定义新运算(强烈推荐)
小学数学定义新运算
小学数学定义新运算一.什么是定义新运算我们已经学过了加、减、乘、除运算。
在有些情况下，常把「有多步含加、减、乘、除的运算」用某种新的符号表示，这就是定义了新的运算。
见到了这种用新的符号所定义的运算后，就按它所规定的「运算程序」进行运算，直到得出最后结果。
例如，设A、B表示自然数，如果定义符号「※」表示的运算如下：A※B＝3×A+4×B那么，根据新运算「※」的定义，就可以计算6※7如下：6※7＝3×6+4×7＝46。
如果定义符号「※」表示的运算为：A※B＝A÷B×2+3×A-2，那么，按此定义去计算4※2的话，就有：4※2＝4÷2×2+3×4-2＝2×2＋12－2＝14。
二.定义新运算需要注意的几个问题按照新定义的运算求某个算式的结果，关键是要正确理解这种新运算的意义，如上面举例中的运算符号「※」所表示的运算并不是一种固定的算法，而是因题而异，不同的题目有不同的规定，我们应当严格按不同的规定进行运算。
需要注意的是：（1）有括号时，应当先算括号里的；（2）新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用这些运算定律来解题。
（3）上面例举中所定义的运算使用了符号「※」来定义，但并不是说只有「※」才是规定运算的符号，可能用△，＃，…等符号。
符号的种类是次要的，符号所定义的运算按照怎样的程序来进行才是主要的。
三．典型例题例1设a，b表示整数(包括0)，规定「*」的运算为a*b＝a÷b×2+3×a-b，计算：169*13。
分析与解答动手算之前，先让我们弄清「*」是怎么一种运算程序，按规定，a*b的值是用a除以b，把商数乘2之后，再加上a的3倍，最后减去b，这些运算有两个特点：(1)各步运算都是大家熟悉的四则运算；(2)各步运算的先后次序要按规定的顺序办。
那么，根据「*」的规定，我们可以计算得到：169*13＝169÷13×2+3×169-13＝520。
第一讲定义新运算(精)
第一讲定义新运算(精)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（第一讲定义新运算(精)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一讲定义新运算【专题解析】定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义,从而解答某些算式的一种运算。
【教学重点】解答定义新运算，关键是要正确理解新定义的算式含义，并严格按照新定义的计算程序进行数值带入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
【知识梳理】定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号,如:□、※、△、*、⊕、⊙等，这是与四则运算中的“+、—、x、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的.但它在没有转化前，是不适合各种运算定律的。
本节课主要涉及4个方面：（1 找位置。
找准数字对应字母的位置，并注意运算顺序.(2 找规律.一些题目不是直接给出定义的运算内容，需要总结归纳出算式的规律,方可运用。
（3 解方程。
小升初常考内容，将数字带入定义的运算式子里，求x。
因此本节内容还会涉及去括号、乘法分配律和移项的知识。
（4 综合应用.课外练习（12道配套作业+3道小升初链接）1。
设a*b=（a+bx(a-b，求27*9是多少。
2。
a＊b=4xa—b，求（5＊4）*(10＊6）。
3。
设p、q是两个数,规定p△q=4xq-(p+q÷2，求5△（6△4。
4. 设x＊y= - ，求18*3—。
5. 对两个整数a和b，定义新运算“▽”：a▽b=，求6▽4+9▽8。
6. x、y是自然数，规定x＊y=4x—3y，如果5*a=8,那么a是几？7。
(完整版)定义新运算(最新整理)
例 1：已知符号“△”表示：a△b=（a+b）×6，求：10△3, 6△9 的值？
练习：（1）对定义运算※为 a※b=（a+b）×2。 求 5※7 和 17※5 的结果？
（2）对于任意的两个数 a 和 b，规定 a b= 3a-b÷3。求 6 9 和 9 6 的值。
1
例题延伸：若 A * B 表示（A+3×B）×B，求 5 * 7 的值。
小结：在没有算式的新运算符号问题中，解决问题的关键在于要将题干中的文字语言转化为 数学语言，能够根据题意列出新符号代表的数学算式。
PQ
例 4：P、Q 表示两个数，P△Q=
，求 4△（6△9）的值是多少？
3
2
练习：（1）如果 a b= a b ，那么 1998 2000 的值是多少？ 2
a 1
二、教学重难点：
1、教学重点：理解新定义，按照新定义的式子代入数值。
2、教学难点：把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
三、教学方法：引导发现法
四、教学过程：
（一）导入：
1、看图大比拼（准备几张生活中常见标志的图片）。
2、我做指挥官（用手势代替语言指挥）。
3、在下面的括号内填入适当的运算符号，使得等式成立。
5、已知符号“#”表示 a#b=a+b，求：3#5、5#9、88#13 的值？ （体现对应思想和解题的三
个步骤）
加强认识：已知符号“*”表示：a*b=b-a，求：3*9、60*72 的值？
小结：定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式；它是人们整合旧的运 算规则，利用新的符合表示出的一种运算方式；解决此类问题，关键是要正确理解新定义 的算式含义，能够将新定义的运算方法转化为旧的运算规则。 一般新运算问题的解题三个步骤：（1）弄清新符号的算式意义；（2）找准问题中数字与 定义算式中字母的对应；（3）将对应数字代入算式计算 （二）例题引导： 第一类：（直接运算型） 例题引导： ①表示求两个平均数的运算，则 a①b=(a+b)÷2，当 a=5,b=15 时，求 a①b？
完整)小学六年级数学：定义新运算
完整)小学六年级数学：定义新运算一个长为20厘米、宽为16厘米的长方形纸片，沿它的边剪去一个长为8厘米、宽为4厘米的小长方形。
求剩余部分的周长。
2.几个连续自然数相加，和能等于56吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果不能，说明理由。
导学】定义新运算新运算指的是具有新的运算符号和运算法则的运算。
要解答这类题目，需要理解“新”的含义。
解答新运算题目的方法有以下三种：1.按照新定义的运算准确计算，常见的如△、◎、※等。
（特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的。
）2.理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值计算。
3.把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算或方程。
例题精讲】例1：定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。
解：先计算3△4，3△4＝（3＋1）÷4＝1.再代入6△1，6△1＝（6＋1）÷1＝7.所以，6△（3△4）＝7.例2：定义新运算为ab＝（a＋1）÷b，已知4＝1.25，则x的值为多少？（1）求2（34）的值；（2）若xab＝75，求x 的值。
解：(1) 2(34)＝2×（3＋1）÷4＝2.(2) xab＝x×（x＋1）÷4＝75.化简得x²＋x＝300，解得x＝15或x＝-20.因为x是自然数，所以x＝15.例3：如果：1※2＝1＋11、2※3＝2＋22＋222、3※4＝3＋33＋333＋3333，计算：（3※2）×5.解：3※2＝3＋33＋333＝369，所以（3※2）×5＝1845.例4：对于任意的自然数a和b，规定新运算：a b a(a1)(a2)(a b1)。
（1）求1100的值（2）已知x1075，求x的值？解：(1) 1100＝1＋2＋3＋…＋100＝5050.(2) x10＝x ＋(x＋1)＋…＋(x＋9)＝10x＋45，化简得x＝3.能力展示】知识技巧回顾】1.研究到了新运算的定义及解题方法。
定义新运算——精选推荐
第一讲定义新运算一、课前热身我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：5+2= 5-2= 5×2= 5÷2=同样都是5和2，为什么运算结果不同呢？在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 我们还是先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”吧：1、对于任意数a、b，定义运算“★”，使a★b=2a×b 求:(1)1★2 (2)2★12、定义一种运算“□”：a□b=3×a-2×b 求（1）（17□6）□2; (2) 17□(6□2)3、规定：3☆2=3+335☆3=5+55+5552☆4=2+22+222+2222 求4☆4=？4、根据下列规律2☆3=7 3☆5=11 6☆2=14 4☆5=13求：（1）5☆10= （2）10☆5=二、归纳总结解题关键：正确理解新运算的意义，并按照新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行计算。
注意点：（1）新定义的运算不一定符合交换律、结合律和分配律；（2）新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的、通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。
三、拓展演练例1、对于任意两个整数a、b，定义两种运算“☆”、“★”：a☆b=a+b-1 a★b=a×b-1计算（6☆8）★（3☆5）的值。
分析：例2、定义一种运算◆，m◆n表示把算m和n加起来除以4.求a◆16=10中a的值。
分析：例3、规定38=3+8=11，928=9+2+8=19，6281=6+2+8+1=17，照此计算：（1）98989；（2）475+121÷11分析：四、举一反三1、定义a*b表示a的3倍减去b的2倍，即a*b=3a-2b,计算（1）5*3，（2）已知X*(4*1)=1,求X的值。
2、规定3#5=3+4+5+6+7，5#4=5+6+7+8，……按此规定计算：（1）1999#6 （2）1#100 （3）已知1#x=45,求x..3、定义一种运算“{}”为：{}a,,=a×b-c×d.求：bcd（1）{}9,8,5,21+{}8,7,9,9；（2）{}8,5,4,m=2，求m的值。
定义新运算——精选推荐
定义新运算定义新运算这⼀期，我们要学习的主题是：定义新运算。
先看⼀道习题：假设对于任意⾃然数，有：a※b＝a×b－a－b那么12※4等于多少？在初中、⾼中、⼤学⾥，同学们还会遇到很多新的运算符号，因此我们应当适当学习⼀些定义新运算的知识，理解“运算符”和“定义新运算”的含义，了解到除了四则运算，还有很多新的运算符号。
例题中出现了⼀个陌⽣的符号“※”，它代表了什么意思？什么是定义新运算？难道除了四则运算“＋、－、×、÷”，还有其他的运算符吗？答案是肯定的，请继续阅读。
所谓“定义新运算”，就是指⽤⼀个符号来表⽰⼀种新的运算定义。
例如，我们⽤符号“＋”，来表⽰它是⼀种“加法”运算，它的意义是把两个数合并成⼀个数。
那么对于四则运算符“＋、－、×、÷”，代表了“加、减、乘、除”，我们都已经很熟悉了。
那么除了四则运算，还有更多的运算符号吗？当然是有的。
⽐如在今后我们会学习到的运算符“！”，叫“阶乘”，如3！代表1×2×3；4！代表1×2×3×4，以此类推。
还有求和号“∑”（读做“西格玛”），代表所有项⽬的累加，等等。
在初中、⾼中、⼤学⾥，同学们还会遇到很多新的运算符号，因此我们适当学习⼀些定义新运算的知识，可以拓宽知识⾯，拓展思维，为以后的学习打下⼀点基础。
我们再看⼀下例题。
假设a、b为任意⾃然数，有：a※b＝a×b－a－b，那么12※4等于多少？这道题⽬实际上就是定义了⼀个新的运算符“※”，它代表的意义就是a※b等于a乘b的积减去a再减去b。
那么我们将a和b分别⽤12和4代⼊，可得：12※4＝12×4－12－4得12※4＝32答：12※4＝32。
本期的内容中，我们将接触到的新运算符都是建⽴在四则运算的基础上的，⼀般只需转化成四则运算再进⾏计算即可。
对于这个主题来说，⽽更重要的是理解“运算符”和“定义新运算”的含义，了解到除了四则运算，还有很多新的运算符号。
定义新运算讲义(精)
定义新运算定义1、定义新运算是指：用一个符号把字母连接在一起，表示一种新的运算。
注意：（1）做题的关键是要正确理解式子含义，按照式子的计算顺序，将数值代入式子中，转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）它通常使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
例1、对于任意数a，b有a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
分析与解：根据题目的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32练习一1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。
试计算3○4。
例2、假设a ★ b = ( a + b ÷ b 。
求8 ★ 5 。
分析与解：该题的运算顺序为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。
这里要先算括号里面的和，再算后面的商。
这里a代表数字8，b代表数字5。
8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6练习二对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。
计算3⊕5。
例3、如果a▲b=a×b-(a+b。
求6▲（9▲2）。
分析与解：根据定义，要先算括号里面的。
括号里的部分已经构成了新运算，其运算结果又与括号外的部分构成新运算。
本题要运用新运算的关系，计算两次。
6▲（9▲2）=6▲[9×2-（9+2）]=6▲7=6×7-（6+7）=42-13=29练习三1、规定a△b=a×b-（a＋b）。
求（10△5）＋（28△5）的值例4、已知1◎4=1+2+3+4，4◎5=4+5+6+7+8，按此规定，2001◎5=？分析与解：通过观察可以发现，“◎”这个特殊的符号在这道题中所规定的定义是求几个连续的自然数的和。
1◎4表示从1开始连续4个自然数的和，4◎5表示从4开始5个连续自然数的和，2001◎5是表示从2001开始连续5个自然数的和。
定义新运算PPT讲义
下次课再见！
4⊙b＝32 5 ×4＋3×b＋3＝32
20＋3×b＋3＝32 23＋3×b＝32 3×b＝32－23 3×b＝9 b＝3
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定义新运算※为：a※b＝4×a＋b，已知a※6＝30，求a的值。
a※6＝30 4×a＋6＝30
4×a＝24 a＝6
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假设一种运算符号“※”，X※Y＝（X＋Y）÷4，求a※16＝10中a的值。
=4a+2b
=4×1+2×4 =12
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规定a※b=5a-Байду номын сангаасb a@b=4ab+2b ,求（2※3）@ 4
（2※3）@ 4 =（5×2-3×3）@4 =1@4 =4×1×4+2×4 =24
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两个整数a和b，规定 a☆b＝a×2＋b＋3。根据这样定义的运算，求（6☆9）☆4的值。 （6☆9）☆4 =（6×2+9+3）☆4 =24☆4 =24×2＋4＋3 ＝48＋7 ＝55
先化简：a△b＝a＋（a＋1）＋（a＋2）＋（a＋3）＋…＋（a＋b）
＝（a+a＋b）×n÷2
1△100＝1＋（1＋1）＋（1＋2）…＋(1＋100) ＝1＋2＋3＋4 …＋100 ＝（1＋101）×100÷2 ＝5100
等差数列
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如果2△3＝2＋3＋4，5△4＝5＋6＋7＋8，按此规律计算：3△5是多少？
我爱展示 观察5※2＝5＋55＝60，6※3＝6＋66＋666＝738， 7※4＝7＋77＋777＋7777＝8638，求9※5的值。
9※5
凑整法
＝9＋99＋999＋9999＋99999 =（10-1）+（100-1）+（1000-1）+（10000-1）+（100000-1）
小学奥数定义新运算
小学奥数——定义新运算1、设a,b都表示数，规定a△b=3×a-2×b。
①求4△3，3△4。
②求（17△6）△2， 17△（6△2）。
③如果已知5△b=5，求b。
2、定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③如果3※（5※x）＝3，求x.3、4、如果4※2=14，5※3=22，3※5=4，7※18=31，求6※9的值。
5、设a▽b=a×b+a-b,求5▽8。
6、规定：a△b=a+(a+1)+(a+2)+……(a+b-1),其中a,b表示自然数。
（1）求1△100的值；（2）已知x△10=75,求x。
7. 设ba,表示两个不同的数,规定baba43+=∆.求6)78(∆∆.8. 定义运算⊖为a⊖b=5×)(baba+-⨯. 求11⊖12.9. ba,表示两个数,记为:a※b=2×bba41-⨯.求8※(4※16).10. 设yx,为两个不同的数,规定x□y4)(÷+=yx.求a□16=10中a的值.11. 规定a ba ba b +⨯=.求2 10 10的值.12. Q P ,表示两个数,P ※Q =2QP +,如3※4=243+=3.5.求4※(6※8);如果x ※(6※8)=6,那么=x ?13. 定义新运算x ⊕yx y 1+=.求3⊕(2⊕4)的值.14. 有一个数学运算符号“⊗”,使下列算式成立:4⊗8=16，10⊗6=26，6⊗10=22，18⊗14=50.求7⊗3=?15. 对于数b a ,规定运算“▽”为)5()3(-⨯+=∇b a b a .求)76(5∇∇的值.16. y x ,表示两个数,规定新运算“ ”及“△”如下:x y x y 56+=,x △xy y 3=.求(2 3)△4的值..【读一读】 狼&羊羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼。
奥数专题-定义新运算(带答案完美排版)
定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，①求3△2，2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 ×39－2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5.例2、定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※ 5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝8x－13那么8x－13＝3 解出x＝2.例3、定义新的运算a ?b＝a×b＋a＋b.①求6 ?2，2 ?6；②求（1 ?2）?3，1 ?（2 ?3）；③这个运算有交换律和结合律吗？解：① 6 ?2＝6×2＋6＋2＝20，2 ?6＝2×6＋2＋6＝20.②（1 ?2）?3＝（1×2＋1＋2）?3＝5 ?3＝5×3＋5＋3＝231 ?（2 ?3）＝1 ?（2×3＋2＋3）＝1 ?11＝1×11＋1＋11＝23.③先看“?”是否满足交换律：a ?b＝a×b＋a＋bb ?a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）所以a ?b＝b ?a，因此“?”满足交换律.再看“?”是否满足结合律：（a ?b）?c＝（a×b＋a＋b）?c＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c＝abc ＋ac ＋bc ＋ab ＋a ＋b ＋c .a ?（b ?c ）＝a ?（b ×c ＋b ＋c ）＝a ×（b ×c ＋b ＋c ）＋a ＋b ×c ＋b ＋c＝abc ＋ab ＋ac ＋a ＋bc ＋b ＋c＝abc ＋ac ＋bc ＋ab ＋a ＋b ＋c .（普通加法的交换律） 所以（a ? b ）? c ＝a ?（b ? c ），因此“?”满足结合律.说明：“?”对于普通的加法不满足分配律，看反例：1 ?（2＋3）＝1 ? 5＝1×5＋1＋5＝11；1 ? 2＋1 ? 3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；因此1 ?（2＋3）≠ 1 ? 2＋1 ? 3.例4、有一个数学运算符号“?”，使下列算式成立：2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25，求7?3＝？解：通过对2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25这几个算式的观察，找到规律：a ?b ＝2a ＋b ，因此7?3＝2×7＋3＝17.例5、x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x *y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k ×1×2=2k ，由于k 的值不知道，所以首先要计算出k 的值，k 值求出后，l △2的值也就计算出来了.我们设1△2=a ， (1△2）*3=a *3，按“*”的定义： a *3=ma+3n ，在只有求出m 、n 时，我们才能计算a *3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.解：因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时： （2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36k有36k=64，解出k=971，这与k 是自然数矛盾，因此m=3，n =1，k=971 m=1 n =2 m=2 n =23（舍去） m=3n =1这组值应舍去.所以m=l ，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.课后习题1.a *b 表示a 的3倍减去b 的21，例如：1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6； ②7*（2*1）.2.定义新运算为 a 一b ＝b 1a +， ①求2一（3一4）的值； ② 若x 一4＝1.35，则x ＝？3.有一个数学运算符号○，使下列算式成立：21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值. 4.定义两种运算“?”、“?”，对于任意两个整数a 、b ，a ?b ＝a ＋b ＋1， a ?b=a ×b －1，①计算4?[（6?8）?（3?5）]的值；②若x ?（x ?4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”，x △y=y ×2x ×m y×x ×6+（其中m 是一个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ），若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成立，求a 的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：x *y=xy 1＋））（（A y 1x 1++， 已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值. 8.a ※b=b÷a b a +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值. 9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为自然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++ =？ 课后习题解答1.2.3.所以有5x-2=30，解出x=6.4 左边： 8.解：由于9.解：按照规定的运算：x △10=x +（x+1）+（x+2）+…+（x+10－1）=10x +（1+2+3+?+9）=10x + 45因此有10x + 45=65，解出x=2.定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a 、b 都表示数，规定a △b ＝3×a －2×b ，①求 3△2， 2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b ＝2，求b .例2、定义运算※为 a ※b ＝a ×b －（a ＋b ），①求5※7，7※5； ②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？ ④如果3※（5※x ）＝3，求x . 例3、定义新的运算a ? b ＝a ×b ＋a ＋b .①求6 ? 2，2 ? 6；②求（1 ? 2）? 3，1 ?（2 ? 3）；③这个运算有交换律和结合律吗？例4、有一个数学运算符号“?”，使下列算式成立：2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25，求7?3＝？例5、x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x *y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.课后习题1.a *b 表示a 的3倍减去b 的21，例如：1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6； ②7*（2*1）.2.定义新运算为 a 一b ＝b 1a +， ①求2一（3一4）的值； ② 若x 一4＝1.35，则x ＝？3.有一个数学运算符号○，使下列算式成立：21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值. 4.定义两种运算“?”、“?”，对于任意两个整数a 、b ，a ?b ＝a ＋b ＋1， a ?b=a ×b －1，①计算4?[（6?8）?（3?5）]的值；②若x ?（x ?4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”，x △y=y ×2x ×m y×x ×6+（其中m 是一个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ），若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成立，求a 的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：x *y=xy 1＋））（（A y 1x 1++， 已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值. 8.a ※b=b÷a b a +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值.9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为自然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++ =？[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。
三年级册第十五讲定义新运算推荐题目
三年级册第十五讲定义新运算三年级册的定义新运算，都是常见类型，难度适中。
通过这一章节，一方面可以练习孩子的计算能力，另一方也练习一下读题以及方程的能力，一举多得。
如果定义8△2=8+9=17,5△3=5+6+7=18,3△5=3+4+5+6+7=25，那么9△2=（）；若X△5=20，那么X=（）；若1△X=28，那么X=（）。
【解析】第4题：9△2=9+10=19第5题：X△5=X+X+1+X+2+X+3+X+4=5X+10=20X=10÷5=2第6题：1△X=1+2+3+……+X=28X=7【点评】：这道题目和以前小机灵杯考过的一道题目非常的相像，首先通过读题目的3个例子去找到“△”这个运算符号的意义。
比如 8△2就是从8开始加，一共加两个数，5△3就是从5开始加，一共加3个数，所以9△2就是从9开始加，一共加两个数，便得到答案是19。
第5小题中涉及到了x，但是如果刚才把“△”的含义搞清楚了，就不难发现X△5就是从x开始加，一共连续加5个数，注意最后一个是x+4而不是x+5，接下来就是解方程的基本功。
第6小题同样的道理，主要还是想要提醒同学，对从1开始加的连续自然数列的和要非常的熟悉，最起码一直到12。
1+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=151+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8+9=451+2+3+4+5+6+7+8+9+10=551+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=661+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78规定a△b=a+（a+1）+（a+2）+……+（a+b-1）（a，b均为自然数,b>a）,如果x△10=65，那么x=（）【解析】：x△10=x+x+1+x+2+……+x+9=10x+45=65x=2【点评】：这道题目其实和刚才的讲解很像，只不过用字母表示运算方法，更加抽象，可能孩子不容易看懂。
定义新运算经典例题及解析
定义新运算经典例题及解析定义新运算经典例题例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。
分析 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。
解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。
6△（3△4）分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。
解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7例【3】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c ＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。
分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。
解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。
例【5】如果1※2＝1＋112※3＝2＋22＋2223※4＝3＋33＋333＋333＋3333计算：（3※2）×5。
分析通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。
解（5※3）×5。
＝（5＋55＋555）×5＝3075小结解决新定义运算问题，首先理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作，在操作过程中，不能按原来＋、－、×、÷运算法则合并使用，但可以根据不同的定义归纳出相对应的运算规律，因此解决新定义问题的关键是同学们对问题的理解及适应能力。
《定义新运算》PPT课件
定义新运算
解：(1)5◎4 =4×5+3×4 =20+12 =32
a◎b=4×a+3×b
解:4◎5 =4×4+3×5 =16+15 =31
(2)由(1)的运 算结果可知 “◎”没有交
换律。
定义新运算
a◎b=4×a+3×b
（3）（5◎2）◎6
5◎（2◎6）
=（4×5+3×2）
=5◎
◎6
（4×2+3×6）
△是什么运算符呢？没 见过，怎么算呢？
课堂导入
没见过没关系，右边的乘号和 加号我们见过呀，把a=3,b=2带 入右边的算式就可以得到 3×3—2×2=5，即3△2=5。
课堂导入
同学们非常的聪明，对我们新符号新运算方 式一点就通，看来接下来的新知识同学们学起 来会很轻松哦。今天我们要学习的就是一些新 的运算形式，叫做“定义新运算”。
=26◎6
=5◎26
=4×26+3×6
=4×5+3×26
=122
=98
（4）由(3)的运算结果可知“◎”没有结合律
定义新运算
小试牛刀
1.设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b， ①求 3△2， 2△3； ②这个运算“△”有交换律吗？ ③求（17△6）△2，17△（6△2）； ④这个运算“△”有结合律吗？ ⑤如果已知4△b＝2，求b.
解：8※5 =8+88+8888+8888+88888 =98760
定义新运算
1.定义新运算是指运用某种特殊符号来 表示特定的意义，从而解答某些算式的 一种运算。解答定义新运算，关键是要 正确地理解新定义的算式含义，然后严 知识总结 格按照新定义的计算程序，将数值代入， 转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算（精选编写）
定义新运算 例1.定义两种新运算：a※b＝2×a＋b，a◇b＝a－3×b.已知x、y使得（x◇y）※1＝377.04，x◇（y※1）＝172.84，那么x－y＝ . [答疑编号0518380101] 【答案】196.14 【解答】根据符号的定义得x◇y=（377.04－1）÷2＝188.02， x◇（y※1）＝x－3×（y※1）＝x－6×y－3＝172.84， 于是可列方程组，解得，那么x－y＝196.14。
例2.定义a◎b表示a′b的整数部分，例如3.5◎1.5表示3.5′1.5＝5.25的整数部分，等于5. （1）计算：98◎π＝ . （2）计算：199◎π＋199◎（4－π）＝ . [答疑编号0518380102] 【答案】（1）307 （2）795 【解答】（1）98π=100×π－2×π≈314.159－6.283，所以，整数部分是307. （2）199×4=796，题中两个部分分别取整，所以整数的和小于796， 又由于每个式子舍去的部分都是小于1的。
所以，整数的和大于794。
因此计算的结果是795。
例3.对于两个不相等的正整数，定义a☆b表示a、b中较小数的3倍减去较大数，例如4☆7＝4′3－7＝5. （1）计算：197☆98＝ ； （2）如果a☆17＝22，那么a的所有可能值是 . [答疑编号0518380103] 【答案】（1）97 （2）13，29 【解答】（1）197☆98＝98×3－197=（100－2）×3－（200－3）=97 （2）当a＜17时，3a－17=22，得到a=13； 当a＞17时，3×17－a= 22，得到a=29。
例4.规定A#表示A′2，A△表示A′3－1，例如4#＝8，5△＝14.已知可以将#和△分别填入到两个括号中，并且在方框内填入相同的自然数，可以使两个等式都成立，那么横线上应该填的数是多少？ □（）－9＝200 □（）＋9＝ [答疑编号0518380104] 【答案】149 【解答】当第一个式子，括号内填井号时，不成立。
新定义运算——精选推荐
新定义运算定义新运算导⾔:加、减、乘、除这四种运算的意义和运算法则，我们都很熟悉，在近年来竞赛中，出现了⼀种由⼀些新定义的运算符号导出的运算。
即定义⼀些别的运算，如◎表⽰⼀种的运算，它是这样定义的：a◎b=a×b-(a+b)，这种新运算的意义就是：a◎b是两个数的积减去两个数的和所得到的差。
这就是定义新运算问题。
这⾥所说的“定义”，就是按照规定的运算法则进⾏计算。
解答这类问题的关键是理解新运算所表⽰的意义，严格按规定的计算法则代⼊计数，把定义新符号运算转化为熟悉的四则运算。
这类题⽬⽬的是培养学⽣的数学阅读理解能⼒例1．规定a★b=5a-3b，其中a、b是⾃然数，求（1） 6★8的值（2）8★6的值（3）（3★2）★4 （4）x★7=19解析：此题规定了⼀种新运算符号（★），我们要理解它的意思，a★b表⽰a的5倍减去b的3倍，把表⽰a、b的数代⼊等式右边的（5a-3b）中，并算出结果来。
（1）此时，a=6，b=8，那么a★b=6★8=5×6-3×8=6（2）此时，a=8，b=6，那么a★b=8★6=5×8-3×6=22（3）在计算（3★2）★4时，运算的顺序是先算括号内的，再算括号外（3★2）★4=（5×3-3×2）★4 =9★4=5×9-3×4=33（4）x★7=19 即 5x-3×7=19 5x-21=19 5x=40 x=8例2．如果2♀3=2+3+4，5♀4=5+6+7+8，求（1）9♀6的值（2）解⽅程：x♀3=15解析：♀表⽰求连续⾃然数的和，♀前的数表⽰连续⾃然数的第⼀个数，♀后⾯的数表⽰连续⾃然数的个数（1）9♀6=9+10+11+12+13+14=69（2）x♀3=15 即 x+（x+1）+（x+2）=15 解得x=4例3．规定□的运算法则如下，对于任何整数a，b，有（1）当a+b≥10时，a□b=2×a+b-1（2）当a+b<10时，a□b=2×a×b求(1□2)+（2□3）+（3□4）+（4□5）+（5□6）+（6□7）的值解析：这道题实际上定义了两种运算，必须根据a、b两数的和的⼤⼩，来确定对它们施⾏哪种新运算。
小学奥数专题26-定义新运算
定义新运算定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。
它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，例如“+、-、×、÷、、>、<”等。
表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如a☆b=3a-3b，新运算使用的符号是☆，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。
正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。
如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。
值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。
一、例题与方法指导例1. 设ab都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b=4×a-3×b,试计算5△6，6△5。
解5△6-5×4-6×3=20-18=26△5=6×4-5×3=24-15=9说明例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。
例2. 对于两个数a、b,规定a☆b表示3×a+2×b,试计算（5☆6）☆7，5☆（6☆7）。
思路导航：先做括号内的运算。
解（5☆6）☆7=（5×3+6×2）☆7=27☆7=27×3+7×2=955☆（6☆7）=5☆（6×3+7×2）=5☆32=5×3+32×2=79说明本题定义的运算不满足结合律。
这是与常规的运算有区别的。
例3. 已知2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，对自然数a、b，a△b 表示a×(a+1)×…（a+b-1）.计算（6△3）-（5△2）。
思路导航：原式=6×7--5×6=336-30规定：a△=a+(a+1)+(a+2)+…+（a+b-1）,其中a,b表示自然数。
【推荐】奥数：定义新运算.学生版
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，知识点拨教学目标定义新运算“×”，“÷”运算不相同.二 定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
6△（3△4）【巩固】 设a △2b a a b =⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____.【巩固】 P 、Q 表示数，*P Q 表示2P Q +，求3*(6*8)【巩固】 已知a ,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b = a +b -1,2a b ab ⊗=-,那么[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗= .【巩固】 M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____=【巩固】 规定运算“☆”为：若a >b ，则a ☆b =a ＋b ；若a =b ，则a ☆b =a －b ＋1；若a <b ，则a ☆b =a ×b 。
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六、拔高题：
1.规定x※y=，且5※6=6※5，且（3※2）× （1※10）的值是多少？
2.对于任意的整数x、y，定义新运算“△”： x△y=(其中m是一个确定的整数)，如果1△2=2， 则2△9的值是多少？
3.设a、b分别表示两个数，如果a※b表示，照这样 规定，求3※[6※(8※5)]的值。
4．如果x※y=，那么10;y)÷4,求：（1）13△17 （2）2△（3△5） （3）如果x△16=10，求x的值。
6．定义：a△b=ab-3b，a▽b=4a-，计算： （4△3）△（2▽6）
1.代换，即按照定义符号的运算方式方法，进行 代换，注意此程序不能轻易改变原有的运算顺序。
2.计算，把代换后的算式准确地计算其结果。
三、典型例题。
例1.对于任意两个数a、b，定义运算“※”： a※b=2a+3b，计算：5※6的值。
例2.定义元算“※”，对于任意数a和b，有 a※b=a×b－(a＋b)，
4.规定运算：a※b=(a+b)÷2,且3※（x※2）=2,求 x=？
5.规定：a△b=ab+2a，a▽b=2b-a，求（8△3） ▽（9△5）的值。
五、课后作业： 1.规定a※b=(a+b)÷2，求[(1※9) ※9] ※3
2.规定a☆b=3a-2b，求（1）计算5☆4☆3 （2）若x☆(4☆1)=7,求 x.
定义新运算
一、课前小检测
1. 9999×9999+19999 2、25×320×125×17 3、256×316+256×683+256 4、20012001×2002-20022002×2001 5（1+23+34）×（23+34+65）-（1+23+34+65）×（2
二知识要点：
我们已经学习了加、减、乘、除法运算，四则运算是 数学中最基本的运算，它的意义、法则已被我们 所熟知，所谓“定义新运算”是以四则运算为基 础，以一种特殊的符号来表示的特别定义（规定） 的运算，运算时要严格按照新运算的定义进行代 换，再进行计算，具体程序如下：
例6.若规定：a△b=-,a□b=+，那么1.3△（2□4） +的值是多少？
四、课堂练习： 1．a、b是自然数，规定a※b=(a+b)÷2，求：3※
（4※6）的值。
2.对于a、b，定义一种新运算“※”， a※b=ab+a÷b，求75※5=？12※4=？
3.如果1※2=1+2，2※3=2+3+4， 3※4=3+4+5+6，…，请按照此规则计算3※7=？
计算：（1）7※8 （2）（3※5）※7
例3.有一个数学符号“※”，使下列算式成立： 4※8=16，10※6=26，6※10=22， 18※14=50，求7※13的值。
例4.设a※b表示a 的4倍减去b的3倍，即 a※b=4a－3b，已知x※(5※2)=46，求x。
例5.规定：4※2=4+44，2※3=2+22+222， 1※4=1+11+111+1111，计算：3※5=？