等差数列前n项和公式导学案

§2.3 等差数列的前n 项和(1)
日期： 主备老师： 俞维娜 备课组长审核：
【学习目标】
1. 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；
2. 会用等差数列的前n 项和公式解决一些与前n 项和有关的问题. 【重点难点】
学习重点:等差数列n 项和公式的理解、推导及应用.
学习难点:灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题 【学习过程】
一、 复习回顾
1．等差数列的定义：
2．等差数列的通项公式： (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数))
3．几种计算公差d 的方法：① ② ③
4．等差中项：,,2
b a b
a A ⇔+=
成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒ (m, n, p, q ∈N + ) 二、课前预习（自学教材4342-P ）探究：等差数列的前n 项和公式
一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S = 由高斯算法，对于公差为d 的等差数列，我们用两种方式表示n S ①
②
由 ①+②
).
(
)
()()()(211n a a a a S n n n n =++++++=
个
由此得到等差数列{}
a 的前n 项的和的公式
如果带人公式表示，即与公差也可以用首项d a S d n a a n n 11,)
1(-+=
自测
（1）计算1+2+ (100)
（2）计算1+2+…+ n = （用n 表示）.
)(
)()()(21+++++=-a a a S n n n )()()(
)(121+++++=-n n a a a S
四、典型例题
例1. 在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，求5S .
练习1:在等差数列{}n a 中，3
1,41-=-=d a ，求10S .
44P 例2:在等差数列{}n a 中，的公式项和求前n S n S S ,1220,3102010==.
练习2:等差数列{}n a 中，已知1030a =，2050a =，242n S =，求n .
练习3:数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝10，前n 项和n S ＝22，求n 和3a .
五、总结提升
1. 用1()
2
n n n a a S +=
，必须具备三个条件： . 2. 用1(1)2n n n d
S na -=+，必须已知三个条件： .
3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.
六、当堂检测
1.在等差数列{}n a 中，10120S =，求110a a += A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2根据等差数列的下列条件，求相应的未知量： (1),5,6
1
,651-=-==
n S d a 求n 及n a (2).10,15,2-===n a n d ,求1a 及n S (3)已知168,48128==S S ，求1a 和d . （4）若22=a ，36=a ，求n S 。

日期： 主备老师： 俞维娜 备课组长审核： 【学习目标】会求解 已知n S ，求n a ； 【重点难点】灵活求解已知n S ，求n a
【学习过程】 一、复习回顾
复习1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .
复习2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .
二、课前预习（自学教材4544-P ）：思考问题 题型一：已知n S ，求n a （仿照例3完成）
例1、已知数列{}n a 的前n 项和为232n S n n =+，，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
练习1：已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n 322
-=，，求这个数列的通项公式.
例2、已知数列{}n a 的前n 项为212
343
n S n n =++，求这个数列的通项公式.
练习2：已知数列{}n a 的前n 项和为23-=n
n S ，，求这个数列的通项公式.
小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为
n a =11(1)(2)n
n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n a = .求出n a ，并验证1a 。

日期： 主备老师： 俞维娜 备课组长审核： 【学习目标】
1.会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值;
2.掌握等差数列前 n 项和的性质及其应用. 【重点难点】
重点：等差数列前 n 项和的公式，性质的理解及应用。

难点：灵活应用等差数列前 n 项和的公式，性质解决一些相关问题。

【学习过程】
复习：等差数列的前n 项和的公式1(1)2n n n d
S na -=+
可以写为n d a n d S n )2
(212-+=. 若令
n 是关于项数即,则上式可以写成,2
,2
n 21S Bn An S B d
a A d
n +==-
=的函
数.特别地，当公差0d ≠时，前n 和2111(1)()2
2
2
n d d s na n n d n a n =+-=+-是关于n 的二次函数
且常数项为0.
题型2：差数列前n 项和的最值问题
例1.已知数列{}n a 等差数列，6.0,501-==d a .
（1）该数列的前多少项都是非负数？ （2）求此数列的前n 项和n S 的最大值.
练习1：已知等差数列｛a n ｝满足：a 4=-12,a 20=20。

（1）求通项公式n a 与前项n 和n s ； （2）求前项n 和n s 的最小值。

练习2：等差数列{n a }中， 4a ＝-15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.
小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.
（1）利用n a ： 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值
（2）利用n S ：由21()22
n d d
S n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.
知识延展：等差数列的前n 项和的性质
1、等差数列{}n a 前项n 和n s ，则232,,k k k k k S S S S S -- ，…也成等差数列。

2、若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，则2121
(21)(21)n n n n
n
n a n a A b n b B ---==-.
例2、设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3
413-+=n n T S n
n ，
那么66a b = ；=n
n b a
练习3、设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若313
n n
S n T n -=+，
那么77a b = ；=n
n b a 。

例3、等差数列{a n }的前5项和为30，前10项和为100，则它的前15项和为（ ） A.130 B.170 C.210 D.260
练习4、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知100s =，1525s =，则5s 的值为 .
当堂检测
1. 下列数列是等差数列的是（ ）.
A. 2n a n =
B. 21n S n =+
C. 221n S n =+
D. 22n S n n =-
2. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）.
A. 70
B. 130
C. 140
D. 170 3.在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=（ ） A ．58 B.88 C ．143 D ．17
4.设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若44
a b =6，
77
S T = . 5.在等差数列}a {n 中，0a 1<，n S 为前n 项和，且163S S =，则n S 取得最小值时n 的值为（ ）。

A ．9
B ．10
C ．9或10
D ．10或11 6.已知等差数列｛a n ｝满足：412a =2020a =-,
（1）求通项公式n a 与前项n 和n s ； （2）求前项n 和n s 的最大值。