线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)

1

A 1

B 1

C 1

D A

B

C

D E F

G

线线角、线面角、二面角的求法

1.空间向量的直角坐标运算律：

⑴两个非零向量与垂直的充要条件是

1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=

⑵两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a ·b =±|a ||b |

2.向量的数量积公式

若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则 （1）点乘公式： ·=|||| cos θ

（2）模长公式：则2

12||a a a a a =⋅=++2

||b b b b =⋅=+

（3）夹角公式：2

cos ||||a b

a b a b a ⋅⋅==⋅+ （4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则

2

||(AB AB ==,A B

d =

①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>=

例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、

AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）

A ．5

15arccos

B ．

4

π C ．510

arccos

D ．2

π （向量法，传统法）

P

B

C

A

例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且

PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．

解：（1）向量法

（2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中

，即

tan PD

DBA DB

∠=

=． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P -

②直线a 与平面α所成的角0,2πθ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦

(重点讲述平行与垂直的证明)

可转化成用向量→

a 与平面α的法向量→

n 的夹角ω表示，由向量平移得：若

ππ（图）；若ππ

平面α的法向量→

n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤：

(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c == (2)设出平面的一个法向量为(,,)n x y z =

(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组(0a <

(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。

图1－

图1－

图1－

1

D 1

B 1

C P

D

B

C

A

1. (线线角,线面角).在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是''

,BC A D 的中点.

（1）求直线'

AC DE 与所成角；

（2）求直线AD 与平面'

B EDF 所成的角.

2.如图，底面ABCD 为直角梯形， 90=∠ABC ，⊥PB 面ABCD ，

22====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点，求

1） 异面直线BD 与PA 所成角的余弦值； 2） 直线CP 与面ADP 所成角的正弦值；

③求二面角βα-- 的大小θ

1.范围：[0,]π

2.二面角的向量求法：

方法一：如图，若AB 、CD 分别是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角.

方法二:设,u v 是二面角α-l-β的两个面α,β的法向量,则向量u 与v 的夹角(或其补角就是二面角的平面角的大小.如图,设二面角的平面角的大小为θ,法向量的夹角为ϕ.

cos cos ||||u v u v θϕ==

cos cos()cos ||||

u v

u v θπϕϕ=-=-=-

注意:在用向量求二面角的大小时，我们是先求出两半平面的法向量所在直线的夹角

ϕ，但二面角可能是钝角或锐角，因此在求出

ϕ角后，应判断二面角的大小，再确定二面

角就是两半平面的法向量所在直线的夹角ϕ或是其补角。 例：如图，PA ABC ⊥平面，,1,AC BC PA AC BC ⊥===求二面角A PB C -

-的

大小。

u

v

l

z

1.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． (1)证明：PB ∥平面AEC ；

(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P - ABD 的体积V ＝

3

4

，求A 到平面PBC 的距离．

2、(2011年高考陕西卷理科16)（本小题满分12分）

如图：在,ABC ∠0

中,ABC=60,∠0

BAC=90AD BC 是上的高，沿AD 把ABD 折起，使

∠0BDC=90.证明：

（Ⅰ）平面⊥ADB BDC 平面；

（Ⅱ）设E BC DB 为的中点,求AE 与夹角的余弦值。