三角形和四边形中常见的辅助线的作法和类型(绝对经典)

D
C
B A
E
D
F
C
B
A
三角形和四边形中常见的辅助线的作法和类型（绝对
经典）
一、倍长中线（线段）造全等
例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.
例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.
例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.
E D C
B
A
二、截长补短
1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC
C
D
B
A
C
C
B
A
2、如图，AD ∥BC,EB,EA 分别平分∠CBA,∠DAB ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC
注意：三角形中位线与梯形中位线
3、如图，已知在ABC 内，0
60BAC ∠=，0
40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，
BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP
4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0
180=∠+∠C A
P
21
D
C
B
A
5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC
三、平移变换
例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .
例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE.
C
B
A
E
D C
B
A
四、借助角平分线造全等
1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD
2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.
E
D
G
F
C
B
A
A F E D C
B A 五、旋转
例1 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.
例2 D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。

（1） 当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。

（2） 若AB=2，求四边形DECF 的面积。

例3 如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0
120BDC ∠=，以D 为顶点做一个0
60角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为 ；
A
M
N
B C
D
六、利用对称性
例题：如图，点A是∠MON内的一点，试分别在边OM、ON上确定点B、点C，使△ABC 的周长最小．要求画出草图并写出作图的主要步骤．
解：
七、利用三角形三边关系
例1：已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE. 证明：（法一）将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ， 在△AMN 中，AM ＋AN ＞ MD ＋DE ＋NE;（1） 在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ； （2） 在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ； （3） 由（1）＋（2）＋（3）得：
AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC
（法二：）如图1-2， 延长BD 交 AC 于F ，延长CE 交BF 于G ，
在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有：
AB ＋AF ＞ BD ＋DG ＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1） GF ＋FC ＞GE ＋CE （同上）………………………………（2） DG ＋GE ＞DE （同上）……………………………………（3） 由（1）＋（2）＋（3）得：
AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE
∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC 。

八、利用三角形内外角关系
例题：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 。

A B C D E N
M 1
1-图A B C D E F G
21-图A B C D E F G 12-图
九、四边形转化为三角形
例题：如图8-1：AB ∥CD ，AD ∥BC 求证：AB=CD 。

十、利用面积法
例1：已知△ABC 中，AB=AC ，D 为边BC 上任一点，过点D 作DE 垂直于AB ，交AB 于点E,过点D 作DF 垂直于AC ，交AC 于点F,过点B 作G 垂直于AC ，交AC 于点G.求证：DE+DF=BG
例2、已知△ABC 为等边三角形，变成为6，D 为边BC 上任一点，过点D 作DE 垂直于AB ，交AB 于点E,过点D 作DF 垂直于AC ，交AC 于点F,求DE+DF 的值。

例3、已知四边形ABCD 为正方形， 边长为6，以点B 为圆心，以BC 长为半径画弧，交BD 于点E,连接EC,在EC 上任找点F,过点F 分别作FG 、FH 垂直于BD 、BC ，分别交BD 于G,交BC 于G 。

求FG+FH 的值
A B C
D 1
8 图123
4
十一、求最小值
例题1、（将军饮马问题）、已知点A 、B 在直线L 的同侧，在直线L 上找点C,使AC+BC 取得最小值
例题2、（三点共线）、已知△ABC 为等边三角形，边长为a,点A 、B 分别在y 轴正半轴上、x 轴正半轴上，点C 在第一象限内，在AB 上找点D,使OD+CD 取得最小值。

例题3、如图，在锐角ABC △
中，45AB BAC =∠=°，
BAC ∠的平分线交BC 于点D M N ，、分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是___________ ．
A
B
C
D
N
M
（第16题图）
例4、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB 边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值．。