西北工业大学自动控制原理模拟题与答案胡祝兵

西北工业大学
2011年硕士研究生入学考试模拟试题（一）
科目代码： 821 科目名称： 自动控制原理
所有答案必须做在答案题纸上，做在试题纸上无效！
一、计算题（25分）
已知一控制系统的结构图如下，
1） 确定该系统在输入信号()1()r t t =下的时域性能指标：超调量%σ，调节时间s t 和峰值
时间p t ；
2） 当()21(),()4sin3r t t n t t =⋅=时，求系统的稳态误差。

参考公式：n
s p n
p t e
t ξωσωξπ
ξπξ
4
~3%,100,12
12
=
⨯=-=--
二、单位反馈系统如图所示，其中()()()
2
21
2
+++=
s s a s s s G ，0>a 为待定参数。

为简便起见，图中用R 表示r(t)的Laplace 变换R(s)。

其余的符号和均采用这种简便记法。

（25分）
（ⅰ）设()0>=K s G c ,已知系统四条根轨迹只有一个分离点（或会合点）-1，确定参数a
并画出根轨迹图；
14s +82
s +R(s)
N(s)
C(s)
（ⅱ）确定根轨迹和虚轴的交点并由此确定使闭环系统稳定的K 值。

（ⅲ）确定系统输出无衰减振荡分量时的闭环传递函数。

三、已知最小相位系统的开环对数幅频特性渐近线如图所示，c ω位于两个交接频率的几何中心。

（25分）
1） 计算系统对阶跃信号、斜坡信号和加速度信号的稳态精度。

计算超调量%σ和调节时间s t
四、某火炮指挥系统结构如下图所示，()(0.21)(0.51)
K
G s s s s =
++系统最大输出速度为2
r/min ，输出位置的容许误差小于2，（25分）
求：
1） 确定满足上述指标的最小K 值，计算该K 值下的相位裕量和幅值裕量； 2） 前向通路中串联超前校正网络0.41
()0.081c s G s s +=
+，试计算相位裕量。

()
G s ()R s ()
E s ()
C s
五、已知系统的结构图如图所示。

（25分）
（ⅰ）求出系统的闭环脉冲传递函数。

L (ω)/d
ω (rad/s)
-40
-20
-40
1
5
0 -20
20
ωc
（ⅱ）设图6中()s e s G Ts --=11，()12+=s K s G ，()K
s s H 1
+=，试确定系统稳定时K 的
取值范围。

已知：
⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z s 1=1-z z ， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+Z αs 1=T e z z α--， ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧Z 2
1s =()21-z Tz 。

六、非线性系统（25分）
已知非线性控制系统如图7所示，其中非线性环节的描述函数为：
()2
14⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X a X b X N π，
()()()
13,18.0121+=+=
s s s G s s G 。

为使系统不产生自激振荡，试用描述函数法确定继电
特性参数b a 和的关系。

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2011年硕士研究生入学考试模拟试题（二）
科目代码： 821 科目名称： 自动控制原理
所有答案必须做在答案题纸上，做在试题纸上无效！
一、已知一控制系统的结构图如下（25分）
1） 确定该系统在输入信号()1()r t t =下的时域性能指标：超调量%σ，调节时间s t 和峰值
时间p t ；
2） 当()21(),()4sin3r t t n t t =⋅=时，求系统的稳态误差。

二、已知单位负反馈系统的根轨迹图如图所示。

（25分） 试：
（ⅰ）确定系统开环根轨迹增益的范围r K ，使系统稳定； （ⅱ）写出系统临界阻尼时的闭环传递函数。

三、控制系统的结构图如图（a ）所示，其中()s G 1的频率特性如图（b
）（0,0>>τT ）（25分）
14s + 8
2
s + R(s) N(s)
C(s)
Figure （a ）：控制系统结构图
Figure （b ）：()s G 1的频率特性
（ⅰ）写出()s G 1的表达式； （ⅱ）设()221
s
s G =
，求出系统的开环传递函数； （ⅲ）画出系统的幅相频率特性曲线，并用Nyquist 稳定判据分析其稳定性。

四、单位负反馈系统的开环传递函数为)12
1
)(161()(++=
s s s Kv s G 要求做出该系统的对数幅
频特性渐近曲线，并设计校正装置，使系统满足下列性能指标：（25分）
（1）在最大指令速度为180 度/秒，位置迟后误差不超过1 度； （2）相角裕度为45 度； （3）幅值裕度不低于10dB ；
（4）过度过程调节时间不超过3s 。

五、考虑如图所示的离散时间控制系统，()z D 为数字控制器。

采样周期s T 1=，
()1
-=
z z
z D （25分）
Figure5：采样控制系统
（ⅰ）确定使系统稳定的K 的值；
（ⅱ）当K=1及()t t r =时系统的稳态误差；
六、系统的方框图如图6所示，其中︒==∆==451,11θ，，h M ，所有的非线性特性均
关于原点中心对称，()2
1
s Ts s G +=。

（25分） （ⅰ）画出负倒特性曲线和线性部分()s G 的Nyquist 图，
（ⅱ）分析当5.0=T 时，系统是否存在自激振荡，如果存在自激振荡，请计算输出端的振幅和频率。

（ⅲ）讨论参数T 的变化对系统自激振荡的影响。

图中死区、饱和特性和继电特性等非线性环节的描述函数分别为：
()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆-∆-=2
11arcsin 22X X X K X N ππ，∆≥X ()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+∆=2
21arcsin 2X X X K X N π，∆≥X ()2
2
3414X Mh j X h X M X N ππ-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=，h X ≥
Figure6：非线性控制系统
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2011年硕士研究生入学考试模拟试题（三）
科目代码： 821 科目名称： 自动控制原理
所有答案必须做在答案题纸上，做在试题纸上无效！
一、稳定性分析（25分）
1) 已知系统的方块图如下，求使系统稳定的K 。

2) 设单位反馈系统的开环传递函数为
)
107.01)(33.01()(s s s K
s W k ++=
，要求闭环特征根的实部均小于-1，求K 值应取的范围。

二、已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为()()()
428
.00++=
s s s G ，采用串联校正装置
的形式为()⎪⎭⎫
⎝
⎛+=s K s G c c 185，如图
2所示。

为简便起见，图中用R 表示r(t)的Laplace 变换R(s)。

其余的符号和均采用这种简便记法。

（25分）
Figure2：单位反馈系统
试：（ⅰ）绘制系统的根轨迹。

（ⅱ）当系统的阻尼比ζ为最佳阻尼比时，求系统在单位阶跃函数作用下，系统的动态性能指标超调量%σ和调整时间s t 。

三、由实验测得某最小相位系统的幅频特性对数坐标图如图所示，试求：（25分） （ⅰ）系统的开环传递函数()s G 并画出系统的相频特性曲线； （ⅱ）计算系统的相角裕度γ和幅值裕度g K ；
（ⅲ）闭环系统对单位阶跃输入和单位斜坡输入的稳态误差分别是多少？
四、已知一系统，其中固有部分的传递函数)
1007.0)(19.0(1
)(++=
s s s s G 若要求速度误差
系数1Kv ≥1000 ，单位阶跃响应的过渡过程时间ts ≤ 0.25 s ，超调量σ%=30%，要求设计预期开环传递函数0G (s ) ，并求出校正装置的传递函数)(s G c 。

（25分）
五、离散控制系统如图4所示，其中T>0为采样周期，K>0。

（25分）
Figure4：离散控制系统
（ⅰ）求系统的开环脉冲传递函数()z G 和闭环脉冲传递函数()z Φ； （ⅱ）当K=1时，求使系统稳定的T 值范围；
（ⅲ）K=1，T=1s 时，求单位阶跃输入下的输出响应()kT y 和稳态误差()∞e 六、非线性控制系统如图5所示，图中非线性环节的描述函数为（25分）
()1811822
>-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=X X j
X X X N ππ
Figure5：非线性控制系统
（ⅰ）设系统处于稳定自振状态时，线性环节()()
12+=
s s k
s G 的相角迟后量为︒135，求此
时的K 值，并确定输出端自振频率、幅值。

（ⅱ）定性分析当K 值增加时，系统输出端自振频率、幅值的变化趋势
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2011年硕士研究生入学考试模拟试题（一）
科目代码： 821 科目名称： 自动控制原理
（评分参考卷）
所有答案必须做在答案题纸上，做在试题纸上无效！
一、计算题（25分）
1）系统的开环传递函数为：288
()(4)(2)68
G s s s s s =
=++++
系统的闭环传递函数为28
()616
G s s s =
++（1分）
比较 二阶系统的标准形式222
()2n
n n
G s s s ωξωω=++，可得 4n ω=
而26n ξω=，所以0.75ξ=
1.795p t s =
=（3分）
100% 2.8%e ξπσ-=⨯=（3分）
3
1(5%)s n
t s ξω=
=∆=（3分）
2）由题意知，该系统是个线性系统，满足叠加原理，故可以分别求取，()21()r t t =⋅和
()4sin 3n t t =分别作用于系统时的稳态误差1ess 和2ess ，系统的稳态误差就等于12ess ess ess =+。

A ） ()21()r t t =⋅单独作用时，
由系统的开环传递函数知，系统的开环增益1k K =，所以系统对()21()r t t =⋅的稳态误差1ess 为：11
211k
ess K =⨯
=+（4分）
B ） ()4sin 3n t t =单独作用时，系统的方块图为
系统的闭环传递函数为：2
8(4)
()616
e s W s s s +=++ 频率特性为：2
8(4)
()616e j W j j ωωωω
+=+-
当系统作用为()4sin 3n t t =时，3ω=，所以
2
8(34)3224(3) 2.0763163718e j j
W j j j
++=
==⨯+-+ 2418
(3)arctan
arctan -0.5564327
e W j ∠=-= 系统的输出为：
24(3)sin(3(3))8.56sin(30.5564)
e e ess W j t W j t =⨯+∠=-（5分）
所以系统的误差为：18.56sin(30.5564)ess t =+-（1分） 二、（25分）
解：（ⅰ）由分离点的计算公式 0111111=+++-++++j
d j d a d d
依题意，得分离点1-=d ，代入上式得 a=2
则开环传递函数()()()
2
222
0+++=
s s s s K
s G ①开环极点01=p ，22-=p j p ±-=14,3 数目 n=4；系统有四条根轨迹；分别起始于开环极点，终止于无穷远点； ②实轴上根轨迹段为()02，-；
③渐近线与实轴夹角为︒︒︒︒=31522513545，，，
a ϕ；渐近线与实轴的交点1-=a σ； ④由已知，得分离点为-1；
由以上计算得到的参数，得根轨迹如图1所示：
图1
（ⅱ）根轨迹与虚轴的交点
由()010=+s G ，得特征方程为
0464234=++++K s s s s
劳斯阵：
4s 1 6
K
3s 4 4
2s
5
K
1s 5
420K
- 0s
K
要与虚轴有交点，则有一行全零，即50420=⇒=-K K 辅助方程：j s s ±=⇒=+2,12
055
综上，与虚轴的交点是j ±，使闭环系统稳定的K 值范围应是0<K<5。

（ⅲ）要使闭环系统的输出无衰减分量，则闭环系统应无共轭复数极点，亦即闭环极点均应
为实极点。

显然只有1-=s 点能满足要求，所以分离点处对应的四重实极点即为所求的闭环极点。

此时系统的闭环传递函数为：()()
()114
=+=ΦK s K
s 。

三、（25分）
解：1）开环传递函数2
(1)
()()(0.21)
K s G s H s s s +=
+
2.236c ω==
20lg 020(lg1lg )2.236
c c K K ωω-=--==
因为是“II ”型系统所以对阶跃信号、斜坡信号的稳态误差为0；
而加速度误差系数为： 2.236a K = 因而对单位加速度信号稳态误差为1110.4472.236
a ess K K =
=== 2）
180()
180180arctan arctan(0.2)41.81
c c c γϕωωω=+=-+-=
所以1
%0.160.4(
1)36%sin σγ
=+-= 2
112 1.51 2.51 4.74sin sin s c t s πωγγ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=⎢⎥
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
四、（25分） 解：
1） 系统为I 型系统，2
360/60
6(1/)2
A K s ess ⨯=
== 所以6()(1)(1)25
G s s s
s =
++
可以求得
3.5c ω=
3.5 3.5
180()18090arctan
arctan 4.925
c G j γω=+∠=---=-
令[]Im ()0G j ω=,得
1
0.86
()
g g h G j ωω==
= 2）
加入串联校正后，开环传递函数为
21
6 2.5()(1)(1)12512.5
G s s s s s +=+++ 求得 4.8c ω=
4.8 4.8 4.8 4.8180()180arctan
90arctan arctan arctan 20.22.52512.5
c G j γω=+∠=+----=
五、（25分）
解：（ⅰ）由系统的结构图可以看出，系统一条前向通道的脉冲传递函数为()z G G 21，两个
回路的回路脉冲传递函数为()z G G 21-和()z H G 2-，由梅逊公式可求得系统的闭环脉冲传递函数为
()()
()()z
H G z G G z G G z 221211++=
Φ
（ⅱ）当系统中()s e s G Ts --=11，()12+=s K s G ，()K
s s H 1
+=时，有
()(
)
()()
T
T
e z e K s s K z
z G G -----=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+Z -=1111
21 ()1112=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+•+Z =K s s K
z H G 系统的特征方程为()()()
0121221=--+=++--T
T
e
z e K z H G z G G
即()
0122=-+---T T
e K e
z ，求解特征方程的根得 ()
T T e K
e z ----
=12
要使系统稳定，必有以下不等式成立 ()
112
<--
=--T T
e K
e z 故系统稳定的K 值范围应是()
T
T
e
e K ---+<<-1122
六、非线性系统（25分）
解：其线性部分的开环传递函数为
()()()
118.03
++=
s s s s G
作
()
ωj G 曲线如图2所示，由
()()()()
(
)(
)
2
22
64.0118.0134.5118.03ω
ωωωωωωωω++--+=++=j j j j j G 令()[]0Im =ωj G ，求得2
5
=
ω，则 ()[]()()
3
464.0114.5Re 2
52
22
5-=++-=
=
=
ωωωωωω
ωj G
所以()ωj G 曲线与负实轴的交点的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛-034j ，。

()
2
141
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=-
X a b X
X N π，作()
X N 1
-
曲线如图所示。

因为()s G 在s 右半平面的极点数0=P ,所以要使系统不产生自激振荡，则要
()ωj G 曲线与()X N 1
-
曲线无交点，即应满足如下条件3
42-<-b a π，即继电特性参数b a 和的关系：
π
38.b a >
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2011年硕士研究生入学考试模拟试题（二）
科目代码： 821 科目名称： 自动控制原理
（评分参考卷）
所有答案必须做在答案题纸上，做在试题纸上无效！
一、（25分） 1）系统的开环传递函数为：288
()(4)(2)68
G s s s s s =
=++++
系统的闭环传递函数为28
()616
G s s s =
++
比较 二阶系统的标准形式222
()2n
n n
G s s s ωξωω=++，可得 4n ω=
而26n ξω=，所以0.75ξ=
1.795p t s =
=
100% 2.8%e ξπσ-==
3
1(5%)s n
t s ξω=
=∆=
2）由题意知，该系统是个线性系统，满足叠加原理，故可以分别求取，()21()r t t =⋅和
()4sin 3n t t =分别作用于系统时的稳态误差1ess 和2ess ，系统的稳态误差就等于12ess ess ess =+。

A ） ()21()r t t =⋅单独作用时，
由系统的开环传递函数知，系统的开环增益1k K =，所以系统对()21()r t t =⋅的稳态误差1ess 为：11
211k
ess K =⨯
=+
B ） ()4sin 3n t t =单独作用时，系统的方块图为
系统的闭环传递函数为：2
8(4)
()616
e s W s s s +=++ 频率特性为：2
8(4)
()616e j W j j ωωωω+=+-
当系统作用为()4sin 3n t t =时，3ω=，所以
28(34)3224(3) 2.0763163718e j j
W j j j
++=
==⨯+-+
2418
(3)arctan
arctan -0.5564327
e W j ∠=-= 系统的输出为：
24(3)sin(3(3))8.56sin(30.5564)
e e ess W j t W j t =⨯+∠=-
所以系统的误差为：18.56sin(30.5564)ess t =+- 二、（25分）
解：设系统开环零点a z -=，极点b p p ==11,0，则系统开环传递函数
()()
()
b s s a s K s G r -+=
系统闭环特征方程
()()()()02=+-+=++-=a K s b K s a s K b s s s D r r r
且已知j s 32,1±=，则
()9
,902121====⇒=--=+ab a K s s b K b K s s r r r 则
由根轨迹图的几何关系
()
()
2
2
2
2
2
1
12131+=++=-+a a a p s a
解得：4=a ，25.249==b 。

临界稳定参数3±=c ω，25.2=r K （1）根据稳定条件知，25.2>r K
（2）91-=d 会合点为重极点，921-==s s ，由幅值条件可求得
25.205
25
.11912
1111=⨯=
---=
z
d p d p d K d 1d 点系统闭环传递函数为()()
()
()
()
2
2
9425.20941++=
++=
Φs s s s K s d
三、（25分）
解：（1）由（b ）图可知，环节()s G 1由一个惯性环节和一个一阶微分环节组
成，其为：
()1
1
1++=
s Ts s G τ （2）系统的开环传递函数()()()
112++=
s s Ts K s G τ （3）由（b ）图可看出τ>T ，Nyquist 曲线如图1所示：
图1
由图可看出，Nyquist 曲线不包围（-1，j0）点，即0=N ，而且0=P ，所以系统稳定。

四、（25分） 解：取k=kv=180
五、（25分）
解：（1）
()()()()
()
11
11
10111111111111---------=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---•-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-Z -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Z -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+•-Z =e z e K e z z z z
z K s s z K s s z K s K s e z G T Ts
系统的开环脉冲传递函数()(
)
()(
)
1
111-----=e
z z e Kz z G
()()
01011112=+---+⇒=+---e z Ke e K z z G
令1
1
-+=
ωωz ，得()()022********=-+++-+-----K Ke e e e K ωω 由各项系数大于零()
1
1
1120---+<<⇒e
e K ，即3279.40<<K （2）静态速度误差系数()()1)(1lim 1
==
∞⇒=-=→K
T
e K z G z k ss z v ， 即当K=1及()t t r =时系统的稳态误差是1。

六、（25分）
解：（1）将原结构图化简可得到图2
图2
()2
2
4114X j X X X N ππ-⎪⎭
⎫
⎝⎛-= 负倒特性曲线和()ωj G c 曲线如图3所示：
由图可知，负倒特性曲线与()ωj G c 曲线有交点。

所以存在自激振荡，并
且是稳定的自激振荡。

（由不稳定区→稳定区）
图3系统()
X N 1
-
曲线和()ωj G 曲线
（2）当5.0=T 时 ()()2
15.055s s G s G c +=
=
频率特性 ()()j j j G ωωωωω5
.2515.0552
2--=-+= 由()()ωj G X N c =-
1，得 j X j 4
145.2522π
π
ωω
-
--=--
自激振荡的频率 183.3=ω 自振振幅 181.1=X 将振幅X 折算到输出端，考虑到Y X 5-=，所以
输出振幅为 236.05==
X
Y 输出频率为 183.3=ω （3）由 ()j T
j G ω
ω
ω55
2
-
-
=
可见，T 增大时则振荡频率ω也增大，同时
2
5
ω
减小，相应的X 减小，相
应地输出端振幅也减小。

同理，T 减小时，振荡频率ω减小，振幅X 增大，相应地输出端振幅也增大。

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2011年硕士研究生入学考试模拟试题（三）
科目代码： 821 科目名称： 自动控制原理
（评分参考卷）
所有答案必须做在答案题纸上，做在试题纸上无效！
一、稳定性稳态误差（25分） 1)
2) 设单位反馈系统的开环传递函数为
)
107.01)(33.01()(s s s K
s W k ++=
，要求闭环特征根的实部均小于-1，求K 值应取的范围。

二、（25分）
解：（1）系统的开环传递函数 ()()()()
426.1+++=
s s s s K s G
①开环极点01=p ，22-=p 43-=p 数目 n=3；系统有三条根轨迹；开环零点6.1-=z ；分别起始于开环极点，终止于无穷远点和零点； ②实轴上根轨迹段为()24--，，()06.1，-； ③渐近线与实轴夹角为2
π
ϕ±=a ；渐近线与实轴的交点2.2-=a σ；
④由
8.24
1
2116.11-=⇒++++=+d d d d d 分离点
根轨迹图如图1：
图1
（2）︒===45707.0arccos arccos ξθ，在根轨迹坐标原点作︒45线交根轨迹于
3.23.2j ±-。

可按下述方法计算：ja a s +-=2,1，b s =3
特征方程为()()()()0222222222322=+++++=+++b a s ab a s b a s b s a as s 特征方程又可写为()06.18623=++++K s K s s 比较同次幂系数，可求得，3.2=a ，4.1=b ，3.9=K 系统闭环传递函数()()()()
58
.106.43
.958.106.44.16.13.92
2++≈++++=
Φs s s s s s s 25.3=n ω，707.0=ζ 超调量%3.4%2
1==--
ζζπ
σe
，调整时间s t n
s 7.1~3.14
~3==
ζω
三、（25分）
解：（1）低频段渐近线的斜率为-20，故系统为Ⅰ型系统。

延长低频段渐近线，经计算
得，
1=ω时，()10040lg 20=⇒==K K L ω
由ABC ∆知， ()1lg 5lg 40646ω-=-=AB
s rad /5.0105
11
=⇒=ωω
由此可得系统的开环传递函数为
()()()
12.012100
++=
s s s s G
（2）由()12.02100
=⨯⨯≈
c
c c c A ωωωω，求得系统的穿越频率s ra
d c /3.6=ω
()()()︒-=⨯-⨯-︒-︒=+︒=473.62.0arctan 3.62arctan 90180180c ωϕγ
根据()
︒-=--︒-=1802.0arctan 2arctan 90g g g ωωωϕ，得s rad g /58.1=ω 系统在相角交界处的开环幅值为()
88.632.02100
=⨯⨯≈
g
g g g A ωωωω
幅值裕度为()
dB A K g g 36lg 20-=-=ω
（3）由于该系统不稳定，所以讨论稳态误差是无意义的。

四、（25分） 解：
五、（25分）
解：（1）系统的开环传递函数 ()()()()
426.1+++=
s s s s K s G
①开环极点01=p ，22-=p 43-=p 数目 n=3；系统有三条根轨迹；开环零点6.1-=z ；分别起始于开环极点，终止于无穷远点和零点； ②实轴上根轨迹段为()24--，，()06.1，-； ③渐近线与实轴夹角为2
π
ϕ±=a ；渐近线与实轴的交点2.2-=a σ；
④由
8.24
1
2116.11-=⇒++++=+d d d d d 分离点
根轨迹图如图1：
图1
（2）︒===45707.0arccos arccos ξθ，在根轨迹坐标原点作︒45线交根轨迹于
3.23.2j ±-。

可按下述方法计算：ja a s +-=2,1，b s =3
特征方程为()()()()0222222222322=+++++=+++b a s ab a s b a s b s a as s 特征方程又可写为()06.18623=++++K s K s s 比较同次幂系数，可求得，3.2=a ，4.1=b ，3.9=K 系统闭环传递函数()()()()
58
.106.43
.958.106.44.16.13.92
2++≈++++=
Φs s s s s s s 25.3=n ω，707.0=ζ 超调量%3.4%2
1==--
ζζπ
σe
，调整时间s t n
s 7.1~3.14
~3==
ζω
六、（25分）
解：（1）由 ()1811822
>-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=X X j X X X N ππ
得 ()8
18
12π
π
j
X X N ---=-
()()
12+=
s s k
s G
系统在A 点产生自振，此时，()︒-=∠135ωj G ，如图2所示。

图2
则()[]()812Im 2πωωω-=+-=
K j G ()[]()
812Re 2
π
ω
ωωω-=+-=K j G 解得 8
1π
ω=
=K
由()28
8
8
18
12=⇒--
=---=-
X j
j
X X N π
π
π
π
即系统在交点A 出做幅值为2，频率为1的自振。

折合到输出端有
6.328
2===
π
K c 即系统输出端自振频率为1，幅值为3.6.
（2）当K 增大时，由于()ωj G 增大，系统自振点A 向后移至A '，如图中所示，
所以系统输出端的自振频率、振幅随之增大。