电动力学习题解答
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第二章 静电场
1. 一个半径为 R 的电介质球，极化强度为 P Kr /r 2
，电容率为
1）计算束缚电荷的体密度和面密度： 2）计算自由电荷体密度； 3）计算球外和球内的电势；
4）求该带电介质球产生的静电场总能量
解：（1）
p
P
K (r /r 2 )
p
n (P 2
P 1
)
e r P rR
（2） D
内
E P
P /( 0 )
f
D
内
P/(
)
（3） E
内
D 内 / P /(
)
2 在均匀外电场中置入半径为 R 0 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的
电势：
1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差 2）导体球上带总电荷 Q
解：（1）该问题具有轴对称性， 对称轴为通过球心沿外电场 E 0 方向的轴线， 取该轴线为 极轴，球心为原点建立球坐标系。 当 R R 0 时，电势 满足拉普拉斯方程，通解为
E
外 D 外
f
dV
4 0r
2r
0(
外
r
E 外
d
r KR
0(
0)r
内
R
r
E 内
d r R E 外 dr
1 1 K
2
4) W D EdV 2 2 2 ( 0)2
K2 2 R(1 )( K)2
00
2 2 2 K[(1/r2) r r (1/r2)] K /r2 K/R
2
K /( 0)r 2
KR
2e r
0)r
KR
(ln ) 0r0
R4 r2dr 1 2K2R2 4 r 2dr r2 2 0( 0)2R r 4
(R R 0)
2) 设球体待定电势为 0 ，同理可得
0 (R R 0)
当 R R 0 时，由题意，金属球带电量 Q
Q
dS
(E 0 cos 0 0
2E 0
cos 2
)R 2 sin d
n
R R 0
0 0 R 0 0
4 0R 0( 0
0)
3 均匀介质球的中心置一点电荷 Q f ，球的电容率为 ，球外为真空， 试用分离变量法求
空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。
提示：空间各点的电势是点电荷 Q f 的电势 Q f /4 R 与球面上的极化电荷所产生的电
势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。 解：(一)分离变量法
空间各点的电势是点电荷 Q f 的电势 Q f /4 R 与球面上的极化电荷所产生的电势
n
(a n R n
b
n
R
n 1
)P n (cos
因为无穷远处 E E
0，
0 E 0Rcos 0 E 0
RP 1(cos )
所以 a 0 0 ，
a 1 E 0 ， a n 0, (n 2)
所以
0 E 0R 0P 1
(cos )
b
n
n
n
1 P n (cos ) 0
n R 0
即： 0 b 0
/ R 0
,
b
1 /R 0 E 0R 0
所以
b
R
0 (
0 0 ),
b 1 E 0 R 03
, b n 0,(n
2)
E 0Rcos R 0( 0
32
)/R E 0R 03 cos /R 2
(R R 0 )
当 R R 0 时， 0
E 0Rcos
R 0( 0
)/R E 0R 03
cos /R 2
(R R 0 )
所以( 0 0 ) Q/4 0R0
0 E0Rcos Q/4 0R (E0R03/ R2)cos (R R0)
0 Q/4 0R (R R0)
内
n
(a n R n
b
n n 1
)P(n cos )
n
R
n
外
(c n R n
d
n
1
)P(n cos )
n
R
n
1 当R
时，
外
， c
n
0。
当R
时， 内 为有限， b n
0。
所以
内
n a n R n
P (n cos )
外 n 1
P
(n cos
)
n
外
n R
n 1 n
由于球对称性， 电势只与 R 有
关，
所以
a n 0 , (n 1) d n 0, (n 1)
内 a 0 ，
外 d 0 / R
式为：
所以空间各点电势可写成
R
内
a 0 Q f 4
的迭加。设极化电荷产生的电势为 ，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形 当R
R 0 时，由
d 0 R
得：
a
d
0 / R 0
a
Q f
4 R 0 所以
Q f 4R 得： n Q f
4 R 02
0Q
f
R 02
R 0d
020
， d
0 Q
4
f (1
Q f
( 1
4 R
0 0
Q f 4R
应用高斯定理
Q
f
1 4R
Q f 4 0R
在球外， R>R 0 ，由高斯定理得： E
外
ds Q 总 Q f Q p Q f ，（整个导体球 的束缚电荷 Q p 0 ），所以 E
Q f
2 e r
，积分后得：