【总结】本题主要考察反比例、正比例和二次函数的定义，属于基础题．【例12】 已知正方形的周长是C 厘米，面积是S 平方厘米．（1）求S 关于C 的函数关系式；（2）当S =1平方厘米，求正方形的边长．【答案】（1）216C S =；（2）1cm ．【解析】（1）因为正方形的周长是C 厘米，所以边长为4Ca =厘米，所以216C S =；（2）当S =1平方厘米，代入216C S =得正方形的边长为1a =厘米．【总结】此题主要利用正方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到面积与周长之间的等量关系是解决问题的关键．步同级年九6 / 191、 2y x =的图像在平面直角坐标系xOy 中，按照下列步骤画二次函数2y x =的图像． （1）列表：取自变量x 的一些值，计算相应的函数值y ，如下表所示：x … -2112--112- 012 11122 …2y x = (4)1241 140 1411244 …（2）描点：分别以所取的x 的值和相应的函数值y 作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．模块二：二次函数y = ax 2的图像知识精讲（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数2y x =的图像，如图2所示．二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =． 2、 二次函数2y ax =的图像抛物线2y ax =（0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点是原点．当0a >时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点为最高点．【例13】 （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数212y x =、22y x =的图像；（2）函数212y x =、22y x =的图像与函数2y x =的图像，有何异同？【答案】（1）如图：（2）相同点：开口方向都向上；顶点都是()0,0点；对称轴都是y 轴；不同点：开口大小不同．【解析】（1）略；（2）()20y ax a =≠图像顶点为坐标原点；对称轴为y 轴；例题解析0a >，开口向上，0a <，开口向下；a 决定开口大小，a 越大，开口越小．【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数图像的性质．【例14】 （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像；（2）函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像与函数2y x =、212y x =、22y x =的图像有何异同？ 【答案】（1）如图：（2）相同点：a 相同的开口大小一样；顶点都是原点；对称轴都是y 轴；不同点：开口方向不同．【解析】（1）略；（2）()20y ax a =≠图像顶点坐标为()0,0；对称轴为y 轴；0a >，开口向上，0a <，开口向下；a 决定开口大小，a 越大，开口越小．【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数的性质．【例15】 二次函数223y x =-的图像是______，它的对称轴是______，顶点坐标是______，开口方向是______．【答案】抛物线；y 轴；()0,0；向下．【解析】()20y ax a =≠图像为抛物线，顶点坐标为()0,0；对称轴为y 轴； 0a >，开口向上，0a <，开口向下 【总结】本题考察二次函数的性质．【例16】 抛物线22y x =除了点______以外，都位于______上方．【答案】()0,0；x 轴．【解析】抛物线22y x =的图像为顶点是()0,0点，开口向上的抛物线，∴只有()0,0点在x 轴上，其余的都位于x 轴上方．【总结】本题考察了二次函数的图像．【例17】 抛物线2y ax =与225y x =的形状相同，则a 的值为______． 【答案】25±．【解析】∵抛物线2y ax =与225y x =的形状相同，∴25a =，得25a =±． 【总结】本题考察二次函数的性质．【例18】 已知点P （32，6）在抛物线2y ax =上，那么a 的值为______． 【答案】83．【解析】把P （32，6）代入2y ax =得83a =． 【总结】本题考察待定系数法确定函数关系式，直接把点的坐标代入解析式即可．【例19】 抛物线23y x =经过点A （3，n ），则n = ______，且点A 关于抛物线对称轴的对称点A 1的坐标是______．【答案】27；()3,27-．【解析】把A （3，n ）代入23y x =得27n =；∵抛物线23y x =的对称轴为y 轴， ∴()13,27A -．【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握抛物线上关于对称轴的对称点到对称轴的距离相等的性质．【例20】 已知关于x 的二次函数()21y k x =+，当k 为何值时，它的图像开口向上？当k 为何值时，它的图像开口向下？【答案】1k >-时，图像开口向上；1k <-时，图像开口向下． 【解析】当10k +>，即1k >-，抛物线图像开口向上；当10k +<，即1k <-，抛物线图像开口向下．【总结】本题考察二次函数的开口方向与二次项系数a 的关系．【例21】 已知直线423y x =+上有两个点A 、B ，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线2y ax =也经过点A ，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B 吗？请说出你的理由．【答案】223y x =；抛物线不经过B 点． 【解析】把3和-2分别代入423y x =+得()3,6A 、22,3B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，把()3,6A 代入2y ax =得23a =，∴抛物线的表达式为223y x =；把2x =-代入223y x =得83y =，与B 点纵坐标不同，∴抛物线不经过点B ．【总结】本题考察利用待定系数法确定函数关系式．【例22】 抛物线212y x =上一点到x 轴的距离为8，求该点的坐标．【答案】()4,8、()4,8-． 【解析】∵抛物线212y x =上一点P 到x 轴的距离为8，则P 点纵坐标为8， 把8y =代入212y x =得()14,8P 、()24,8P -．【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征．【例23】 抛物线2y ax =与直线23y x =-交于点（1，b ）． （1）求a 和b 的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴； （3）当x 取何值时，二次函数的y 值随x 的增大而增大．【答案】（1）1a =-，1b =-；（2）2y x =-，顶点坐标为()0,0，对称轴为y 轴； （3）当0x <时，二次函数的y 值随x 的增大而增大．【解析】（1）把（1，b ）代入23y x =-得1b =-，∴交点坐标为()1,1-．把()1,1-代入2y ax =得1a =-，∴2y x =-；（2）由（1）得抛物线的解析式为2y x =-，顶点坐标为()0,0，对称轴为y 轴； （3）∵抛物线开口向下，在对称轴的左侧二次函数的y 值随x 的增大而增大，即当0x <时，二次函数的y 值随x 的增大而增大．【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式及二次函数的性质．【例24】 函数2y ax =-与y ax b =+的图像可能是（ ）【答案】D ．【解析】当0a >时，抛物线开口向下，一次函数一定过第一、三象限，当0a <时，抛物线开口向上，一次函数一定过第二、四象限．步同级年九12 / 19【总结】本题考察抛物线和直线的性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．【例25】 若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是__________；若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着x 轴翻折，所得的抛物线的表达式是__________；由这样的旋转与翻折分别得到的两条抛物线______重合的（选填“是”或“不是”）．【答案】2y ax =-；2y ax =-；是．【解析】若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着顶点旋转180°，则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反，∴新的抛物线的表达式为2y ax =-； 若抛物线2y ax =（0a ≠）沿着x 轴翻折， 则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反， ∴新的抛物线的表达式为2y ax =-．【总结】本题主要考察了二次函数图像与几何变换．【习题1】 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，请指出a 、b 、c ．（1）21y x =-； （2）21y x x =--； （3）20.3y x =； （4）()()212y x x x =+--； （5）221x x y π--=；（6）2y x =．【难度】★随堂检测【答案】（1）不是；（2）是，1a =，1b =-，1c =-；（3）是，0.3a =，0b =，0c =；（4）不是；（5）是，1a π=，2b π=-，1c π=-；（6）不是．【解析】形如2y ax bx c =++（0a ≠）的函数叫做二次函数，其中a 叫做二次项系数、 b 叫做一次项系数、c 是常数项，如果不是一般式，先整理成一般式再确定a 、b 、c ． 【总结】本题考察二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念．【习题2】 已知二次函数2y ax =的图像经过点Q （-1，-2），求a的值，并写出它的解析式．在平面直角坐标系中，画出它的图像．【难度】★【答案】2a =-，22y x =-．图像如图所示：【解析】把Q （-1，-2）代入2y ax =得2a =-，解析式为22y x =-． 【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式及二次函数图像画法．【习题3】 函数226mm y mx --=是y 关于x 的二次函数．当m = ______时，其图像开口向上；当m = ______ 时，其图像开口向下．【答案】4m =；2m =-． 【解析】∵函数226mm y mx --=为二次函数，∴2262m m --=，解得14m =，22m =-；当0m >，即4m =时，其图像开口向上；当0m <，即2m =-时，其图像开口向下． 【总结】本题考察二次函数的概念和性质．【习题4】求直线y x=与抛物线22y x=-的交点坐标．【答案】()0,0，11,22⎛⎫--⎪⎝⎭．【解析】联立方程得22y xy x=⎧⎨=-⎩，解得11xy=⎧⎨=⎩，221212xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线与抛物线的交点坐标为()0,0、11,22⎛⎫--⎪⎝⎭．【总结】本题考察了直线与抛物线的交点坐标求法．【习题5】如图所示，在同一坐标系中，作出①23y x=；②212y x=；③2y x=的图像，则图像从里到外的三条抛物线对应的函数依次是____________（填序号）．【答案】①③②【解析】()20y ax a=≠图像开口大小由a决定，a越大，开口越小．【总结】本题考察二次函数的图像及性质．【习题6】自由下落的物体的高度h（米）与下落的时间t（秒）的关系为24.9h t=．现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要的时间是______秒．【答案】2秒．【解析】把19.6h=代入24.9h t=得219.6 4.9t=，解得12t=，22t=-（舍）．【总结】本题考查二次函数的实际应用．【习题7】如图，桥拱是抛物线形状，其函数解析式为214y x=-，当水位线在AB位置时，水面的宽为12米，此时水面离桥顶的高度h是______米．【答案】9米．【解析】由题意知：()6,A h--，把()6,A h--代入214y x=-得9h=．【总结】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．【习题8】如图，园林工人要在一块长24米，宽12米的矩形土地中砌一个小矩形花坛，四周铺上草，其宽都相等，如果设草地的宽为x，花坛的面积为S平方米，求出S关于x的函数解析式及其定义域．【答案】()2=47228806S x x x-+<<．【解析】∵花坛的长为()242x-米，宽为()122x-米，∴()()()224212247228806S x x x x x=--=-+<<【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．．步同级年九16 / 19【作业1】下列函数，不属于二次函数的是（ ）A ．()()12y x x =-+B ．()2112y x =+C ．213y x =-D ．()22232y x x =+-【难度】★ 【答案】D ．【解析】∵()222321218y x x x =+-=+，二次项系数为0，∴不是二次函数． 【总结】本题考查二次函数的概念．【作业2】在同一平面直角坐标系中，作2y x =，212y x =-，213y x =的图像，它们的共同特点是（ ）A ．抛物线的开口方向向上B ．抛物线的开口方向向下C ．都是关于x 轴对称的抛物线D ．都是关于y 轴对称的抛物线【答案】D ．【解析】二次函数()20y ax a =≠的图像，对称轴为y 轴；顶点为坐标原点；当0a >时，开口向上，当0a <时，开口向下．【总结】本题考察二次函数的图像．【作业3】二次函数23y x bx =++中，当x = 3时，y = 0，则b 的值为______．【答案】4b =-．【解析】把3x =，0y =代入得：9330b ++=，解得4b =-． 【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式．【作业4】如果抛物线2y ax =过点（cos60°，sin30°），那么a = ______，它的函数表课后作业达式是______．【答案】2a =，22y x =． 【解析】∵1cos602︒=，1sin302︒=，∴抛物线2y ax =过点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,22⎛⎫⎪⎝⎭代入2y ax =得2a =，∴函数表达式是22y x =． 【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式．【作业5】如图，四个二次函数图像，分别对应的是12y ax =；22y bx =；32y cx =；42y dx =，则a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ）A ．a b c d >>>B ．a b d c >>>C ．b a c d >>>D ．b a d c >>>【答案】A ．【解析】∵①、②函数图像开口向上，∴0a >，0b >；∵③、④函数图像开口向下，∴0c <，0d <；∵二次函数()20y ax a =≠中，a 越大，开口越小，∴a b c d >>>．【总结】本题考查了二次函数的图像及性质．【作业6】若函数()2221mm y m m x --=+是二次函数，则m = ______，它的图像开口______，顶点是它的最______点，它的对称轴是______．【答案】3；向上；低；y 轴． 【解析】∵函数()2221mm y m m x --=+是二次函数，∴2212m m --=，解得13m =，21m =-，∵20m m +≠，∴1m ≠-，∴3m =，∴函数解析式为212y x =． ∴图像开口向上，顶点是它的最低点，对称轴是y 轴．【总结】本题考查了二次函数的概念、图像及性质．步同级年九18 / 19【作业7】求直线21y x =+与抛物线23y x =的交点坐标．【答案】()1,3，11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】将21y x =+代入23y x =得：2213x x +=，解得11x =，213x =-．当1x =时，3y =；当13x =-，13y =，∴线21y x =+与抛物线23y x =的交点坐标()1,3，11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【总结】本题考察了直线与抛物线的交点坐标求法．【作业8】一个正方形的面积为16平方厘米，当把边长增加x 厘米时，正方形的面积为y 平方厘米，则y 关于x 的函数关系式为____________．【答案】2816y x x =++．【解析】∵正方形的面积为16平方厘米，∴原正方形边长为4厘米，∴现在正方形的边长为()4x +厘米，∴()224816y x x x =+=++．【总结】此题主要利用正方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．【作业9】抛物线的顶点为原点，以y 轴为对称轴，且经过点A （-2，8）．（1）求这个函数的解析式；（2）写出抛物线上与点A 关于y 轴对称的点B 的坐标，并计算OAB ∆的面积．【答案】（1）22y x =；（2）()2,8B ，16OAB S ∆=．【解析】（1）设函数解析式为2y ax =，把A （-2，8）代入2y ax =得2a =，∴函数的解析式为22y x =． （2）∵点B 与点A 关于y 轴对称，∴B 与A 横坐标互为相反数，纵坐标相等，即()2,8B ∴4AB =，设AB 与y 轴交于点D ，则()0,8D ，11481622OAB S AB OD ∆=⋅⋅=⨯⨯=．【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式，二次函数的图像及性质．。
初中数学辅导讲义沪教版初三T同步(二次函数的概念+2星)
——二次函数的概念1．经历从实际问题引入二次函数的过程，理解二次函数的概念；2．能准确判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是不是二次函数；3．对简单的实际问题，能根据具体情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函数解析式，并确定函数的定义域．建议3分钟 情境导入：（1） 正方形边长为a （cm ），它的面积S （2cm ）是多少？（2） 矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． （3） 矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则新的矩形的面积为y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 答：（1）2S a =； （2）27y x x =+； （3）2712y x x =++．分析：请观察上面列出的三个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下定义． 学生通过自主探索，类比给出二次函数的概念：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.它的定义域为一切实数．采用课堂提问的方式，提问内容涵盖本节课的基本知识点。
建议5分钟1．知识回顾：（1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x 和y ，如果在x 的允许范围内，变量y 随x 的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫自变量，y 叫做因变量．（2）正比例函数：一般地，形如y kx = 0k ≠（其中）的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．（3）一次函数：形如y kx b =+，其中k 、b 为常数，且0k ≠．特殊情况：当0k =时，y b =称为常值函数； 当0b =时，y kx =称为正比例函数．2．二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x的二次函数.它的定义域为一切实数．3．二次函数应注意的问题：（1）a 、b 、c 三个系数中，必须保证0a ≠，否则就不是二次函数了；而b 、c 两数可以为0，如特殊形式：2222,,,y ax y ax c y ax bx y x ==+=+=等．（2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量x 的取值范围是任意实数．建议20分钟题型Ⅰ 二次函数的概念下列函数中，是二次函数的个数是( ) （★★） ．①23y x x =-+；②(21)(31)y x x =-+； ③2(0)x y k k =-≠； ④2(0)ky k x=≠ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【分析】解析式形如2y ax bx c =++ (a 、b 、c 为常数，且a ≠0)的函数叫二次函数，所以上述函数中的①、②、③满足二次函数的定义，为二次函数．【答案】 C ．【注意】二次函数是整式形式，根号、分母里不能含有未知数；将解析式化简之后再进行判断；对于二次项系数中含有字母的，一定要考虑到二次项系数不为0这一前提条件．在函数①212y x =-； ②2(3)(3)(2)y x x x =+--+； ③2321y x x =-+； ④2132y x=+；⑤24y x =-中，二次函数是( ) （★★） ． A. ①和② B. ①和③ C. ①和④ D. ①和⑤ 【答案】 D ．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（★★） ．（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为6cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．．【答案】（1）26S a =、二次函数；（2）24x y π=、二次函数；（3）19810000y x =+、一次函数； （4）2132y x x =-+、二次函数．扇形的面积S 的计算公式是2360nS r π=，其中r 是扇形的半径，n 是圆心角，下列语句正确的是（ ）（★★） ． A ．当r 是常量时，S 不是n 的函数； B ．当r 是常量时，S 是n 的二次函数； C ．当n 是常量时，S 是r 的一次函数； D ．当n 是常量时，S 是r 的二次函数． 【答案】 D ．如果函数32(3)325y m m x m mx =--+++是二次函数，则m 的值等于( ) （★★） ．A. 0B. 2C. 3D. 1 【答案】 C ．当m =_____时，二次函数2221()21m m y m m x x --=++-是二次函数．（★★） ． 【答案】3 ．1．m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？2．若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？ （★★） ．【分析】若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02≠-m m ．若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是一次函数，须满足的条件是：20m m -= 且0≠m ，则1m = ．【答案】若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ．解得 0≠m 且1≠m ．因此，当0≠m 且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数；若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是一次函数，则20m m -= 且0≠m ，解得1m = ．因此，当1m =时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是一次函数．已知函数22(2)y k k x kx k =+++，当k 满足 时，函数是二次函数；当k 满足 时，函数是一次函数；当k 满足_________时，函数的图像是x 轴．（★★） ．【答案】02k k ≠≠-且；2k =-；0k = ．下列函数中，与()2f x x =表示同一函数的是（ ）（★★） ．A ．y x =B ．3x y x= C ．()2y x =D ．y x =【答案】D ．已知二次函数243y x x =--+． （1） 当12x =时，求函数y 的值； （2） 当x 取何值时，函数值为0．（★★） ． 【答案】 （1）34；（2）27-± ．题型Ⅱ 二次函数的应用—代数部分如图，某小区用14米长的铁栅栏围成一个长方形花坛，其中一边靠墙，墙长10米，设AB 长为x 米，长方形花坛的面积为y 平方米．（★★） ．（1） 求y 关于x 的函数解析式；（2） 求x 的取值范围；（3） 当AB 为多少米时，花坛面积为12平方米？ 【答案】（1）2214y x x =-+；（2）27x ≤<；（3）6米（1x =，不合意义，舍去）．用长为24米的篱笆，围城一个长方形花圃，设一边长为x 米，花圃的面积为y 平方米，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域．（★★） ． 【答案】2(12)12.y x x x x =-=-+ 由0x >，120x ->解得012x << ．如图，用18米长的竹篱笆围成如图所示的一边靠墙的矩形养鸡场，为了便于管理，矩形内增设两座夹墙，分割成面积不等的三块. 如果垂直于墙面的边长AB 为x 米，养鸡场的总面积为y 平方米．求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．（★★） ．【答案】 ∵ 垂直于墙面边长AB ＝x ，竹篱笆总长18米．∴ 平行于墙面边长AC ＝(18－4x )米． y ＝(18－4x )x ＝－4x 2＋18x ． ∴ 所求函数解析式为y ＝－4x 2＋18x ∵ y >0, －4x 2＋18x >0 ， 则 x <92．又x >0 ∴ 定义域为 0<x <92．某市体育馆原有长100米，宽60米的矩形游泳池，现准备把它扩建成周长为600米的较大矩形游泳池，假设长增加x 米，宽增加y 米，扩建后面积为S 平方米．（★★） ．(1) 将y 表示成x 的函数；(2) 将S 表示成x 的函数．【答案】(1) ∵ 扩建后矩形周长为600米∴ (100＋x )＋(60＋y )＝300x ＋y ＝140∴ y ＝140－x (0≤x ≤140) (2) S ＝(100＋x )(60＋y )＝(100＋x )(60＋140－x ) ＝(100＋x )(200－x ) ＝－x 2＋100x ＋20000 即S ＝－x 2＋100x ＋20000．某商场将进货单价为8元的商品按每件10元出售时，每天可售出100件，现在商场采用提高零售价的方法来增加利润，已知这种商品的单价每提高1元，销售量就减少10件，若商场把零售价定为x 元时，每天获利为y 元．求y 关于x 的函数解析式，并求函数的定义域． （★★） ．【答案】2(8)(20010)102801600y x x x x =--=-+- (1018)x << ．某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格，经实验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件．按每件25元销售时，每月能卖210件．假定每月销售的件数y （件）是价格x （元/件）的一次函数． （1）试写出y 与x 的函数关系式；（2）如果以每件x 元销售时，每月可获利润为ω元，试写出ω与x 的函数关系式；它是二次函数吗？（★★） ． 【答案】 （1）30960y x =-+；（2）2(16)(16)(30960)30144015360x y x x x x ω=-⋅=-⋅-+=-+-它是二次函数 ．题型Ⅲ 二次函数的应用—几何部分如图所示，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，(不与B 、C 重合)F 是CD 边上的点，且AE ＝AF ．若AB ＝4，设CE 为x ，△AEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．（★★） ．【答案】 ∵ 四边形ABCD 为正方形且AE ＝AF∴ Rt △ABE ≌Rt △ADF 则BE ＝DF S △ABE ＝S △ADF ∴ CE ＝CF ∵ AB ＝4 CE ＝x ∴ y ＝4×4－12·4·(4－x )×2－12x 2＝16－16＋4x －12x 2＝－12x 2＋4x即 y ＝－12x 2＋4x (0<x <4) ．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 上的一动点，若QP ⊥AP ，交DC 于Q ，设PB ＝x ， △ADQ 的面积为y ， y 与x 的函数关系式为 .（★★） ．【答案】24162x x y -+= ．如图，△ABC 是等腰三角形铁板余料，其中AB ＝AC ＝20㎝，BC ＝24㎝，若△ABC 上截出一矩形零件DEFG ，使EF 在边BC 上，点D 、G 分别在AB 、AC 上． （1）设EF ＝x ㎝，DEFG S 矩形＝y ㎝2，试写出y 与x 的函数关系式；（2） 问截得的矩形DEFG 的长、宽为何值时，该矩形的面积等于三角形铁板余料面积的一半？（★★） ．【答案】（1）22163y x x =-+； （2） 长为12cm 、宽为8cm ．如图，△ABC ，∠B ＝900，AB ＝6㎝，AC ＝10㎝，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1㎝/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2㎝/s 的速度移动．（1）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，试求经过t 秒后，△PBQ 的面积1y 与时间t 的函数关系式；（2）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，并且P 到B 后又继续在BC 边上前进，Q 到C 后又继续在CA 边上前进，假设P 点运动时间为t 秒，试求△PCQ 的面积2y 与时间t 的函数关系式．（★★） ．【答案】（1）21604)y t t t =-+<≤（； （2）当04t <<时，221024y t t =--+；当46t <<时，224165t y -=；当69t <≤时，223(1856)5y t t =-+-．建议2分钟（先让学生自我总结，老师帮忙补充）1．判断某个函数是否为二次函数时，需要从以下几个方面考虑： （1）二次函数是整式形式，根号、分母里不能含有未知数； （2）将解析式化简之后再进行判断；（3）对于二次项系数中含有字母的，一定要考虑到二次项系数不为0这一前提条件． 2．认真审题，看清题目需要求解的是什么，细心计算．3．对于实际应用问题，注意结合实际情况考虑自变量的取值范围．建议10分钟1．下列函数中是二次函数的有_____________ ．21(1)31;2y x x x =+-+;55)2(2-=x y 2(3)(1)(1)(2)y x x x =+--+;6)3()4(2++-=x y 2(5)(1)(41)3y m x m x m =-+-+-．【答案】(2)、（4） ．2．下列问题中的两个变量之间的函数关系属于二次函数的是（ ）A ． 长方形的面积是常数S ，它的长与宽之间的关系；B ． 圆的面积S 与它的半径之间的关系；C ． 路程是常数s ，行走的速度v 和时间t 之间的关系；D ． 三角形的底边是常数a ,它的面积S 和这条边上的高h 之间的关系． 【答案】 B ．3．若函数54)82(22++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 ．【答案】24m m ≠≠-且 ．4．要使函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数）成为一个正比例函数，应满足的条件是（ ）（A ）a=0,c=0 （B ）a=0,b ≠0 （C ）b ≠0,c=0 （D ）a=c=0, b ≠0【答案】D ．5．某工厂一月份生产水泵50台，第一季度生产的月平均增长率为x ，写出三月份生产的水泵台数y 关于x 的函数解析式__________．【答案】250(1)y x =+．6．用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径r 之间的函数关系式．并写出半径r 的取值范围． 【答案】21(402)202y r r r =-⋅=-+（0<r<20）．7．正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．【答案】（1）22(152)4(152)4225S x x x x =-+-=-+；（2）2189cm ．8．如图，正方形ABCD 的边长为16㎝，P 是AB 上任意一点（不与A 、B 重合），QP ⊥DP ，设AP ＝x ㎝，BQ ＝y ㎝，y 与x 的函数关系式为 ．【答案】21616x x y -=．9．某化工材料经销公司购进了一批化工原材料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定销售单价不得高于70元/千克，也不得低于30元/千克，市场调查发现，单价定为70元/千克时，日均销售60千克；单价每降低1元，每天多销售2千克，在销售过程中，每天还需支出各种费用500元（天数不足1天按1天计算）．设销售单价为x 元/千克，日均获利为y 元，求y 与x 之间的函数关系式．【答案】2(30)[2(70)60]50021406500y x x x x =--+-=-+-（3070x ≤≤）．。
沪科版九年级上册二次函数知识归纳教学课件
顶点式： y
y
ห้องสมุดไป่ตู้
ax2
ax
k
h2
y
ax
h2
k
交点式（与x轴交点x1, x2）：y ax x1x x2 .
三、图象与性质
y ax2 图象略 a决定开口方向； 对称轴：y轴或直线x 0； 顶点坐标（0，0）； 最值为0； 增减性（常用来比较y1, y2 , y3,的大小）
y ax2 k 图象略 a决定开口方向； 对称轴：y轴或直线x 0； 顶点坐标（0，k）； 最值为k； 增减性（常用来比较y1, y2 , y3,的大小）
一般式：y ax2 bx c 图象略
a决定开口方向；
对称轴：直线x
b 2a
； 注意对应方程韦达定理x1
x2
b a
顶点坐标（ b ，4ac b2 ）； 2a 4a
最值为 4ac b2 ； 4a
增减性（常用来比较y1, y2 , y3,的大小）
交点式（与x轴交点x1, x2）：y ax x1 x x2
y ax h2
图象略 a决定开口方向； 对称轴：直线x h； 顶点坐标（ h，0）； 最值为0； 增减性（常用来比较y1, y2 , y3,的大小）
y ax h2 k
图象略 a决定开口方向； 对称轴：直线x h； 顶点坐标（ h，k）； 最值为k； 增减性（常用来比较y1, y2 , y3,的大小）
图象略
a决定开口方向；
对称轴：直线x x1 x2 ； 2
顶点坐标（x1 x2 ，）； 2
最值为； 增减性（常用来比较y1, y2 , y3,的大小）
四、图象共存
原则：不同函数的中的相同参数一定不能出现矛盾.
例：y ax2 b与y ax ba 0的图象可能是：
沪教版九年级上册-二次函数与一元二次方程 讲义
教学内容—一元二次方程与二次函数知识精要1、二次函数的概念：形如的函数。
定义域是一切实数。
特殊二次函数的图像函数 对称轴顶点 开口方向最值 ()20y ax a =≠ y 轴 原点a>0,图像开口向上,顶点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点.()20y ax c a =+≠ y 轴),0(cc()()20y a x m a =+≠m x -= ()0,m -)0()(2≠++=a k m x a y m x -=),(k m -k()02≠++=a c bx ax yabx 2-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 ab ac 442-)0)()((1≠--=a x x x x a y x221x x x +=值函数的图象及性质＞0⑴开口向上，并且向上无限伸展；⑵当x ＝时，函数有最小值；当x ＜时，y 随x 的增大而减小；当x ＞时，y 随x 的增大而增大．＜0⑴开口向下，并且向下无限伸展；⑵当x ＝时，函数有最大值；当x ＜时，y 随x 的增大而增大；当x ＞时，y 随x 的增大而减小．图像平移规律: 左加右减，上加下减。
()20y ax bx c a =++≠2、一元二次方程的根与系数关系：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根分别是1x 、2x ，那么1212,.b cx x x x a a+=-⋅=两点之间距离公式：22()()A B A B AB x x y y =-+- 3、一元二次方程的根的情况与二次函数图像关系 一元二次方程有两个不同的实数根 ∆>0 抛物线与x 轴有两个不同的交点 一元二次方程有两个相同的实数根∆＝0抛物线与x 轴只有一个交点，且这个交点为抛物线顶点一元二次方程无实数根∆<0抛物线与x 轴无交点热身练习1、 下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ） A 、21y x x=+ B 、2y ax bx c =++ C 、22(7)y x x =-+ D 、(1)(21)y x x =+- 2、 已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么a 、b 、c 的符号为（ ） A 、a>0, b>0, c>0 B 、a<0, b<0, c<0 C 、a<0, b>0, c>0 D 、a<0, b<0,c>03、 抛物线21213y x x =-+的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ） A 、向上，直线x ＝3，（3，－8） B 、向下，直线x ＝－3，（－3，－8） C 、向上，直线x ＝3，（3，－2） D 、向下，直线x ＝－3，（－3，－2）4、 在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且m ≠0）的图像可能是（ ）A B C D 5、 已知抛物线的表达式是22(1)y x =--，那么它的顶点坐标是 6、 如果二次函数223y x ax =++的对称轴是直线x ＝1，那么a 的值是7、 在平面直角坐标系中，如果把抛物线235y x =+向右平移4个单位，那么所得抛物线的表达式为8、 在直角坐标系中，一条抛物线的开口向下，且对称轴在y 轴左侧，如果点A （1，y 1）和B （2，y 2）在该抛物线上，则y 1 y 2。
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14.如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．
（1）在第n 个图中，第一横行共 _________ 块瓷砖，第一竖列共有 _________ 块瓷砖；（均用含n 的代数式表示） （2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与（1）中的n 的函数； （3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值；
15.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y=kx+b ，且x =65时，y =55；x =75时，y =45． （1）求一次函数b kx y +=的表达式；
（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
16.如图，在ABC ∆，︒=∠90B ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以s cm /1的速度移动，点Q 以B
点开始沿BC 边向点C 以s cm /2的速度移动．（1）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过几秒钟，使PBQ ∆的面积等于82
cm （2）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，并且P 到B 后又继续在BC 边上前进，Q 到C 后又继续在CA 边上前进，经过几秒钟，使PCQ ∆的面积等于12.62
cm。