分布函数列的一致收敛性
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证 明 已 知 Ｆ （ｚ）是 单 调 递 增 函 数 ，且 ０≤ Ｆ （ｚ）≤ １．因 为 Ｆ（ｚ）是 单 调 递 增 函 数 ， 且 ｌｉｍ Ｆ（ｚ）一 １，ｌｉｒ ａ Ｆ（ｚ）一０，所 以对 于 Ｖ￡＞ ０，可找 到 Ｍ （Ｍ ＞ Ｏ），使得 当 ｚ≥ Ｍ 时 １一 Ｆ（ ）＜ ￡， 当 ｚ ≤一Ｍ 时 Ｆ（ ）＜ ￡．又 因为 ｌｉｍ Ｆ （一Ｍ ）＝＝＝Ｆ（一 Ｍ ），ｌｉｒ ａ Ｆ （Ｍ ）一Ｆ（Ｍ ），所 以存 在 正整数 Ｎ ，使 得 当 ＞ Ｎ１时 ，Ｉ Ｆ （一 Ｍ ）一 Ｆ（一Ｍ ）ｌ＜ ｅ，Ｉ Ｆ （Ｍ ）一 Ｆ（Ｍ ）Ｉ＜ ￡，于是
１ 狄 尼定理 的另一种形式
定 理 ｌ［１． 设 函数 序列 ｛， （ｚ）｝在 ［口，６］上逐 点收敛 于 函数 ｆ（ｘ），若 ｆ（ｘ）在 ［口，６］上连 续 ，且对 于
每个 ７＂１，ｆ （ｚ）都 是 ［口，６］上 的单调 函数 ，则 ｛ｆ （ｚ））在［口，６］上 一致 收敛 于 ｆ（ｘ）．
Ｖ０１．３９ ＮＯ． ２ Ｍ ａｒ． ２０１８
邢 家省 ，杨 义 川 １，２
（１．北 京 航 空 航 天 大 学 数 学 与 系统 科 学 学 院 ，北 京 １００１９１；２．北 京 航 空 航 天 大 学 数 学 、信 息 与行 为教 育 部 重 点 实验 室 ，北 京 １００１９１）
第 ３９卷 第 ２期 ２０１８年 ３月
吉 首大 学 学 报 （自然 科 学 版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｓｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ （Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
文 章编 号 ：１００７—２９８５（２０１８）０２—０００１一Ｏ４
分 布 函数 列 的一 致 收敛 性
作 者 简 介 ：邢 家 省 （１９６４一 ），男 ，河南 泌 阳 人 ，北 京 航 空 航 天 大学 数 学 与 系统 科 学 学 院 副 教 授 ，博 士 ，主 要 从 事 偏 微 分
方 程 、微 分 几 何 和泛 函 分析 研 究 ；杨 义 川 （１９７Ｏ一 ），男 ，甘 肃 天 水 人 ，北 京 航 空 航 天 大 学 数 学 与 系 统 科 学 学 院教 授 ，博
士 ，主要 从 事 逻辑 代 数 、序 代 数 、软计 算 及 其 应 用 研 究 ．
２
吉 首 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
第 ３９卷
即 ｛ｆ （ｚ）｝在 ［口，６］上一致 收 敛于 ｆ（ｘ）．
２ 随机 变量 序 列 的 分 布 函数 列 的 一 致 收 敛 性
定理 ２Ｅ。 。 设 随机变 量 ｘ 的分 布 函数为 Ｆ （ ），随机 变 量 Ｘ 的分布 函数 为 Ｆ（ｚ），若 ｌｉｍ Ｆ （ｚ）一 Ｆ（ ），ｚ ∈ （一 ｃｘ。，＋ 。。），Ｆ（ｚ）在 （一ｏｏ，＋ｏ。）上 连续 ，则 ｛Ｆ （ｚ））在 （一。ｏ，＋∞ ）上 一致 收敛 于 Ｆ（ｚ）．
Ｌ一
ｉ （ ＝０，１，… ，Ｊ）．因为 ｌｉｍ ｆ （ ）＝ｆ（ｘ ）（ 一０，１，… ，Ｊ）wenku.baidu.com所 以对 于上述 ｅ，存 在正整 数 Ｎ ，当 ＞
Ｊ
Ｈ ∞
Ｎ 时 ，Ｉ （ ）一 ｆ（ｘ ）ｌ＜ ｅ（ｉ一０，１，… ，．厂）．又 因为对 于每 个 ，２，ｆ （ ）都 是 ［口，６］上 的单 调 函数 ，所 以
ｌ厂 （ ）一 ， （ｚ ）Ｉ≤ Ｉ， （ｚ ）一 ， （ ）Ｉ（ ∈ Ｉｘ ， ｆ＋１］，ｉ一０，１，… ，Ｊ）．对 于 Ｖ ｚ ∈ ［口，５１，存 在 ｉ，
使得 Ｘ ∈ ［ｚ ， 川 ］，
Ｉ （ ）一 ｆ（ｘ）ｌ≤ Ｉ厂 （ ）一 厂 （ｚ ）Ｉ＋ｌ， （ｚ ）一 ｆ（ｚ ）Ｉ＋Ｉ ｆ（ｘ ）一 ｆ（ｘ）Ｉ≤
Ｉ厂 （ｚｆ＋１）一， （ｚ ）Ｉ＋ ２ｅ≤ Ｉ， （ｚ ）一 ｆ（ｘ川 ）ｌ＋
ｌ ｆ（ｘ川 ）一ｆ（ｘ ）ｆ＋Ｉ ｆ（ｘ ）一 厂 （ ）Ｉ＋ ２￡＜ ５ｓ，
＊ 收 稿 日期 ：２０１７一Ｏ７—２１
．
基 金 项 目 ：国 家 自然科 学 基 金 资 助 项 目（１１７７１００４）；北 航 ２０１６年 数学 重 点 教 改 项 目
证 明 因为 ｆ（ｘ）在 ［ｎ，６］上连 续 ，所 以 ｆ（ｘ）在 ［口，６］上 一致 连续 ．对 于 Ｖ ｅ＞ ０，存在 （ ＞ ０），当
＾一
Ｘ，Ｙ ∈ ［口，５＂１，ｌ ｚ— ｌ＜ 时 ，Ｉ ｆ（ｘ）一 ｆ（Ｙ）ｌ＜ ｅ．取 正整数 Ｊ 充分 大 ，使 得 ＜ ．记 Ｘ ＝口＋
Ｊ
摘 要 ：研 究 了 函数 列 的 一 致 收 敛 性 问题 ．对 狄 尼 定 理 的 另 一 种 形 式 的 结 果 给 出 了证 明 ，并 将 此 结 果 应 用 于 随 机 变 量序
列 的 分 布 函 数 列 的 一 致 收 敛 性 研 究 ，指 出 了 中心 极 限 定 理 的 深 刻 结 果 ，对 ｔ一分 布 的 随机 变量 序 列 的极 限 分 布 给 出 了 ２种 直
接 的 证 明 方 法 ．
关 键 词 ：一 致收 敛性 ；狄 尼 定 理 ；ｔ一分布 ；极 限 分 布
中 图 分 类 号 ：Ｏ２１１．３
文 献 标 志 码 ：Ａ
ＤＯＩ；１０．３９６９／ｊ．ｃｎｋｉ．ｊｄｘｂ．２０１８．０２．００１
判 断 函数列 的一 致收敛 性 是经 典数 学分 析 中 的重 要课 题 ．奥 斯 古 德定 理 和 狄 尼定 理 是判 断 函数列 一 致 收 敛 的一 个 充 分条 件 ，在数 学 分 析 中是 常 用 定理 ．狄 尼 定 理 的另 一 种 形式 在 数 学分 析 中一般 不 作 为定 理 ，人们 在使 用它 时不 得不 重 复证 明．笔 者将对 狄 尼 定 理 的另 一 种形 式 的结 果 给 出证 明 ，并将 此 结 果应 用 于分布 函数 列 的一致 收敛性 研 究．对 于 随机 变量 序 列 的分 布 函数 列 的收 敛性 ，以往 仅 着重 于弱 收敛 性 ，而 对 于一致 收敛 性 的重视 不够 ．在 实 际应用 中 ，分 布 函数列 的一 致 收 敛性 是 需要 的 ，特别 是 要 为 近似 计算 提 供 理论依 据 ．
１ 狄 尼定理 的另一种形式
定 理 ｌ［１． 设 函数 序列 ｛， （ｚ）｝在 ［口，６］上逐 点收敛 于 函数 ｆ（ｘ），若 ｆ（ｘ）在 ［口，６］上连 续 ，且对 于
每个 ７＂１，ｆ （ｚ）都 是 ［口，６］上 的单调 函数 ，则 ｛ｆ （ｚ））在［口，６］上 一致 收敛 于 ｆ（ｘ）．
Ｖ０１．３９ ＮＯ． ２ Ｍ ａｒ． ２０１８
邢 家省 ，杨 义 川 １，２
（１．北 京 航 空 航 天 大 学 数 学 与 系统 科 学 学 院 ，北 京 １００１９１；２．北 京 航 空 航 天 大 学 数 学 、信 息 与行 为教 育 部 重 点 实验 室 ，北 京 １００１９１）
第 ３９卷 第 ２期 ２０１８年 ３月
吉 首大 学 学 报 （自然 科 学 版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｓｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ （Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
文 章编 号 ：１００７—２９８５（２０１８）０２—０００１一Ｏ４
分 布 函数 列 的一 致 收敛 性
作 者 简 介 ：邢 家 省 （１９６４一 ），男 ，河南 泌 阳 人 ，北 京 航 空 航 天 大学 数 学 与 系统 科 学 学 院 副 教 授 ，博 士 ，主 要 从 事 偏 微 分
方 程 、微 分 几 何 和泛 函 分析 研 究 ；杨 义 川 （１９７Ｏ一 ），男 ，甘 肃 天 水 人 ，北 京 航 空 航 天 大 学 数 学 与 系 统 科 学 学 院教 授 ，博
士 ，主要 从 事 逻辑 代 数 、序 代 数 、软计 算 及 其 应 用 研 究 ．
２
吉 首 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
第 ３９卷
即 ｛ｆ （ｚ）｝在 ［口，６］上一致 收 敛于 ｆ（ｘ）．
２ 随机 变量 序 列 的 分 布 函数 列 的 一 致 收 敛 性
定理 ２Ｅ。 。 设 随机变 量 ｘ 的分 布 函数为 Ｆ （ ），随机 变 量 Ｘ 的分布 函数 为 Ｆ（ｚ），若 ｌｉｍ Ｆ （ｚ）一 Ｆ（ ），ｚ ∈ （一 ｃｘ。，＋ 。。），Ｆ（ｚ）在 （一ｏｏ，＋ｏ。）上 连续 ，则 ｛Ｆ （ｚ））在 （一。ｏ，＋∞ ）上 一致 收敛 于 Ｆ（ｚ）．
Ｌ一
ｉ （ ＝０，１，… ，Ｊ）．因为 ｌｉｍ ｆ （ ）＝ｆ（ｘ ）（ 一０，１，… ，Ｊ）wenku.baidu.com所 以对 于上述 ｅ，存 在正整 数 Ｎ ，当 ＞
Ｊ
Ｈ ∞
Ｎ 时 ，Ｉ （ ）一 ｆ（ｘ ）ｌ＜ ｅ（ｉ一０，１，… ，．厂）．又 因为对 于每 个 ，２，ｆ （ ）都 是 ［口，６］上 的单 调 函数 ，所 以
ｌ厂 （ ）一 ， （ｚ ）Ｉ≤ Ｉ， （ｚ ）一 ， （ ）Ｉ（ ∈ Ｉｘ ， ｆ＋１］，ｉ一０，１，… ，Ｊ）．对 于 Ｖ ｚ ∈ ［口，５１，存 在 ｉ，
使得 Ｘ ∈ ［ｚ ， 川 ］，
Ｉ （ ）一 ｆ（ｘ）ｌ≤ Ｉ厂 （ ）一 厂 （ｚ ）Ｉ＋ｌ， （ｚ ）一 ｆ（ｚ ）Ｉ＋Ｉ ｆ（ｘ ）一 ｆ（ｘ）Ｉ≤
Ｉ厂 （ｚｆ＋１）一， （ｚ ）Ｉ＋ ２ｅ≤ Ｉ， （ｚ ）一 ｆ（ｘ川 ）ｌ＋
ｌ ｆ（ｘ川 ）一ｆ（ｘ ）ｆ＋Ｉ ｆ（ｘ ）一 厂 （ ）Ｉ＋ ２￡＜ ５ｓ，
＊ 收 稿 日期 ：２０１７一Ｏ７—２１
．
基 金 项 目 ：国 家 自然科 学 基 金 资 助 项 目（１１７７１００４）；北 航 ２０１６年 数学 重 点 教 改 项 目
证 明 因为 ｆ（ｘ）在 ［ｎ，６］上连 续 ，所 以 ｆ（ｘ）在 ［口，６］上 一致 连续 ．对 于 Ｖ ｅ＞ ０，存在 （ ＞ ０），当
＾一
Ｘ，Ｙ ∈ ［口，５＂１，ｌ ｚ— ｌ＜ 时 ，Ｉ ｆ（ｘ）一 ｆ（Ｙ）ｌ＜ ｅ．取 正整数 Ｊ 充分 大 ，使 得 ＜ ．记 Ｘ ＝口＋
Ｊ
摘 要 ：研 究 了 函数 列 的 一 致 收 敛 性 问题 ．对 狄 尼 定 理 的 另 一 种 形 式 的 结 果 给 出 了证 明 ，并 将 此 结 果 应 用 于 随 机 变 量序
列 的 分 布 函 数 列 的 一 致 收 敛 性 研 究 ，指 出 了 中心 极 限 定 理 的 深 刻 结 果 ，对 ｔ一分 布 的 随机 变量 序 列 的极 限 分 布 给 出 了 ２种 直
接 的 证 明 方 法 ．
关 键 词 ：一 致收 敛性 ；狄 尼 定 理 ；ｔ一分布 ；极 限 分 布
中 图 分 类 号 ：Ｏ２１１．３
文 献 标 志 码 ：Ａ
ＤＯＩ；１０．３９６９／ｊ．ｃｎｋｉ．ｊｄｘｂ．２０１８．０２．００１
判 断 函数列 的一 致收敛 性 是经 典数 学分 析 中 的重 要课 题 ．奥 斯 古 德定 理 和 狄 尼定 理 是判 断 函数列 一 致 收 敛 的一 个 充 分条 件 ，在数 学 分 析 中是 常 用 定理 ．狄 尼 定 理 的另 一 种 形式 在 数 学分 析 中一般 不 作 为定 理 ，人们 在使 用它 时不 得不 重 复证 明．笔 者将对 狄 尼 定 理 的另 一 种形 式 的结 果 给 出证 明 ，并将 此 结 果应 用 于分布 函数 列 的一致 收敛性 研 究．对 于 随机 变量 序 列 的分 布 函数 列 的收 敛性 ，以往 仅 着重 于弱 收敛 性 ，而 对 于一致 收敛 性 的重视 不够 ．在 实 际应用 中 ，分 布 函数列 的一 致 收 敛性 是 需要 的 ，特别 是 要 为 近似 计算 提 供 理论依 据 ．