工程电磁场与电磁波答案(丁君)

工程电磁场与电磁波
习
题
解
答
（试用本）
主编：丁君
第一章
1-1 解： （1）z y x a a a B A v
v v v v )125()93()32(3-++++-=+
=z y x a a a v v v 712-+
\B A v
v 3+=194491441=++
（2）
26
6cos 26
216cos cos cos -=Þ´-=
××=×=×q q q q
C B
C B
C B C B C v v
v v v v
v v v
B r 方向的单位矢量为：26
B
B B b v
v v v ==
C r 在B s 方向的分矢量为：33cos (34)1313
x y z C b B a a a q ·=-=-+-v v v v v v
（3）
19
1321cos cos cos -=×==×q q q
B
A B
A B A B A v v v v v
v v v
πq Þ=- （4） z y x a a a C B v
v v v v 553-+-=-
C B v
v -的单位矢量为：
z y x z y x a a a C B a a a v
v v v
v v v v 59
5595593553-+-=--+-
1-2证明：欲证明三矢量A 、B 、C 能构成一个三角形，则须证出三个线性无关的非零矢量位于同一平面上。

则有：0)(=´·C B A
即 0=z y x
z y x
z
y x
C C C B B B A A A 代入得 00004311
1
6244312
13
=-=---=z
y
x
z y x
z
y x
C C C B B B A A A
即得证
1-3 解：（1）4321F F F F F +++=合
代入数据得x y F 2a a =-v v
合
（2）514=+=合F （3）合力方向与单位矢量
y x a a v v 5
152-方向相同，与x 轴成-
1-4 证明：设矢量r r
的终点在A.B.C 构成的平面上，则：
(),(),()r a r b r c ---v v v v v v
在此平面上 ，则必有不为0的实数,,m n p 满足：
()()()0m r a n r b p r c -+-+-=v v v v v v
所以得：
p n m c
p b n a m r ++++=v
v v v ， p n m ,,为实数
1-5 解：设A 点的坐标为),(11y x ，B 点坐标为),(22y x
则a v
＝),(11y x ，b v ＝),(22y x 有题意得
1
21
211x x y y x x y y --=--Þ
则过A ),(11y x ，B ),(22y x 点的方程为 ()111
21
2y x x x x y y y +---=
Þ
1-6 解：欲使,A B v v 互相垂直，则有0A B ·=v v
则有8220A B a ·=--=v v
得 3=a
1-7 解：矢量A v
与坐标轴的夹角分别为：
7
2cos 7
6cos 7343693
cos ==
-==
=
++=
=A A A A A
A
z y x g b a 其中g b a ,,分别为矢量A v
与三个坐标轴方向夹角。

1-8
(1)证明：1111()()2222
A B B C C A C A B A ´+´+´+-´-v v v v v v
v v v v
1111110222222A B B C C A B C C A A B =´+´+´-´-´-´=r r v v v v v v v v v v 所以：四个面的面积之和为0
（2）可以推广到任何闭曲面
1-9 解： （1）2739x y z A B a a a ´=---v v v v v
（2）()(2739)(42)111x y z x y z A B C a a a a a a ´·=---·-+=-v v v v v v v v v
（3）()()111A B C A B C ·´=´·=-v v v v
v v
（4）A B ´v v 是垂直于A v 、B v
所在平面的矢量，有：
2739x y z A B a a a ´=---v v v v v
于是垂直于A v 和B v
所在平面的单位矢量为：
)
n x y z A B a A B ´=±=+´v v v v m
1-10 证明：2
'')()(c b a b a a c c b a b a c b a a c c b ´·´´´=´·´´´·´=
´
利用公式)()()(B A C C A B C B A ·-·=´´可得：
c b a a c b a c b a a c b a a a c b b a c a c b a b a a c c b ´·=´·´·=´··´-·´=´·´´´=
´2
22'')()()()(])[()()(
则 a c
b a a
c b a c b c b a a
c b a c b =´··
´·´´·=´·´'''''
同理可证'''''c b a a c b ´·´=，''''
'c
b a b a
c ´·´=
1-11 解：（1）(2)(2)(5)x y z S y a x a a =++-v v v v
（2） 11)
3,2,1(-=T
，
425x y z S a a a =+-v v v v
，S ==v
Þ)3S x y z S a a a S =±=±+-v v
v v v v
1-12 解：电场线的切线方向为电场强度方向，
则22d (21)dx (42)dy 4E l x y x x y y c f =·=-+-=--++òòv
v
即电场线方程为c y y x x ++--422
1-13 解:
（1）3'3'3'1111()()2()()2()()2()222
x y z R x x a R y y a R z z a R ---Ñ=-·--·--·-v v v
3'3'3'()()()()()()x y z R x x a R y y a R z z a ---=-·--·--·-v v v
'3'3'3'1111()[()2()()2()()2()]
222
x y z R x x a R y y a R z z a R ----Ñ=--·---·---·--v v =3'3'3'()()()()()()x y z R x x a R y y a R z z a ----·--·--·-v v v
则有： )1
()1('R R -Ñ=Ñ
（2） )()(R R f R f Ѷ¶=Ñ ，)()('
'R R
f R f Ѷ¶-=Ñ-
又)()('R R -Ñ=Ñ 所以有)()('R f R f -Ñ=Ñ`
1-14 解：设xz y x 22+=f
则 2(22)()(2)x y z xy z a x a x a f Ñ=+++v v v
(2,1,2)
ˆˆ44y z a
a f
-Ñ=+
1-15 解：两个曲面的夹角实为它们的梯度的夹角的较小的一个
1222x y z xa ya za f Ñ=++v v v
424x y z a a a =-+v v v 222x y z xa ya a f Ñ=+-v v v
42x y z a a a =--v v v
1212cos f f f f q \Ñ×Ñ=ÑÑ
cos
q Þ=
=
0090
q q Þ=<<
1-16 解：(1) 2222248A x x y x y z Ñ×=++v
(2)
11122222111222
(2x 2x y 48x yz)dxdydz 0---++=òòò
(3)
Z 1z Z 1z S
Z Z 2
2
S S A ds (A )
a dxdy (A )
(a )dxdy =
=
×=×+×-ò
òòòòr v
v v Ñ上
下
y 1y y 1
y y y 2
2
S S (A )(a )dxdz+(A )
a dxdz ==+×-×òòòòv
v
左
右
x 1x x 1x x x 2
2
S S (A )
a dydz (A )
(a )dydz =
=+×+×-òòòòv v
前
后
又 z 1
z 1z z 2
2
(A )
(A )
=
=-
=Q
y 1y 1y y 2
2
(A )(A )
=
=-
=
x 1
x 1x x 2
2
(A )
(A )
=
=-
=
s
A ds 0\×=òv v
Ñ
所以可以得到：v
s
A dv A ds Ñ××=×òòv v
Ñ 即为高斯定理。

1-17 解：
（1） 设此单位立方体上端开放
55x y z
x y z a a a F z a xy a xza x y z Fx Fy Fz
¶¶¶Ñ´==×+×-¶¶¶v v v v v v v
1s
S S S z 2
1
1S S y y 2
2
F ds 5xz dxdy+z dxdy z dxdz -(5xy dxdz 5xy dxdz 0
Ñ´×=×+×+
+×=òòòòò
òr v
下
前
后
=-
左
右
=-
=()
)
()
（2） 2
l
l
F dl=(5xyz dx y dy yz dz)××++×òò
v v ÑÑ dz=0 =22l1
l2
l3
l4
y dy 5xyz dx y dy 5xyz dx +×++×òòòò
111
12
22
22
21
1112
22255y dy (xdx y dy xdx 044-
---=+-++=òòòò
其中：
1l ：y 从12到-12
，12x z ==； 2l ：x 从12到-1
2，11,22y z =-= 3l ：y 从-12到12，11,22x z =-=； 4l ：x 从-12到1
2
，12
y z == 所以：
s
l
F ds F dl Ñ´×=×òòv
v v r Ñ
即：斯托克斯定理成立
1-18 解 ：(1) 48E a R sin j q Ñ´=v v
96cos E R
q Ñ·=v
(2)
2
0π
2π
2
ˆsin d d 24sin cos d d 0
R
s
s
E s E R a
R q q j q q q j ·=×==òòò
ò
v v v ÑÑd
(3)
2ππk 2v 0002
2π
096cos EdV R sin dRd d R
sin 48R 2π0
2
q q q j q Ñ·==·=òòòòv
1-19 解：
(1) 4x A B a +=v v v
(2) 3412A B ×=--=-v v
(3) (22)(13)(62)48x y z y z A B a a a a a ´=-+--+--=--v v v v v v v
(4)
842n a a a a A B
a A B --+´=±==´r r r r r r
r m r r (5) cos A B A B q ×=××v v v v
cos ||||A B A B q ×==×v v v v
所以：π
π-)2q q =<<
(6)
标投影：cos A q =v 矢投影：1cos (2)3x y z B A a a a B
q ×=--+v
v v v v
v
1-20 解：(1)从P 到Q 的矢量距离(25)(312)(0)315x y z x y PQ a a a a a =-+--+=--uuu r v v v v v
(2) 2341592=+=
(3) PQ 与xy 平面平行
(4) P 点坐标（5，12，1），Q 点坐标（2，-3，1）
1-21 解：由,,A B C v v v 三矢量可知：B A C =+v v
v 所以：,,A B C v v v 构成三角形。

且0A C ·=v v 则有：A C ^v v
所以该三角形为直角三角形。

所以直角三角形的面积为：
11552022x y z S A B a a a =´=--=u r u r v v v
1-22 解：（1）59r z A B a a a j +=+-v v v v v
（2）6201214A B ·=+-=v v
（3）31172r z A B a a a j ´=-+v v v v v
（4）A B ´v v 是垂直于A v ，B v
所在平面的矢量，即为AB 平面的法向量则
平面的单位法向量为31172r z a a a )j -+v v v
（5）A ，B
之间夹角为cos A B A B q ·==·v v
v v 297
51arccos =q
（6
）A =v
,B =v
则A r 在B r 的标投影为
:A cos q =v
A r 在
B r 的矢投影为
:24329r z A co s B (a a a )B
j q =++v
v v v v v
1-23 解：（1）23171010R A B a a a q j -=-+-v v v v v
（2）7A B ·=-v v
（3）102912R A B a a a q j ´=++v v v v v
（4）A B ´v v
是垂直于AB 所在平面的矢量，即为AB 平面的法向量
则平面的单位法向量为102912R a a a )q j ++v v v
（5）A ，B
之间夹角为cos A B A B q ·==·v v
v v 27
91arccos =q
第二章
2-1 解：（1）3
6102ππ
2
12110
00
10sin d d d 6.2810V
Q dv R R C R
r q q j ---=×=×=´òò
òò
（2）00
620
310.96π
2
72210
280.9π
10d sin d d d 7.2910V
Q v R R C R
r q q j --=×=×=´òò
òò
2-2
222200112)4π54π5R x z Q Q E a a a e e =×==-v v
r v v v
1101)4π2x z Q E a a e =
=-v v v v v
（1）0z E =时，
2
1Q Q =
（2）0x E =时，21Q
Q =
2-3 解：由题意可知 E v
只有Z 方向，区域内任一点到（0,0,1）处的Z 向场强为：
2200d d 1d d sin 4π14π1S S r r r r dE r r r q r q a e e ××=
·×=·++v
2π
1
2000
-9
2π120002
1
d 4π1510d 4π12S z S r E r
r r r r r r
r q e q e r
e =·+´=·+=ò
ò
òòò
=
01(ln(1π/49.27/222S z z z a =90a V m a V m r e é--=êë
ûv v v
2-4 解：（1）0.7
200d 20.574π4πA R
A
q q
a l V R R
f e e ¥
¥¥
===òv
（2）0.5
0.5
0.7
20.7
00d 8.234π4πR
q q a R V R R
f e e ==-=-ò
v
（3）设零电位在0R 则有0
021
00
15d 14.44πR R
R q a l r R e -=·=´ò
v 得0 1.53R m = 则 1.53
20.7
1
d 11.164πq
r V r
f e ==ò
2-5 解：（1）22(1,2,3)5020|50123204380p x yz y f =+=´´´+´= （2）(1.2.3)(
)|p p x y z p E a a a x y z
f f f f ¶¶¶=-Ñ=-++¶¶¶v v v
22(1.2.3)[100(5040)50]|x y z p xyza x z y a x ya =-+++v v v
600230100x y z a a a =---v v v
（3）00()y x z
E E E E x y z
r e e ¶¶¶=×Ñ·=++¶¶¶r
07
10
(10040)8.8510 3.5410
yz yz e --=-+=-´-´
2-6 解： （1）'
'9
2
2
22220
00
d d 11
1010d 4π4π(4)4π(4)
l l z
z z
l l z z z E a a a R z z r r e e e --×××=
×==--ò
òò
r
v v v
9890
220
01010102151032(ln 21ln (ln )4π(4)4π332π43
z z z zdz a a a z e e e -----´+
=-+--×=+×-òv v v
3290(ln 43
z a =+v
（2）
'
'2
322
2
2
d d 11
)4π4π(16)
l l R
y z l l z
E a a z a R z r r e e -××=
×=-×+ò
ò
v v v v
2
3320
22
22
110110d (4)(4)4π4π(16)(16)
y
z y z z dz
z z a z a a z a z z e e --××=
-×+-×++òò
v v
v v
9020101(π4y a e -´=-v
=1720[4y a -v
2-7 解：2
04πR q E a R e =
v
v
（1）无限长线电荷在点（2，3，-4）处产生的场只有z 和y 方向，与z 轴距离为
5=d
则 0363436()(34)/2π55525
l l r y z y z E a a a a a V m d r e =
=-=-v v v v v v
1(0,0,1)2
0135)/4πr x y z q E a a a a V m r e =
=+-v
v v v v
2(0,0,1)20233)/4πr x y z q E a a a a V m r e -=
=+-v
v v v v
则(0,0,1)(0,0,1)l E E E E -=++v v v v
（2）欲使点（0，0，3）处电场强度为0，则有：
9900081081002π34π44π16l z z z a a a r e e e --´´++= (v)
v v
得： 3.75/l nc m r =-
2-8 解（1）此单位体周围面电流密度之通量即为对此处求散度
222d d (64)10I J S J V J x y x y x y
==Ñ·Ñ·=+=òòv v v v ÑÑ 4.5
7.5 5.5
25.5
6.5
4.5
10d d d 1755.83I x y x y z A --=»ò
òò
（2） 210V J x y t r ¶Ñ·=-=¶v 得：210V x y t
r
¶=-¶
2-9 解：选球坐标，
（1） 02πsin s I J a R q q =
v
v
π(0)2
q ££
（2） 2πs R I J a R
=v v
)(0¥££R R
2-10 解：(1)
129(sin sin )2)
2)2)1.3410(52)y x y x y x y x B a a a a a a a a T
a a -=
-´-=-=-=´-v v v
v v v
(2)
92)
2.7510(52)y x y x B a a a a T -=
-=´-v v v
v
(3)
92)
1.3810(52)y x y x B a a a a T
-=-=´-v v v
v
2–11 解：∵ '012
d d 4πR
I l a B r m ´=v v
v ∴ '1'012d 4πR l I l a
B r
m ´=×òv v v
抛物线方程为: 24y ax =
令： sin y r j =
cos x r a j =+
()
2
21cos sin a r j j
+=
所以新的柱坐标的原点取在焦点处。

'1d d l r a j j =v v
R r a a =-v v
()2π000sin 2d 4π21cos 4z
z I B a a I a a
m j j j m =××+=
òv v v
2-12 解：
选用柱坐标，如图所示：
222R a h =+
设圆环上的电流为I : d d l a a j j =v v
sin cos R r z a a a q q =-+v v v
sin q =
由图可知合成磁感应强度只有z a v
方向，
()()
2
2π0220203
2
2
2
d 4πsin d 4π2R z z
I l a B R I a a a h Ia a a h
m m q j m ´==+=
+òòv v
v v
v 2–13 解：
Id l
0.5
0.51122
00.50.50
d d (12.50.35)d (8.00.35)d 3.5875bc ba dc V B l V B l x x T
e e e =+=´·+´·=-´+´=ò
òòòv v v v v
v ∴ bc 间的电动势为3.5875 T
2-14 解：（作柱面投影）选柱坐标，作俯视图（b）
(a) (b)
(1) 求y （选线圈回路方向为顺时针方向）
02πI B a r
j m =v v
212121()
00()()0
()()0()d d d 2πd 2πln 2πs
b
r t r t r t r t r t r t B s
I
r z
r
I b r
r b I r y m m m =·=××=××=òò
òòv v
由余弦定理：
1r (t )=
2r (t )=∴ 201()ln 2π()
r t b I r t y m =
I
(2) 求in e
()021212
201
2
2212
d ()d ()11(2πd d sin 4πin b I r t r t t r t r t
abd I r r
t r r m y
e wm w ¶=-=--¶+=
×
其中：
1r (t )=
2r (t )=
2-15 解：0,0y y <>部分共同作用，使点（0，0，1）处B v 方向为y
a v
55
0255
705
1d 2π15.49102π
S
y y
S
y y J B ya ya y J arctg y a a T
m m ----==+=
=´òòv v
v
v v
2–16 解：
如图（b）所示，在闭合回路abcd 上应用安培环路定律：
d x x l
H l H l H l J l ·=Ñ+Ñ=Ñòv v Ñ
∴ 2
s
x J H =
磁场强度在导体板的上面是x 的负方向()x a -v
，在导体板下面是x
的
(a)
x
(b)
正方向()x a v ，n a v
如图（b）所示，
故： 12
n H J a =´v v v
2–17 解: 设中间的无穷大平面在xoy 面上，最上面的导体面在空间所产生的
电场强度为：
6110
6120
110,
1110,
1z z E a z mm
E a z mm
e e --=´>=-´<v v v v
同理，中间和下面的导体面在空间所产生的电场强度为：
6210
6220
663100
6320
310,02310,0
20.511010,124110,14z z z z z E a Z E a Z E a a Z mm
E a Z mm e e e e e -----=-´>=´<=´=´>-=-´<-v v v v v v v v v
∴ ① 1Z mm >时
6610000
131********z
z E a a e e e e --æö=-+´=-´ç÷èøv v v ② 01Z mm <<时
662000013191010244z
z E a a e e e e --æö=--+´=-´ç÷èø
v v v ③ 10mm Z -<<时
6630000
131********z
z E a a e e e e --æö=-++´=´ç÷èøv v v ④ 1Z mm <-时
664000013111010244z
z E a a e e e e --æö=-+-´=´ç÷èø
v v v
2-18 解：（利用高斯定理）
① 在m 1.0处： 01=E v
② 在m 3.0处： ()262d 10104π0.2s
D s Q -·==´´´ò
v v
Ñ
()()2
2
624π0.310100.24πD -××=´´´ 52109
4
-´=
D ∴ 552200410 5.0210(/)9r r
D E a a V m e e -==´×=´v v v v
③ 在m 5.0处：
()()()
222
6634π0.510104π0.22104π0.4D --××=´´´-´´´ 631025
8
-´=
D ∴
64339
0836π10 3.6210(/)2510r r D E a a V m e --´==´×=´´v v v v
④ 在m 7.0处：
()()()()2
2
2
2
666
44π0.710100.22104π0.40.54π0.610D ---××=´´-´´´-´´´541049
1
-´-
=D ∴ 54449
036π10 2.3110/4910r
r D E a a V m e --´==-×=-´´v v v v ⑤ m 1处：
()()()()()
222
6652
2
6
6
4π110104π0.22104π0.40.5104π0.60.5104π0.8D ----××=´´´-´´´-´´´+´´´
651050
11
-´=
D ∴ 64559
0111036π50 2.4910/10r
r D E a a V m e --´´==×=´v v v v
2-19 解: ① b r < 利用高斯定理d d V V
D S V r ·=òòv
v Ñ，取r b <的球面为高斯面
2ππ22120004πsin d d d r r k D r a r r r
q q j ×=×××òòòv v
4πkr =
∴ 1r k D a r
=v v
② b r >同理有
2ππ22220004πsin d d d b r k D r a r r r
q q j ××=×××òòòv v
∴ 22r k D ba r
=v v
2–20 解：利用电场高斯定律：
0d d s s
s
E s s e r ·=òòv v
Ñ
其中1
2
3
0000d d d d s
s s s E s E s E s E s e e e e ·=·+·+·òòòò
v v v v v v v v Ñ其中1s v 为高斯圆柱面的侧面，2s v 和3s v
分别为高斯圆柱面的上底面和下底面。

根据题意，长直圆筒的轴向电场0z E =及周向电场0E j =，只存在径向电场r E ，且径向电场和上下底面平行，于是：
1
00d d s
s E s E s e e ·=·ò
òv v v v Ñ
式中：
d d d r
r r
s r za E E a j ==v v v v
所以：
()1
2π0000
d d d 2πL r r r r s E s E r z a a rL E
e e j e ·=·=ò
òòv v v v
而：
2π
d d d 2πL s
s s s
s a z aL r r j r ==òòò
所以：
093
22
11101001051036π1.77/s r
r E a c m r e m --==´´´´´=
2–21 解：① 圆筒内：()0r a <£
01d d v E s V e r ·=ò
òv v Ñ
20110
2ππ2v v r
r E L r L r E a e r r e ==v v ② 圆筒外： ()r a >
()()
022022201122220
00022
20
00
d d 2ππ2d d ln 0442d ln 22v v v r
a r
a
v v v v v r
E s V r E L a L
a E a r E r E r
r a a a C r a a a r r C r a r e r e r r e f r r r e e e r r f e e ¥¥·====·+·=-+-+££==-+>ò
òòòò
v v v v v v v v Ñ
2-22 解:
① 圆弧上电流产生的场为1B v
:
1000122d π4π4π4R
z z l I I I l a R B a a R R R
m m m ´==××=òv v
v v v
② AB 上电流产生的场为2B v : 12π0,2a a æ
ö=»-ç÷è
ø
100A
x
y
()02120sin sin 4π4πz
z I B a R
I a R m a a m =-=v v v
③ BC 上产生的场为3B v
: ()AB R =1
()
03341
201
201
sin sin 4π24π5104πz
z z
I B a R I a R I a R m a a m m --=×-×=×=
´´v v v
④ CD 上产生的场为4B v
:
044πz I B a R
m =v v
∴
()1234
2012022
73125104ππ125104510π510π2π101002012.740.0081.0310z
z B B B B B I a R R R I a T
m m ------=+++æö´=++ç÷èø
æö´=++ç÷´´´´èø
=´´´++=´v v v v v v v
2-23 解： ① 在不完整的圆环上：
1001211d 4π24R z l I I l a B a a a
m m ´==òv v
v v ② 在一根长引线上：
12π
sin
12
ππ5ππ,212122R a a a =×æö
=--=-»-ç÷èø
()02120sin sin 4π5π1sin π124πsin 12
z
z
I B a R I a a m a a m =-éùæö=-ç÷êúèøëûv v
v
同理另一根长引线上：
32B B =v v
所以：
123
005π1sin 1112π212πsin 124.79z z
B B B B I a a a a m m =++æ
ö-ç÷=+ç÷ç÷èø=v v v v v v 14.79z H a a
=v v
2-24 解： ① 10r cm £
2π10
d d d r V l
H l J r r j ·=·ò
òòv v v
Ñ
2π
-0.510
0.50.50.512200d d 800π(22)22400[(1r r r r r rH e r r
re e H e a r r
j j
p j ---=·=-+-=-+ò
ò
v v
② 10r cm >
0.12π20
d d d V l
H l J r r j ·=·ò
òòv v v
Ñ
0.050.0520.050.0522π800π(0.122)
800π(2.12)2 2.1400rH e e e e H a r
j j
----=-+-=---=v v
2-25 解：根据题意，取柱坐标系。

设内导体的电流为I ，由于电流分布是均
匀的且具有轴对称性，它所产生的磁场也应该是轴对称的，即B v
的大小只与半径
r 有关，与j 无关。

⑴ r a £区域
在该区域内均匀分布着电流密度为)21πJ I a =的电流，如取半径为r 的圆 环为积分回路，根据安培环路定律
2π
110
d d d r l
H l J r r j ·=òòòv v Ñ
得到：
2
12
2πI rH r a j =
因而：
12
2πIr
H a
j =
则：
12
2πIr H a a j =v v
⑵ a r b ££区域
同理取半径为r 的圆为积分回路，则有
2π
20
d H r I j j =ò
所以：
22πI H a r
j =v v
⑶ b r c ££区域
在该区域中均匀分布着电流密度为()
222
πI
J c b =-的反向电流。

同 样，取半径为r 的积分回路，于是有
2π
2π
320
d d d r
b
H r I J r r j j j =-ò
ò
ò
由此可得：
()()22322
2πI c r H a c b r
j -=-v v ⑷ r c ³区域
在半径为r 的积分回路中电流的代数和为零，则
40H =v
2-26 解： d J t
D
B v v
v 00m m =¶¶=´Ñ
∴
()()0
8
00
81
10.2sin 2.13100.42sin 6.310 2.1d y y J B
t x a t x a m m m =Ñ´-éù=
´´´-ëû=-´-v v v v
2-27 解： （1） 由E D H B E v v v v v ®®®®利用E v
相等求a 。

t
B
E ¶¶-=´Ñv v
()81100sin 1000
r
z
r
a ra a a E t az a r r z r E j j j ¶
¶¶Ñ´=
=-¶¶¶v v v v v ()()88
8
100100sin 10d cos 1010a B a t az t a t az a r r j j -=--=-òv v v 又∵ t
D
H ¶¶=´Ñv v
()286000111sin 1010
r z
r z
a ra a a H B t az a r r
r rB j j
m m j m ¶¶¶
¶Ñ´=Ñ´=
=-×-¶¶v v v v v v ∴ ()
r a az t a r t D v
v -×-=¶¶86
2010sin 101m ①
又∵ ()
r a az t r E v
v -=810cos 100
∴ ()880010010sin 10r D E t az a t t r
e e ¶¶=×=-´-¶¶v v
v
②
比较①式和②式，得： 2
68001010010a e m -´=´
∴ 1
103
a =±=±
（2）
()
j
j
a z t r a az t r
a B v m v v ÷øöçè
æ±=-=-3110cos 31010cos 1010086
88 （3） ()
r d a az t r t D J v v v -´×-=¶¶=8
6
010sin 10
911m ()21
880
01d d 1.67cos 10cos 103c d
r I J r za t t p
j éùæö=·=±-ç÷êúèøëû
òòv v m
2-28 解：（1） v D r =·Ñv
而：()
2
42
232
4505901
901r r r r r r r E =×××=¶×¶=
·Ñv
又∵ 20450v r r e = ()a r <<0 （2） r a >时：
d d v s
v
D s v r ·=×ò
òv v
Ñ
π2π222000
4π450sin d d d a r E r a r r r e e q j q ·=××òòòv v
254π360πr E r a a ·=v v
∴ 5290r E a a r
=v v
()r a >
（3） a. a r <<0
23sin 10sin 9000r a ra r a E r r r q j
q q q j
¶¶¶
Ñ´==¶¶¶v v v v
2450r E =·Ñv
b． a r >
0=´ÑE v
0=·ÑE v
第三章
3-1 解：⑴ 因为导体表面的电场处处与导体表面垂直，切向电场为0；
所以：400290310/0n
x y z t E E a a a V m E ì==-+ïí=ïîv v v v v v
⑵ 由边界条件得： s n n D D r =-21
∴ 99
201
10 5.1610/36π
s E c m r e --=×=´=´v
⑶ 0=t E v
3-2 解： ⑴ ()560cos 10/c x J E t a V m s s =×=×v v v
⑵
()()()0550556010sin 107.9610sin 10/d r
r x x D E J t t
t a t a V m
e e e e -¶¶==¶¶=-´=-´v v v v
v
⑶ 51096.760-´=×s 61.3310/S m s -=´
3-3 解：
()
5,0,5ˆ(1)s r r mm z cm J n
H a H
j ====´=´r r
v
v
(5,0,50)
z
r mm z m Ha j ====v
=2cos()2
[(·r
π85,0,50)
)cos(4π10)]
r mm z m z t j ===´z a v
=380.42cos(4p )t 810´z a v
（2）()11[]00
r
z
z r a ra a rH H H a r a r r z r r z rH j
j j j
j ¶¶¶¶
¶Ñ´=
=+׶¶¶¶¶v v v v v v v v
4πr
=
sin(2π)z cos(4·p 810)r t a ´v
t D H ¶¶=´Ñv v Q
4πd sin(2D H t r
\=Ñ´=òòv v p 4cos()z p 810)r t a ´v
d t
8
81sin(2π)sin(4π10)10r z t a r =´´v （此处不考虑静态场，故省去常数项）
80502sin(2π)sin(4π10)r r D E z t a r
e e ==´v v v
12(3)S n n D D r =-Q 因此理想导体内0D =
()()()()()8
18
8
38
781sin 2πsin 4π1010
1sin 90sin 4π10201010
510sin 4π10S n D D z t r t t r --\===
´´=
´´´=´´o
()()()
()()80.01,0.2π,0.25884π(4)sin 2πcos 4π10400πcos 4π10400πcos 4π10d r
r d r D J z t a t r
t a J t a ¶==´¶=´\=´r
r r r
r r
3-4 解：299/)109sin(106m A a t E J y C ´´==-v
v s
t
D
J D ¶¶=v v
6920025610sin 910r y D E .(t )a c /m e e e -==´´´v v v
则：
69906922.5610910cos(910)
1.1910cos(910)/D y D J t t t a A m e --¶==´´´´´¶=´´v v v
3-5 解：c J E s =×v v ， t
D
J d ¶¶=v v
(1) o c E J ´´=7107.5v
93611
1010103636d o o o o J E E E e w p p
--=××=´´´=´v
\ 13155.736π10 6.4410c
d
J J =´´=´v
v
(2) o c E J ´´=-4
100.2v 93110108036π
d o J E -=´´´´v
\ 221083.21080362´=´´=p
d c J J v v
(3) o c E J ´=-1610v 931
1010 2.5336π
d o J E -=´´´´v
\ 10936π
10 4.47102.53c d J J --=´=´v v
3-6 解：（1）已知 d D
J t
¶=¶v v 则
ˆˆd 2cos(5)d sin(5)d x x z
D J t t z a
t t z a w w w
==-=-òòv v
0091sin(5)/218π10sin(5)x r x
D E t z a V m
t z a w e e e w
w w ==-=´-v v v v
（2）B E t ¶Ñ´=-¶v
v B H r
v
v m m 01= 05cos(5)20
x y z
x y y x
a a a E E a t z a x y z z E w we ¶¶
¶¶Ñ´=
=-=-¶¶¶¶v v v v v v 所以200
55cos(5)d sin(5)22y y B t z a t t z a w w we w e =-=-ò
v v v 2000
1sin(5)2y r B H t z a w m m w e m ==-v v v
（3）200
5cos(5)2y d x x H J H a t z a z w w m e ¶=Ñ´=-=-¶v v v v
6
2
00
11
5
210
2
10/
rad s
w m e
w
-
=´
\=
3-7 解：设外导体为1，内导体为3 ，其间介质为2，有：
2
2
/
20m
nc
D
S
n
=
=r0
1
2
=
=
t
t
E
E
由
'
'
d d
S
S S
D S S
r
·=
òò
v
v
Ñ得：2280(25)
r
D a mm r mm
r
=<<
v v
则2
22
00
80
/
3r
r
D
E a nv m
r
e e e
==
v
v v
又1、2 均为理想介质，则有
n
n
D
D
21
12
=
而22
21
80
/ 5.2/
25
n r r
D a nc m a nc m
==
v v v
则2
12
5.2/
n r
D a nc m
=
v v
在1内，有
'
'
'
d d
S
S S
D S S
r
·=
òò
v
v
Ñ，有2
12
80
/(510)
r
D nc m a mm r mm
r
=<<
v v
则1
12
00
80
/
r
D
E a nv m
r
e e
==
v
v v
在1之外有
S
n
D r
=
1
则2
10
1
/
8.0m
nc
D
r
S
=
=
=
r
内外导体间电压0.0050.01
21
0.0020.005
d d d 1.81
C
U E l E r E r V
=·=·+·=
òòò
v
v
3-8 解：（1）
145
e o r o r
P E()D/D/
c e e e e e
=··=-··=
v v v v
\2
4508
P/.c/m
==
（2）m
C
V
P
P
j
j
×
=
D
·
=
å08.0
3-9解：（1）在第一种情况下：
区域1中：由两个电流平面产生的H叠加
y
so a
J
H
v
v
v
2
11
-
=，
y
so a
J
H
v
v
v
2
12
+
=
\0
1
=
H
v
1
=
B
v
1
=
M
v
区域3：同区域1一样，0333===M B H v
v r
(2) 在第二种情况下：
区域1：11402
so y y
J H a a A /m -==-v v v v
1340y
H a A /m =+v v
\ 0111===M B H v
v v
区域2：2112242228001810y o r y m y H H a A /m
B H .a A /m M H a A /m m m c -ì=-=ï==íï=×=-´îv v v v
v r v v v
区域3：0333===M B H v
v v
3-10 解：（1）170n z
E a A /m =v v
（2）13050t x y E a a V /m =-+v v v
（3）t t E E 21v
v =
\ 23050t x y E a a V /m =-+v v v
(4) m
V
831049002500900E =++=v
=91.1V /m
区域2中：21142212228021010016so y y o r y m y J H H a a A /m
B H .a A /m M H .a A /m
m m c -ìæö=-=+´=ïç÷èøïï
==´íï=×=-ïïîv
v v v v
v v r v v v
3-11 解：
3-12 解：对于此二介质界面有：n n B B 21= t t H H 21=
（1）10
1020510x y z H (.a .a .a )A /m m =++v v v v
则 101106153r x y z B H .a .a a m m ==++v v v v v
120
1(0.5 1.0)t y z t H a a H m =+=v v v v
n 2x n 1B a 6.0B ==则m A a B H x
r n n //108.0/02022m m m ==v
v
则2220
1(0.1080.5 1.0)/t n x y z H H H a a a A m m =+=++v v v v v v
20220.6 2.875 5.57r x y z B H a a a m m ==++v v v v v （2）59.52
.01
5.0tan 2111=+=
=
n t B B q 则59.5arctan 1=q 0979.» 352.10108
.01
5.0tan 2222=+=
=
n
t H H q 则352.10arctan 2=q 0584.»
3-13 解：设金属球面电荷密度为S r ，则有： （1） 01 当b r ³时
d S D ·òv Ñd V V
S V r =òv ，则222
24π(/()4πS S r b b D a c m r b r r
r r ==³v v
(1) 只有法向场：
Q n n D D 21v v = 得：62110x D a C /m -=v v
321136π10x o
D E a C /m e ==´v v v
(2) 只有切向场： Q t t E E 21v v =
得：622210o x D E a C /m e -=×=v v v
32
1218π10x o r
D E a C /m e e ==´v v v。