2009年上海市春季高考数学试卷及答案

2009年上海市普通高等学校春季招生考试
数学试卷
考生注意：
1. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上 条形码•
2. 本试卷共有20道试题，满分150分.考试时间120分钟.
一.
填空题（本大题满分 60分）本大题共有11题，只要求在答题纸相应题
序的空格内直接 填写结果，每个空格填对得 5分，否则一律得零分. 1函数y=log 2（x-1）的定义域是 ____________________ . 2•计算：（1 -i ）2二
（i 为虚数单位）
x
3. 函数y =cos —的最小正周期T= ____________ .
2
4. 若集合 A=& |x>1 ｝，集合 B =｛x 0cx<2 ｝，贝U A “ B= _______________
5.抛物线 y 2二x 的准线方程是 ____________________________ b =2.若a b =-3，则a 与b 夹角的大小为 _____ 2
x
7.过点A( 4, —1)和双曲线—
9
&在△ ABC 中，若 AB =3, . ABC =75 , . ACB =60，则 BC 等于 _______________.
9. 已知对于任意实数 x ，函数f （x ）满足f （-x ）=f （x ）.若方程f （x ）=0有2009个实数解, 则
这2009个实数解之和为 ___________________ .
10. 一只猴子随机敲击只有 26个小写英文字母的练习键盘.若每敲1次在屏幕上出现一个 字母，它
连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词" mon key ”
的概率为
（结果用数值表示）.
11.
以
下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数 .
轴上截取与闭区间［0,1］对应的线段，对折后（坐标 1 0
扌
；
所对应的点与原点重合）再均匀地拉成
1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作
13 1 1 （例如在第一次操作完成后， 原来的坐标 1、3变成-,原来的坐标-变成1,等等）. 4 4
2
2
那么原闭区间［0, 1］上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与
1重合的点所对应的坐标是
；原闭区间［0, 1］上（除两个端点外）的点，
在第n 次操作完成后（n 狂1）,恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为 _________________ 二.
选择题（本大题
满分 16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一 个结论是正确的，必须把答题
6.已知 | a =3,
2
y 16
=1右焦点的直线方程为
纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得4分，否则一律得零分.
12•在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的
(A )充分不必要条件. (B )必要不充分条件. (C )充要条件.
(D )既不充分也不必要条件.
13•过点P(0, 1)与圆x 2 - y 2 —2x —3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线
方程是 ［答］( )
(A ) x=0.
(B ) y=1.
(C ) x y-1=0.
(D ) x-y1=0.
<3x+
x <0
14•已知函数f(x)=」
'-'若f(x 。

)沁，则x o 的取值范围是
［答］()
log 2 x, x>0.
(A )X 0
8.
( B ) x 0 ：：：0 或
x 0 8.
(C )0：：：
x°：：： 8. ( D ) x ° ：：： 0 或 0 ：：： x ° ：：： 8.
15.函数y =1 -0 -x 2 (—1乞x 乞0)的反函数图像是
三. 解答题(本大题满分 (对应的题号)内写出必要的步骤 16.(本题满分12分)
(1)求数列「a n 1的通项公式; (2)记S 中1 • a ?
a n •….若对任意正整数 n , kS 乞S n 恒成立，求实数k 的最大
［答］()
［答］()
y
jr
1
1
1
J
*
1
y
厂…、
- 1 \
-4
O x P
丿
"x O 07^
yt
74分)本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域 如图，在斜三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，A 1 AC —
ACB =— , AA 1C
2 6,侧棱BB 1与底面所成的
角为二 3
的体积V .
,AA1 =4 .一3 , BC -4.求斜三棱柱 ABC - A^G
17.(本题满分 已知数列 14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第A 小题满分8分.
B
•n ｛的前n 项和为S n , a 1 =1,且3a n 1 ' 2S n 二3 ( n 为正整数). (A)
( B )
(C )
-1
(D)
Bi
（3）对于任意给定的正整数 n ，求函数f n （v ）的最大值和最小值
18.（本题满分14分）
我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径 中心
F 为一个焦点的椭圆.如图，已知 探测器的近火星点（轨道上离火星表面 最近的点） A 到火星表面的距离为 8百 公里，远火星点（轨道上离火星表面最 远的点）B
到火星表面的距离为 800百 公里.假定探测器由近火星点 逆时针运行到与轨道中心 O 别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此
时探测器与火星表面的距离（精确到
1百公里）•
19.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小 题满分7分.
如图，在直角坐标系xOy 中，有一组对角线 长为a n 的正方形A n B n C n D n （n =1,2,…）,
其对角线B n D n 依次放置在x 轴上（相邻顶点重合）.设「a n ［是首项为a ，公差为d （d ■ 0） 20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小 题满分
10分.
设函数 f n （71）二sin n v （ T ）n cos n 二，0
”，其中 n 为正整数.
4
（1 ）判断函数f 1（V ）、 f 3（=）的单调性，并就 BL ）的情形证明你的结论； （2）证明：2f 6（二）「f 4 （旳=cos 4 J -sin 4 v cos 2 v - sin 2r ；
R =34百公里）的
A 第一次
的距离为
■ ab 百公里时进行变轨，其中
B O
A X
的等差数列，点B i 的坐标为（d, 0）.
所应满足的关系式.
2009年上海市普通高等学校春季招生考试
数学试卷
参考答案及评分标准
说明
1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同 评分标准的精神进行评分.
2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅.当考生的解答在某一步出现错误， 影响了后继部分， 但该步以后的解答未改变这一题
的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给 分数之半，
如果有较严重的概念性错误，就不给分
3. 第16题至第20题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分 数.
4. 给分或扣分均以1分为单位.
答案及评分标准
一.（第1至11题）每一个空格正确的给 5分，
（第12至15题）每一题正确的给 4分，否则一律得零分
题号
12 13 14 15 代号
B
C
A
C
三.（第16至20题）
16.［解］在 Rt △ AA 1C 中，AC =AA , tan ZAA 1C
=4 3
3
=4.
..... 3 分
3
2. - 2i .
3. 4二.
4.
x 1 e x c2 }.
2 6. .
3
1 11.-
4
7. y =x -5.
8. ,6 .
9. 0.
1 5. x =— 4
10.二
266
右，j 为k, 2n 中的所有奇数.
,可参照解答中
否则一律得零分.
作B1H —平面ABC，垂足为H，则.B1BH =在Rt △ B1BH 中，B1H =BB1 sin. B1BH
^AA1 sin 43 —^6
1 3 2
V =S ABC B1H W 4 4 6=48.
_2 时，3a n - 2S nJ =3.
②，得3a n 1 ~^3a n 2a n =°
2 2
.必有k乞兰，即实数k的最大值为2
3
2
占=1 (a b 0)
b2
，c 二a2「b2.
a-c=8 3 4，a= 438, c= 396 .
是b2二a2 -c2 =35028 .
x2 2 y
•所求轨道方程为希T歳T112分
17.［解］(1)3a n .1 2S n =3,
a n 1
a n
一一2).
又a1 =1，3a 2 2a1=3，解得a2
.数列［是首项为1 ,
1
公比为q^的等比数列. n -1
a n =a1q
n -1(n为正整数)
(2)由( 1) 知，S-
1 -q
S n a1 1 -q
- ・n
1」i
1—1
3
卜幼10分
由题意可知，对于任意的正整数33
-k <-1-—22|l3
丿
单调递增, .当n =1时,
14分
18.［解］设所求轨道方程为
2 x
2 a
a c =8 0 0 34
，解得k兰1——
数列中的最小项为
恒有
设变轨时，探测器位于P(X。

，y。

)，则
2 2
x
2玄丑二819715急,
解得x0 =239.7 , y0 =156.7 (由题意)
.探测器在变轨时与火星表面的距离为
：］(X。

- c) ' yo -R.、187.3.
答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为
19.［证明］(1)由题意可知，A i 8, 4 , A2 18, 6 , A3 32, 8，
.顶点A1,A2,A3不在同一条直线上. .. 4分
一1 2
(2)由题意可知，顶点A n的横坐标X n =d a1 a2 ——a n」a n =2(n 1)2,
2
1
顶点A n的纵坐标y n a n =2(n 1). ……7分
2
对任意正整数n，点A n X n, y n的坐标满足方程寸=2x ,
■所有顶点A n均落在抛物线y2 =2x上.
(3)［解法一］由题意可知，顶点A n的横、纵坐标分别是
1 丄丄1
2 X n =d a (n —1)a (n T) d,
2 2
2 2
消去n -1，可得X n = y2 d
d
为使得所有顶点A n均落在抛物线
；=2P，
幕3=0解之，得d
L 2d
.a、d所应满足的关系式是：
y n =1〔a (n - 1)d 1
2
a(d -a)
2d .
y2=2px ( p 0)上，则有= 4p, a =8p.
［解法二］点A X1, y1的坐标为a =2d .
X r =d +4, * 2
1 %
L. 2
:点A X1, y在抛物线
2
y1 ，■” p =—
2X1 4(2d +a) y2 =2px 上,
a2
12分
14分
16分
11分
10分
13分
14分
3分187百公里.
6—418—61 kA,"—55kg= 18-832-187
k A1A2 ~ k A2A3，
f i (刁)-f i (》)=s i 卩-s i n 2
c o s 2 - co s 1 ，
si 卩：：si n 2, cos 2 ：：cos i ，
K ：：：
. 函数f !（力在0,-上单调递增.
（2） v
原式左边
=2 s i 6 co - s i 4 c o s =2 s i n c o s sin -si r cos^ cos^ - s i n c o s
又； 原式右边 = cos 2 - sin 2 v - cos 2 2^ .
2f 6 (旳〜f 4(旳=cos 4 v-sin 4 二
（3）当2时，函数匸⑶在_0,-上单调递增,
f 1（r ）的最大值为 匚…=0，最小值为 入0；=-1.
14丿
当n =2时，f 2 v -1， 函数f 2（v ）的最大、最小值均为 1. 当n =3时，函数f 3L ）在 0,— 上为单调递增.
-4
f 3（r ）的最大值为f 3
，最小值为f 3 0二T .
14
丿
又点A2（X 2, y ）的坐标为《
3
3 .
x 2 j a 2
d, 2
2
且点A2(X 2, y 2 ]也在抛物线上,
y 2 二評 d).
a 0, d 0，把点A 2 X 2, y 2代入抛物线方程，解得
13分
因此，p =d ，.抛物线方程为y 2=d x .
4
2
r
1 1
2 x n =d +^a +(n -1)^ +—(n
—1) d
1
n +1 y n =2【a (n -1)d]
— d.
.所有顶点A n X n , y n 落在抛物线屮
.a 、d 所应满足的关系式是：a =2d
(n 1)2
15分 16分
20.
［解］（1）仃（旳、f 3（r ）在0,二 上均为单调递增的函数 对于函数 f") =sinv-cosv ，设 —, y 、v 2 -
0, - 则
4，则
cos 2 日-sin 2 日 1
当5时，函数f4(小1*4在_0,-上单调递减,
.f 4(讨的最大值为f 4 0[=1，最小值为f 4
I
4
丿
F 面讨论正整数n _ 5的情形:
f n (才)-f n (丁2) = sin n r -sin * 丁2 ]亠 j CoS * J2
以及 0 二sin
::: sin I ：：1, 0 ：：cosv 2 :: COSR 二 1，
n n 11
n ] i
n .■；■■■.
sin 弓：:：sin 2, cos 2 :::cos - 1，
当n 为偶数时，一方面有
f n (R =sin n 二 cos' :::sin 2 v cos 2 v -1 = f n (0) •
另一方面，由于对任意正整数 I -2，有
2f 2| (B ) —f 2i_2(日)=(co s ° 日—si n i_2 日』co s 日—s i n 日脸0 , f 2(F=』=f n 二
f n (R —*f n/(F
亠
函数 f n (力的最大值为0 ,最小值为- 1 •
■ fn(d)在 上为单调递增，则
f n (R 的最大值为f n
0，最小值为
l 4
丿 f 4 0 = -1 •
14分
■函数f n ( R 的最大值为
f n (0) =1，最小值为f n
2
当n 为偶数时, 函数fn ( ^ )的最大值为1，最小值为 2
2
•
18分
11分
当n 为奇数时，对任意"二2
0,
4
n .
-COS - 1
从而 f n (R )：：： fnG).
n
1
22
综上所述，当n 为奇数时,。