高考数学专题24等比数列及其前n项和热点题型和提分秘籍理

专题24 等比数列及其前n 项和

1．理解等比数列的概念

2．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式

3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 4．了解等比数列与指数函数的关系

热点题型一 等比数列的基本运算

例1、已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18。 (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由。

(2)由(1)有S n ＝

3·[1－－2n

]1－－2＝1－(－2)n

。

若存在n ，使得S n ≥2 013，

则1－(－2)n

≥2 013，即(－2)n ≤－2 012。 当n 为偶数时，(－2)n

＞0.上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n

＝－2n

≤－2 012，

即2n

≥2 012，则n ≥11。

综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}。

【提分秘籍】

1．对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用。

2．在涉及等比数列前n 项和公式时要注意对公比q 是否等于1进行判断和讨论。 【举一反三】

设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和。已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝__________。

解析：显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪

⎧

a 1q ·a 1q 3

＝1a 11－q 3

1－q ＝7，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a 1＝4q ＝1

2

或⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＝9q ＝－1

3(舍去)，∴S 5＝

a 11－q 5

1－q

＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12

＝314。

答案：314

热点题型二 等比数列的判定与证明

例2、已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23

a n ＋n －4，

b n ＝(－1)n

(a n －3n ＋21)，其中λ为实数，

n 为正整数。

(1)对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论。

【提分秘籍】

证明数列{a n}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明

a n

a n－1

＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，

证明a2n＝a n－1·a n＋1。若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法。

【举一反三】

设数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有S n＝2a n－3n，设b n＝a n＋3，求证：数列{b n}是等比数列，并求a n。

热点题型三等比数列的性质及其应用

例3．(1)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3＝2－1，a5＝2＋1，则a23＋2a2a6＋a3a7＝( ) A．4 B．6

C．8 D．8－4 2

(2)各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2，S3n＝14，则S4n等于( )

A．80 B．30

C．26 D．16

解析：(1)在等比数列中，a3a7＝a25，a2a6＝a3a5，所以a23＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8。

(2)由等比数列性质得，

S n，S2n－S n，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，

则(S2n－S n)2＝S n·(S3n－S2n)，

所以(S2n－2)2＝2×(14－S2n)。又S2n>0，得S2n＝6，

又(S3n－S2n)2＝(S2n－S n)(S4n－S3n)，

所以(14－6)2＝(6－2)(S4n－14)。解得S4n＝30。

【提分秘籍】

等比数列的性质可以分为三类：

①通项公式的变形，

②等比中项的变形，

③前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口。

【举一反三】

在等比数列中，已知a1a38a15＝243，则a39

a11

的值为( ) A．3 B．9 C．27 D．81

解析：设数列{a n}的公比为q，

∵a1a38a15＝243，a1a15＝a28，∴a8＝3，

∴a39

a11

＝

a38q3

a8·q3

＝a28＝9。

答案：B

1.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

【答案】B

2．【2017课标3，理14】设等比数列{}n a满足a1 + a2 = –1, a1–a3 = –3，则a4 = ___________.

【答案】8-

【解析】设等比数列的公比为q，很明显1

q≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：()

()

121

2

131

11

13

a a a q

a a a q

⎧+=+=-

⎪

⎨

-=-=-

⎪⎩

，①

，②

，由

②

①

可得：2

q=-，代入①可得

1

1

a=，

由等比数列的通项公式可得：3

41

8

a a q

==- .

1.【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为．

【答案】64

2.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）

记{}

1,2,100

U=…，.对数列{}()*

n

a n N

∈和U的子集T，若T=∅,定义0

T

S=;若

{}

12

,,

k

T t t t

=…，，定义

12

+

k

T t t t

S a a a

=++….例如：{}

=1,3,66

T时，

1366

+

T

S a a a

=+.现设

{}()*

n

a n N

∈是公比为3的等比数列，且当{}

=2,4

T时，=30

T

S.

（1）求数列{}n a的通项公式；

（2）对任意正整数()

1100

k k

≤≤，若{}

1,2,k

T⊆…，，求证：

1

T k

S a

+

<；

（3）设,,C D

C U

D U S S

⊆⊆≥,求证：2

C C

D D

S S S

+≥.

【答案】（1）1

3n

n

a-

=（2）详见解析（3）详见解析

【解析】