上海市 徐汇区2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题

徐汇区统考高二期末数学试卷

2018.1

一、填空题（本大题共有12题，满分40分，第1-8题每题3分，第9-12题每题4分） 1

．直线310x +=的倾斜角的大小为 ． 2．若矩阵A 得1

55

132121A ⎛⎫⎛⎫

+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A = ． 3．抛物线22y x =的准线方程为 ．

4．双曲线22

1916

x y -=的左焦点到渐近线的距离为 ．

5．行列式631

25142

k --中元素3-的代数余子式的值为5，则k = ．

6．过点()0,1且以直线230x y +-=的一个法向量为一个方向向量的直线方程为 ． 7．设点(),x y 是曲线2cos sin x y θθ

=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则y

x 的最大

值为 ．

8．若点()3,a 在两条平行直线2610x y -+=和340x y --=之间（不在两条直线上），则实数

a 的取值范围是 ．

9．在ABC ∆中，已知4A B =，1A C =

，A BC S ∆=A B A C ⋅的值为 ．

10．设不等式组0

41x y x y x -<⎧⎪

+<⎨⎪>⎩

表示的平面区域为M ，若直线()2y k x =+上存在区域M 内的点，

则实数k 的取值范围是 ．

11．已知()()1,11,1A B -、，点P 在圆221x y +=上运动，若(),OP m OA nOB m R n R =+∈∈，则

mn 的最小值为 ．

12．以下是矩阵的一种运算：a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，该运算的几何意义为平面上的点(),x y 在矩阵a b c d ⎛⎫

⎪⎝⎭的作用下变成点()ax by cx dy ++．若曲线22421x xy y ++=在矩阵11a b ⎛⎫

⎪⎝⎭

的作用下变换成曲线2221x y -=，则a b +的值为 ．

二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分）每题有且只有一个正确答案． 13．设a R ∈，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与2:20l x y a +-=平行”的（ ）．

()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 既

不充分也不必要条件

14．已知a 、b 均为单位向量，且=2a b a b +-，则a 与b 的夹角的余弦值为（ ）．

()A 13- ()B 1

3

()C 2

3- ()

D 23

15．已知椭圆的焦点1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是（ ）．

()A 圆 ()B 椭圆

()C 双曲线的一支 ()D 抛物线

16．已知曲线1:2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）．

()A (]

[),10,1-∞- ()B (]1,1- ()C [)1,1- ()D []()1,01,-+∞

三、解答题

17．若关于,x y 的方程组23

21

x y ax y -=⎧⎨+=⎩有唯一解，求实数a 的取值范围并求出此方程组的解．

18．已知()()cos ,sin ,2sin ,2cos OP OQ θθθθ==+-，其中[)0,2θπ∈，求PQ 的最大值，并指出PQ 取得最大值时OP 与OQ 夹角的大小．

19．已知抛物线2:4y x τ=的焦点为F ，AB 是τ上过F 的弦，且AB 的斜率为1，若线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点()0,0Q x ，求0x 的值及ABQ ∆的面积．

20．已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b +=>>

经过点⎛ ⎝⎭

，其左焦点为()

F ，过F 点的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点M ． （1）求椭圆E 的方程；

（2）设1M A A F λ=，2M B BF λ=，求证：12λλ+

21．如图，已知双曲线22

1:142

x y C -=，双曲线2C 以1C 的左、右焦点1F 、2F 为顶点，且与1

C 有相同的渐近线． （1）求2C 的标准方程；

（2）设点P 为2C 右支上的一个动点，直线1PF 与1C 交于A 、B 两点，直线2PF 与1C 交于C 、

D 两点，请你探索A B CD -是否为定值？证明你的结论．

参考答案

一、填空题

1．

3π 2．4842⎛⎫ ⎪

-⎝⎭ 3．1

2x =- 4．4 5．1 6．210x y -+=

7

8．17

,36

⎛⎫

- ⎪

⎝

⎭

9．2± 10．1,13⎛⎫

⎪⎝

⎭

11．1

4

- 12．2 【第8题解析】由题意，直线2610x y -+=上有点73,6⎛⎫

⎪⎝

⎭

，直线340x y --=上也有点13,3

⎛⎫

- ⎪⎝

⎭

，

点()3,a 在两条平行直线之间，显然1736

a -<<

【第11题解析】利用圆的参数方程，设点P ()()cos ,sin 02θθθπ≤<，则由

(),OP m OA nOB m R n R =+∈∈可得()cos 02sin m n m n θ

θπθ-=⎧≤<⎨+=⎩

()()

22

1cos 24

4m n m n mn θ+--⇒=

=-，即mn 的最小值为14

- 【第12题解析】设曲线22421x xy y ++=上有点()00,x y ，即22

0000421x x y y ++=，

由00000011x x ay a y bx y b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪

⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭

可得，点()0000,x ay bx y ++在曲线22

21x y -=上， ()

()()()()2

2

2222

0000000021122421x ay bx y b x a b x y a y +-+=⇒-+-+-=．

令001,0x y ==，得到0b =，

()()()()2

22

2222

00

00000122421221b x a b x y a

y x ax y a y -+-+-=⇒++-=，

令000,x y ==

，得到24a =，()22222

00000000221221x ax y a y x ax y y ++-=⇒++=， 令001,2x y ==-，得到2a =，2222

00000000221421x ax y y x x y y ++=⇒++=．即2a b +=．

二、选择题

13．C 14．B 15．A 16．A 三、解答题