湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷
长郡理科实验班招生 考试数学试卷(四)
长郡理科实验班招生 考试数学试卷（四）时量：60分钟 满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1.已知<COSA<Sin80°，则锐角A 的取值范围是（ ） A.6080A ︒<<︒ B.3080A ︒<<︒ C.1060A ︒<<︒D.1030A ︒<<︒2.设1x 、2x 是方程20x x k ++=的两个实根，若恰有22211222x x x x k ++=成立，则k 的值为（ ） A.1-B.12或1-C.12D.12-或13.一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的14，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如右图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了.（ ）A.20分钟B.22分钟C.24分钟D.26分钟4.内角的度数为整数的正n 边形的个数是（ ） A.24B.22C.20D.185.如图，已知E 、F 点分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，BD 、DF 分别交EC 于点C 、H ，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于（ ）A.26B.28C.24D.306.张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示：请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案.此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（ ） A.500元 B.600元 C.700元 D.800元二、填空题（每题5分，共30分）7.若14x x-=，则2421x x x =++ .8.如右图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从4点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 .9.若化简1x -25x -，则x 的取值范围是 .10.方程20x ax b ++=的两根为1x ，2x ，且3322121212x x x x x x +=+=+，则有序实数对(),a b 共有 对.11.如右图，直角坐标系中直线AB 交x 轴，y 轴于点()4,0A 与()0,3B -，现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过 秒后动圆与直线AB 相切.12.二次函数22y x ax a =++在12x -≤≤上有最小值4-，则a 的值为 .三、解答题（每题10分，共40分）13.已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求：代数式432234x x y x y xy xy ++++的值.14.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，直角边BC 与直角坐标系中的x 轴重合，其内切圆的圆心坐标为()0,1P ，若抛物线221y kx kx =++的顶点为A .求： （1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）用k 表示B 点的坐标； （3）当k 取何值时，60ABC ∠=︒.15.如图，在△ABC 中，AC BC =，CD 是AB 边上的高线，且有23CD AB =，又E ，F 为CD 的三等分点，求证：180ACB AEB AFB ∠+∠+∠=︒.16.已知二次函数2224y x mx m =-+-的图象与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），且与y 轴交于点D.（1）当点D 在y 轴正半轴时，是否存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形？若存.在，求出m 的值；若不存在，请说明理由；（2）当1m =-时，将函数2224y x mx m =-+-的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Ω.当直线12y x b =+与图象Ω有两个公共点时，求实数b的取值范围.数学试卷（四）参考答案一、选择题（每题5分，共30分） 1.D 2.A 3.C 4.B. 5.B 6.B 二、填空题（每题5分，共30分）7.1198. 9.14x ≤≤ 10.311.73或17312.5三、解答题（每题10分，共40分）13.解：由已知条件可知xy 和()x y +是方程217660t t -+=的两个实数根， 16t =，261111xy t x y =⎧=⇒⎨+=⎩或116x y xy +=⎧⎨=⎩当11xy =，6x y +=时，x 、y 是方程26110y y -+=的两个根 ∵36440t ∆=-<，∴此方程没有实数根.当6xy =，11x y +=时，x ，y 是方程21160u u -+=的两个根 ∴2121240∆=->，∴此方程有实数根， 这时()2222109x y x y xy +=+-= ∴432224x x y x y xy y ++++()()44222222x y x y xy x y xy x y =+++++ ()()2222222x y x y xy x y =+-++12499=14.（1）∵221y kx kx =++，∴.对称轴1x =-，易见抛物线是以Rt △ABC 的直角边AC 所在直线为对称轴，由题易得()1,1A k --，又当0x =时，1y =，则抛物线过()0,1P ， 故开口向下.（2）如图，1AC k =-，1BC CO OB OB =+=+，AB AD BD AE OB AC CE OB OB k =+=+=-+=-， 由勾股定理得()()()22211111,0111k k k k OB OB k OB OB B k k k ---⎛⎫-++=-⇒=⇒=⇒ ⎪+++⎝⎭（3）∵60ABC ∠=︒，∴tan ABC ∠=又21tan 2k ABC k-∠==210k +-=.∴12k =，22k =-.又∵0k <，∴2k =.15.证明：∵23CD AB =，且,E F 为CD 三等分点，D 为AB 中点， ∴1132CD AB =，即AD DF =，∴45AFD ∠=︒ ∴22222AF AD DF DF FE FC =+==⋅. ∴AFE CFA ∆∆:，∴CAF AEF ∠=∠. 即∴45ACD AED AFD ∠+∠=∠=︒.∴90ACD AED AFD ∠+∠+∠=︒，所以得证.16.解：令0y =得22240x mx m -+-=，解得12x m =-，22x m =+， ∴()2,0A m -，()2,0B m +，()20,4D m -. （1）∵点D 在y 轴正半轴，∴240m ->，设存在实数m ，使得BOD ∆为等腰三角形，则BO OD =，则224m m +=-， ①当20m +>时，242m m -=+，解得3x =或2x =-（舍去）； ②当20m +<时，2420m m -++=，解得1x =或2x =-（都舍去）； ③当20m +=时，点,,O B D 重合，不合题意，舍去； 综上所述，3m =，（2）当1m =-时，223y x x =+-，则()3,0A -，()1,0B 顶点为()1,4--. 因为直线12y x b =+与图象Ω由两个公共点，则当直线12y x b =+过A 点准时32b =，当直线12y x b =+过()1,0B 时，12b =-，当直线12y x b =+与223y x x =--+只有一个公共点时，7316b =，根据图像，可得1322b -<<或7316b >.“最湖南的网课”，胡哥与他的朋友们，联合出品。
长郡理科实验班招生 考试数学试卷(三)
长郡理科实验班招生 考试数学试卷（三）时量：60分钟 满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1.下列图中阴影部分面积与算式2131242-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的结果相同的是（ ）2.对于两个数，200820092009M =⨯，200920082008N =⨯.则（ ） A.M N = B.M N > C.M N < D.无法确定3.已知1sin cos 8αα⋅=，且4590α︒<<︒，则cos sin αα-的值为（ ）B. C.34D. 4.如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ）A.22a -<< 2a <≤ C.2a ≤D.2a ≤≤5.向高为H 的永瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如左图所示，那么水瓶的形状是（ ）6.如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm ，4cm 的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A 的位置变化为12A A A →→，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边21A C 与桌面所成的角恰好等于BAC ∠，则A 翻滚到2A 位置时共走过的路程为（ ）A.B.8πcmC.D.4πcm二、填空题（每题5分，共30分）7.若1x =，则((3221x x x -++的值是 .8.已知⊙O 的半径1OA =，弦AB 、AC 的长分别是、，则BAC ∠的度数是 .9.如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，30BAC ∠=︒，6AB =，将ABC ∆以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转至AB 边延长线上的点C '处，那么AC 边转过的图形（图中阴影部分）的面积是 .10.如图，两个反比例函数1k y x =和2ky x=在第一象限内的图象依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC x ⊥轴于点C ，交2C 于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积为 .11.已知,,a b c 为实数且13ab a b =+，14bc b c =+，15ac a c =+，则abcab bc ca=++ . 12.设1C ，2C ，3C ……为一群圆，其作法如下：1C 是半径为a 的圆，在1C 的圆内作四个相等的圆2C （如图），每个圆2C 和圆1C 都内切，且相邻的两个圆2C 均外切，再在每一个圆2C 中，用同样的方法作四个相等的圆3C ，依此类推作出4C ，5C ，6C …….则（1）圆2C 的半径长等于 （用a 表示）；（2）圆k C 的半径为 （k 为正整数，用a 表示，不必证明）.三、解答题（13题12分、14题14分、15题14分，共40分）13.设m 是不小于1-的实数，关于x 的方程()2222330x m x m m +-+-+=有两个不相等的实数根1x 、2x ，（1）若22126x x +=，求m 值； （2）求22121211mx mx x x +--的最大值.14.某商场将进价为2600元的彩电以3000元售出，平均每天能销售出6台。
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2013 年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷（一）一、选择题（每题 6 分，共36 分）1．（ 6 分）（ 2003?福州）不等式组：的解集是（）A．x＞﹣ 3B．x≥2C．﹣ 3＜x≤ 2D．x＜﹣ 32．（ 6 分）（ 2013?天心区校级自主招生）如图，AC＝CD＝DA＝BC＝DE，则∠ BAE 是∠ B的（倍．）A． 6B． 4C． 3D．23．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）如果x 取任何实数时，函数y＝ ax 2+bx+c都不能取正值，则必有（）A．＞0 且△≥ 0B．＜0 且△≤ 0C．＜0 且△≥ 0D．＞0 且△≤ 0a a a a 4．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）如图，将矩形沿折叠，使点B 落在直角ABCD AE梯形 AECD中位线 FG上，且 AB＝，则 AE的长为（）A．2B．3C．2D．5．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）在平面上具有整数坐标的点称为整点，若有一线段的端点分别为（2， 11），（ 11， 14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．4个B．5个C．6 个D．8 个6．（6 分）（ 2013?天心区校级自主招生）设a，b，c 是不全相等的任意实数，若x＝ a2﹣ bc，y＝ b2﹣ ca，z＝ c2﹣ ab，则x， y， z 中（）A．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0二、填空题（每题 5 分，共 30 分）7．（ 5 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）等腰三角形ABC 的底边 BC ＝ 10cm ，∠ A ＝ 120°，则△的外接圆半径为．ABCcm8．（ 5 分）（2006? 安徽）如图，AB 是半圆 O 的直径，∠ ＝ 30°，BC 为半圆的切线，且BACBC ＝ ，则圆心 O 到 AC 的距离是．9．（ 5分）（ 2006?防城港）如图，有反比例函数y ＝，y ＝﹣的图象和一个以原点为圆心， 2 为半径的圆，则S 阴影＝．10．（ 5 分）（2013? 天心区校级自主招生）如图，△中，∠A 的平分线交 于 ， ＝ABCBCD AB+ ，∠ ＝ 80°，那么∠B 的度数是．ACCD C11．（ 5分）（2013?天心区校级自主招生）如图，已知梯形ABCD 的面积为S ， AD ∥ BC ， BC＝ b ，AD ＝ a （ a ＜ b ），对角线AC 与 BD 交于点O ．若△ COD 的面积为S ，则＝．12．（ 5 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，但白球个数的2 倍比红球多，若把每个白球都记作“2”，每一个红球都记作“ 3”，则总数为 60，那么，白球有个，红球有个．三、解答题（本大题共 3 题，13、14 题 11 分，15 题 12 分，共 34 分）13．（ 11分）（ 2013?天心区校级自主招生）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k 的取值范围．14．（ 11 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）预计用1500 元购买甲商品x 个，乙商品y 个，不料甲商品每个涨价元，乙商品每个涨价 1 元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29 元．又若甲商品每个只涨价 1 元，并且购买甲商品的数量只比预定数少 5 个，那么甲、乙两商品支付的总金额是元．（ 1）求x、y的关系式；（ 2）若预计购买甲商品的个数的 2 倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求 x、y 的值．15．（ 12分）（ 2008?十堰）已知抛物线y＝﹣ ax2+2ax+b 与x 轴的一个交点为A（﹣1，0），与 y 轴的正半轴交于点C．（ 1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（ 2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2013 年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（每题 6 分，共36 分）1．（ 6 分）（ 2003?福州）不等式组：的解集是（）A．x＞﹣ 3B．x≥2C．﹣ 3＜x≤ 2D．x＜﹣ 3【考点】 CB：解一元一次不等式组．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：由①得： x≥2．由②得： x＞﹣3．∴不等式组的解集为：x≥2．故选 B．【点评】求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．2．（ 6 分）（ 2013?天心区校级自主招生）如图，＝＝＝＝，则∠是∠B 的（）AC CD DA BC DEBAE倍．A． 6B． 4C．3D．2【考点】 KH：等腰三角形的性质．【分析】由 AC＝ CD＝ DA＝ BC＝ DE，可得△ ACD是等边三角形，即∠ACD＝∠ ADC＝∠ CAD＝60°，∠B＝∠BAC，∠E＝∠DAE，又由三角形外角的性质，∠得答案．【解答】解：∵ AC＝ CD＝DA＝ BC＝DE，B与∠ BAE的度数，继而求∴△ ACD是等边三角形，∴∠ ACD＝∠ ADC＝∠ CAD＝60°，∠ B＝∠ BAC，∠ E＝∠ DAE，∵∠ ACD＝∠ B+∠ BAC，∠ ADC＝∠ E+∠ DAE，∴∠ B＝∠ BAC＝∠ DAE＝∠ E＝30°，∴∠ BAE＝∠ BAC+∠ CAD+∠DAE＝120°，∴∠ BAE＝4∠ B．故选： B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）如果x 取任何实数时，函数y＝2+ + 都不能取ax bx c正值，则必有（）A．a＞0 且△≥ 0B．a＜0 且△≤ 0C．a＜ 0 且△≥ 0D．a＞ 0 且△≤ 0【考点】 HA：抛物线与x 轴的交点．【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向下，且与x 轴无交点即可．【解答】解：欲保证x 取一切实数时，函数值y 恒为非负数，则必须保证抛物线开口向下，且与 x 轴只有一个交点，或者无交点；则 a＜0且 b2﹣4ac≤0，故选：．B【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点．①当 x 取一切实数时，函数值y 恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x 轴无交点；②当 x 取一切实数时，函数值y 恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x 轴无交点．4．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）如图，将矩形ABCD沿 AE折叠，使点 B 落在直角梯形中位线上，且＝，则的长为（）AECD FG AB AEA． 2B． 3C． 2D．【考点】LB：矩形的性质；LI ：直角梯形；LL：梯形中位线定理；PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】由题意可知∠ BEF＝∠ FEB′＝∠ EFB′，推出 EB′＝ EF＝ AF＝ FB′，即∠ AEB′＝ 60°，通过解直角三角形，即可推出AE的长度．【解答】解：∵ FG是直角梯形AECD的中位线，∠ B＝∠ AB′ E＝90°，∴FG∥BC∥ AD，∴∠ BEF＝∠ FEB′＝∠ EFB′，∴EB′＝ EF＝ AF＝ FB′，∴∠ AEB′＝60°，∵ AB＝AB′＝，∴AE＝＝．故选： D．【点评】本题主要考查翻折变换的性质、解直角三角形、等边三角形的性质，解题的关键在于证出等边三角形，再解直角三角形即可．5．（ 6 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）在平面上具有整数坐标的点称为整点，若有一线段的端点分别为（2， 11），（ 11， 14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．4个B．5个C．6 个D．8 个【考点】 D5：坐标与图形性质．【分析】根据题意，设经过点（2，11）、（11，14）的直线方程y＝ ax+b（ a≠0），利用待定系数法求得该直线方程，然后在此线段上（包括端点）寻找整点．【解答】解：设经过点（2， 11）、（ 11， 14）的直线方程y＝ ax+b（ a≠0），则，解得，，∴所求的线段所在的直线方程为y＝x+；①当 y＝12时， x＝5，即整点（5，12）在该线段上；②当 y＝13时， x＝8，即整点（8，13）在该线段上；又∵端点（ 2， 11）、（ 11，14）也是整点，∴在此线段上（包括端点）的整点共有 4 个，故选： A．【点评】本题考查了坐标与图形性质．解得该题的关键是求得此线段所在的直线的方程，根据该直线方程取y 的整数值．6．（6 分）（ 2013?天心区校级自主招生）设a，b，c 是不全相等的任意实数，若x＝ a2﹣ bc，y＝ b2﹣ ca，z＝ c2﹣ ab，则x， y， z 中（）A．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0【考点】1F：非负数的性质：偶次方．【分析】由题意 x＝ a2﹣ bc，y＝ b2﹣ ca， z＝c2﹣ab，将 x， y， z 相加，然后根据完全平方式的性质，进行求解；【解答】解：∵ x＝ a2﹣ bc， y＝ b2﹣ ca， z＝ c2﹣ ab，∴2（x+y+z）＝ 2a2﹣ 2bc+2b2﹣ 2ca+2c2﹣ 2ab＝（a2﹣ 2ab+b2）+（b2﹣ 2bc+c2）+（a2﹣ 2ca+c2）＝（ a﹣ b）2+（ b﹣ c）2+（c﹣ a）2＞0，∴x+y+z＞0，故 x， y， z 至少有一个大于0，故选： D．【点评】此题主要考查非负数的性质，即非负数大于等于0，比较简单．二、填空题（每题 5 分，共30 分）7．（ 5 分）（ 2013?天心区校级自主招生）等腰三角形ABC的底边BC＝10cm，∠ A＝120°，则△ ABC的外接圆半径为cm．【考点】KH：等腰三角形的性质；KO：含30 度角的直角三角形；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．【分析】连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD＝ DC，∠ OAC＝∠ BAC，得出等边三角形 OAC，推出∠ AOC＝60°，在△ ODC中根据勾股定理求出即可．【解答】解：连接 OA交 BC于 D，∵O是等腰三角形 ABC的外心， AB＝AC，∴∠ AOC＝∠ BOA，∵OB＝OC，∴BD＝DC， OA⊥BC，∴由垂径定理得： BD＝ DC＝5cm，∠ OAC＝∠ BAC＝×120°＝60°，∵OA＝OC，∴△ AOC是等边三角形，∴∠ DCO＝90°﹣60°＝30°∴OC＝2OD，设 OD＝a， OC＝2a，由勾股定理得：a2+52＝（2a）2，a＝，OC＝2a＝（cm）．故答案是：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．8．（ 5 分）（2006? 安徽）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝ 30°，BC为半圆的切线，且BC＝，则圆心O到 AC的距离是3．【考点】 KO：含 30 度角的直角三角形；KQ：勾股定理； M2：垂径定理； MC：切线的性质．【分析】首先过 O作 AC的垂线段，再利用三角形相似就可以求出O到 AC的距离．【解答】解：∵ BC是⊙ O的切线，∴∠ ABC＝90°，∵OD⊥AC，∴∠ ADO＝90°，∠ A公共，∴△ ABC∽△ ADO，∴，即 OD＝；在△ ABC中，∴ AC ＝2BC ＝ 8 ，AB ＝＝ 12，∴ OA ＝6＝ BO ，∴OD ＝．【点评】 主要利用了相似三角形的对应线段成比例．9．（ 5分）（ 2006?防城港）如图，有反比例函数y ＝，y ＝﹣的图象和一个以原点为圆心， 2 为半径的圆，则S 阴影＝2π．【考点】 G3：反比例函数图象的对称性．【专题】 11：计算题； 16：压轴题．【分析】 由反比例函数的对称性可得，图中的阴影部分正好为两个四分之一圆，即为一个半圆的面积．【解答】 解：由反比例函数的对称性知 S 阴影 ＝ π× 22＝ 2π．故答案为： 2π．【点评】 解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．10．（ 5 分）（2013? 天心区校级自主招生）如图，△中，∠A 的平分线交 于 ， ＝ABCBC D AB+ ，∠ ＝ 80°，那么∠B 的度数是40°．ACCD C【考点】 KD ：全等三角形的判定与性质．【专题】 11：计算题．【分析】 在 AB 上截取 AE ＝ AC ，先根据角平分线的定义得∠ BAD ＝∠ CAD ，再根据“ SAS ”可判断△ AED≌△ ACD，则 ED＝ CD，∠ AED＝∠ C＝80°，由于 AB＝AC+CD得到 EB＝ CD＝ED，即△ EBD为等腰三角形，所以∠AED＝∠ B+∠ EDB，于是∠ B＝∠ AED＝40°．【解答】解：在 AB上截取 AE＝ AC，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠ BAD＝∠ CAD，∵在△ AED和△ ACD中，∴△ AED≌△ ACD（ SAS），∴ED＝CD，∠ AED＝∠ C＝80°，∵ AB＝AC+CD，∴EB＝CD＝ ED，∴∠ B＝∠ EDB，∵∠ AED＝∠ B+∠ EDB，∴∠ B＝∠ AED＝40°．故答案为40°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“ SSS”、“SAS”、“ ASA”、“ AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质．11．（ 5分）（2013?天心区校级自主招生）如图，已知梯形ABCD的面积为S， AD∥ BC， BC＝ b， AD＝ a（ a＜ b），对角线AC与 BD交于点O．若△ COD的面积为S，则＝．【考点】 LH：梯形； S9：相似三角形的判定与性质．【分析】依据题意可先作出简单的图形，可设S△AOD的面积为 S1，S△COB的面积为 S2，由题中条件建立关于S1? S2的方程，解方程得出S1? S2之间的关系，进而可求解a、 b 之间的关系．【解答】解：如图，设 S△AOD的面积为 S1， S△COB的面积为 S2，由 S 四边形ABCD＝ S，∵ AB∥CD，∴ S△ABC＝ S△DBC，∴S△ABC﹣ S△BOC＝ S△BCD﹣S△COB，∴S△AOB＝ S△DOC＝ S，得 S1+S2＝S﹣2× S＝ S，①∵＝＝，2∴ S1? S2＝ S△DOC? S△AOB＝S ，②联立①、②，∵△ AOD∽△ COB，∴＝，③∵ a＜ b，∴ S1＜ S2，解方程组得S1＝S， S2＝S，代入③得＝．故答案为．【点评】本题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定及性质以及面积的问题，能够通过方程的思想建立等式，进而求解结论．12．（ 5 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，但白球个数的 2 倍比红球多，若把每个白球都记作“2”，每一个红球都记作“ 3”，则总数为 60，那么，白球有9 个，红球有14个．【考点】 CE：一元一次不等式组的应用．【分析】设有白球x 个，有红球y个，根据条件就有x＜， 2x＞， 2x+3 ＝ 60，从而构y y y成一个不等式组，求出其解即可．【解答】解：设有白球x 个，有红球y 个，由题意，得，由③，得x＝④，把④代入①，得y＞12．把④代入②，得y＜15．∵ x、y 为整数，y＝13，14，当 y＝13时， x＝舍去，当 y＝14时， x＝9，∴白球 9 个，红球 14 个故答案为： 9， 14．【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答本题时根据条件建立不等式是解答本题的关键．三、解答题（本大题共 3 题，13、14 题 11 分，15 题 12 分，共 34 分）13．（ 11 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程的解，求实数k 的取值范围．【考点】 AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；B3：解分式方程．【专题】 32：分类讨论．【分析】先把原方程化为2x2﹣3x﹣（k+3）＝ 0，一定是一个一元二次方程，在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程的解，因而可能方程有两个相同的实根，求得即可进行判断；或解方程得到的两个根中有一个是方程的增根，即x ＝ 1是方程 22﹣ 3﹣（+3）x x k＝ 0 的解，即可求得方程的另一解，然后进行判断；或方程有两个异号得实数根；或其中一根是 0，即可求得方程的另一根，进行判断．因而这个方程中再分四种情况讨论：（1）当△＝ 0 时；（2）若x＝ 1 是方程①的根；（3）当方程①有异号实根时；（4）当方程①有一个根为 0 时，最后结合题意总结结果即可．【解答】解：原方程可化为2x2﹣ 3x﹣（k+3）＝ 0，①（ 1）当△＝ 0 时，，满足条件；2﹣ 3× 1﹣（k+3）＝ 0，k＝﹣ 4；（ 2）若x＝ 1 是方程①的根，得 2×1此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；（ 3）当方程①有异号实根时，且≠1即k ≠﹣ 4，得k＞﹣ 3，此时原x方程也只有一个正实数根；（ 4）当方程①有一个根为0 时，k＝﹣ 3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．综上所述，满足条件的k 的取值范围是或 k＝﹣4或 k≥﹣3．【点评】主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点要分情况讨论．14．（ 11 分）（ 2013? 天心区校级自主招生）预计用1500 元购买甲商品x 个，乙商品y 个，不料甲商品每个涨价元，乙商品每个涨价 1 元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29 元．又若甲商品每个只涨价 1 元，并且购买甲商品的数量只比预定数少 5 个，那么甲、乙两商品支付的总金额是元．（ 1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2 倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y 的值．【考点】 CE：一元一次不等式组的应用．【分析】（ 1）设出必需的未知量，找出等量关系为：甲原单价×甲原数量+乙原单价×乙原数量＝ 1500，（甲原单价 +）×（甲原数量﹣10） +（乙原单价 +1）×乙原数量＝1529；（甲原单价 +1）×（甲原数量﹣5） +（乙原单价 +1）×乙原数量＝．（ 2）结合（1）得到的式子，还有205＜ 2 倍甲总价+乙总价＜210，求出整数解．【解答】解：（ 1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和 b 元，则原计划是ax+by ＝ 1500，①由甲商品单价上涨元、乙商品单价上涨 1 元，并且甲商品减少10 个的情形，得（a+）（ x ﹣ 10）+（b+1）y＝ 1529 ．②再由甲商品单价上涨 1 元，而数量比预计数少 5 个，乙商品单价上涨仍是 1 元的情形，得（a+1）（x﹣ 5）+（b+1）y＝，③由①、②、③得④⑤④﹣⑤× 2 并化简，得x+2y＝186．（2）依题意，有 205＜ 2x+y＜ 210 及x+2y＝186， 54＜y＜由 y 是整数，得 y＝55，从而得 x＝76．答：（ 1）x、y的关系x+2y＝ 186；（ 2）x值为 76，y值为 55．【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到合适的关系式．当必需的量没有时，应设出未知数，在做题过程中消去无关的量．15．（ 12 分）（ 2008? 十堰）已知抛物线y ＝﹣2+2+与x轴的一个交点为（﹣ 1， 0），ax ax b A与 y 轴的正半轴交于点C．（ 1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（ 2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】 HF ：二次函数综合题．【专题】 16：压轴题．【分析】（ 1）抛物线 y ＝﹣ ax 2 +2ax +b 的对称轴，可以根据公式直接求出，抛物线与 x 轴的另一交点与 A 关于对称轴对称，因而交点就可以求出．（ 2） AB 的长度可以求出，连接 PC ，在直角三角形 OCP 中，根据勾股定理就可以求出 C点的坐标，把这点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求出解析式．（ 3）本题应分或 为对角线和以 AB 为对角线三种情况进行讨论，当以或 为ACBCAC BC对角线时，点在x 轴上方，此时∥ ，且＝ ．就可以求出点的坐标．当以ABMCM AB CM AB M为对角线时，点M 在 x 轴下方易证△ AOC ≌△ BNM ，可以求出点 M 的坐标．【解答】 解：（ 1）对称轴是直线： x ＝ 1，点 B 的坐标是（ 3， 0）．（ 2 分）说明：每写对 1 个给（ 1 分），“直线”两字没写不扣分．（ 2）如图，连接 PC ，∵点 A 、 B 的坐标分别是 A （﹣ 1，0）、 B （ 3， 0），∴ AB ＝4．∴ PC ＝ AB ＝ × 4＝ 2在 Rt △POC 中，∵ OP ＝PA ﹣ OA ＝2﹣ 1＝ 1，∴ OC ＝ ，∴ b ＝（3 分）当 x ＝﹣ 1， y ＝ 0 时，﹣ a ﹣ 2a +＝ 0∴ a ＝（ 4 分）∴ y＝﹣x2+x+．（5分）（ 3）存在．（ 6 分）理由：如图，连接AC、 BC．设点 M的坐标为 M（ x， y）．①当以 AC或 BC为对角线时，点M在x 轴上方，此时CM∥ AB，且CM＝ AB．由（ 2）知，AB＝4，∴ |x|＝4， y＝ OC＝．∴ x＝±4．∴点M的坐标为M（4，）或（﹣4，）．（ 9 分）说明：少求一个点的坐标扣（ 1 分）．②当以AB为对角线时，点M在x 轴下方．过 M作 MN⊥ AB于 N，则∠ MNB＝∠ AOC＝90度．∵四边形 AMBC是平行四边形，∴ AC＝MB，且 AC∥ MB．∴∠ CAO＝∠ MBN．∴△ AOC≌△ BNM．∴BN＝AO＝1， MN＝ CO＝．∵ OB＝3，∴0N＝3﹣ 1＝ 2．∴点 M的坐标为 M（2，﹣）．（12 分）综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、 B、 C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为 M1（4，），M2（﹣4，），M3（2，﹣）．说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分【点评】本题主要考查了抛物线的轴对称性，是与勾股定理相结合的题目．难度较大．考点卡片1．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0 时，则其中的每一项都必须等于0．2．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程22ax +bx+c＝0（ a≠0）的根与△＝ b ﹣4ac 有如下关系：①当△＞ 0 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝ 0 时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜ 0 时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．3．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：2的两根时， x1+x2＝﹣ p，x1， x2是方程 x +px+q＝0x1x2＝ q，反过来可得p＝﹣（ x1+x2），q＝ x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1， x2是一元二次方程ax2+bx+c＝ 0（a≠ 0）的两根时，x1+x2＝， x1 x2＝，反过来也成立，即＝﹣（ x1+x2），＝ x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，22如求，x1+x2等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0 这两个前提条件．4．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．5．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．6．一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x 轴的距离与纵坐标有关，到 y 轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．8．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线＝﹣；②一、三象限的角平分线＝；对称中心是：坐标原点．YX Y X9．抛物线与 x 轴的交点求二次函数y ＝2+ +（，，是常数，≠ 0）与x轴的交点坐标，令＝ 0，即2+ + ax bx c a b c a y ax bx c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数22y＝ ax +bx+c（ a， b，c 是常数， a≠0）的交点与一元二次方程ax+bx+c＝ 0根之间的关系．△＝ b2﹣4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数．△＝ b2﹣4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝ b2﹣4ac＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝ b2﹣4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（ x﹣ x1）（ x﹣ x2）（ a， b， c 是常数， a≠0），可直接得到抛物线与 x 轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．10．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．11．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．12．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．13．含 30 度角的直角三角形（1）含 30 度角的直角三角形的性质：在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．14．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a， b，斜边长为c，那么 a2+b2＝ c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝ c2的变形有： a＝，b＝及c＝．（4）由于a2 +b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．15．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．16．梯形（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．17．直角梯形直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．角：有两个内角是直角．过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法．18．梯形中位线定理（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．（3）梯形面积与中位线的关系：梯形中位线的 2 倍乘高再除以 2 就等于梯形的面积，即梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．19．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论 3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．20．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．21．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．。
湖南长沙长郡中学初一实验班招生考试数学试题
( )＇ ()( 3 - 2 ) cm ，⊙O 与这两个圆都相切，3 + 2 cm 和12、以 O 为圆心的两个同心圆的半径分别为长郡中学初一理科实验班招生试卷(时量： 60 分钟；满分：100 分 注意合理分配时间 )一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题 6 分，共 36 分）１、平面内有 4 条相交直线，它们的交点最多有 m 个，最少有 n 个，则 m －n=（）A ．7B ．5C ．4D ．3 2、若（x －1）2的算术平方根是x －1，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1 B ．x≤1 C ．x ＞1 D ．x≥13、直角三角形纸片的两直角边长分别为 6，8，现将 △ A BC 如图那样折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE ，则 CE 的长为（）CA ．1B ． 2C ．74 D ．32 68E4、下列五个命题：（第 3 题）BA（1）若直角三角形的两条边长为 3 和 4，则第三边长是 5； D（2） a 2 ＝a （a ≥0）；（3）若点 P （a ，b ）在第三象限，则点 P （－a ，－b ＋1）在第一象限；（4）顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形； （5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等。
其中正确命题的个数是（ ） A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个5、已知抛物线 y = x 2 + bx + c 的系数满足 2b - c = 5 ，则这条抛物线一定经过点（)A ． (-2,-1)B ． (-1,-2)C ． (2,-1)D ． (-2,1) 6、关于 x 、y 的方程 x 2+xy+y 2=29 的整数解（x 、y ）的组数为（ ）A 、2组B 、3组C 、4组D 、无穷多组二.填空题：(每题 5 分，共 30 分)7、观察分析下列数据，寻找规律：已知一列实数１、 5 、3、 13 、 17 、……，则第n 个数是__________； 8、如图所示，菱形 A BCD 边长为 a ，点 O 在对角线 AC 上一点，且 OA=a ，OB=OC=OD=1,则 a 等于（ ） 9、如图，在 Rt ∆ABC 中，D 为斜边 AB 上一点，AD ＝5，BD ＝4，四边形 CEDF 为正方形，则图中阴影部 分的面积为 ；第 8 题图第 9 题图第 10 题图10、如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，动点 P 从点 B 出发，沿梯形的边由 B→C→D→A 运动，设点 P 运动的路程为 △x ， ABP 的面积为 y ，把 y 看作 x 的函数，函数图象如图 2 所示，则△ABC 的 面积为111、若不论 x 取何值时，分式总有意义，则 m 的取值范围是_________x 2 - 2 x + m - 32 21则⊙O 1 的半径是 （仔细想想）三、解答题（本大题共3题，13、14题11分，15每题12分，共34分）13、某仪器厂计划制造A、B两种型号的仪器共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表：成本（万元/套）售价（万元/套）A2530B2834（1）该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？（2）该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？（3）根据市场调查，每套B型仪器的售价不会改变，每套A型仪器的售价将会提高a万元（a>0），且所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造才能获得最大利润？14、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000千米后该轮胎报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000千米后该轮胎报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。
2019年湖南省长沙市天心区长郡中学实验班自主招生数学试卷(理科)含答案
2019年湖南省长沙市天心区长郡中学实验班自主招生数学试卷（理科）一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯形、圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）A．B．C．D．2．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，且交AB于E，DB与CE相交于O，已知AB＝6，BC＝4，则等于（）A．B．C．D．不一定3．（6分）已知△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）A．24B．20C．15D．不确定4．（6分）已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（）A．15B．24C．25D．265．（6分）在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（）ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ10813A．S＝24B．S＝30C．S＝31D．S＝396．（6分）如图，长方形木板的长为4cm，宽为3cm，某同学使之在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上的一块小木板挡住，使木板与桌面成30°，则点A滚到A2位置时走过的路径总长为（）A．10cm B．3.5πcm C．4.5πcm D．2.5πcm二、填空题：（每题5分，共30分）7．（5分）方程组的解是．8．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则化简﹣|b+c|﹣|a﹣c|＝．9．（5分）将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为．10．（5分）如图，△OP1A1，△A1P2A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y＝的图象上，斜边OA1、A1A2都在横轴上，则点A2的坐标是．11．（5分）等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到P A与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为秒．12．（5分）若p＝，q＝，则＝．三、解答题（本大题共3题，13、14题11分，15每题12分，共34分）13．（11分）刘老师装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，我市盛世商贸城装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，请你帮助刘老师制定一种购买方案，使购买瓷砖所付费用最少．14．（11分）已知平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）若AB＝10，AB与CD间距离为8，AE＝EB，BF＝FC，求△DEF的面积．（2）若△ADE，△BEF，△CDF的面积分别为5，3，4，求△DEF的面积．15．（12分）如图，已知直线y＝﹣m（x﹣4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，M是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．（1）证明：∠MCN＝90°；（2）设OM＝x，AN＝y，求y关于x的函数解析式；（3）若OM＝1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．2019年湖南省长沙市天心区长郡中学实验班自主招生数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯形、圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵5种图象中，等腰梯形、圆、等腰三角形、菱形4种是轴对称图形，∴一次过关的概率是．故选：D．2．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，且交AB于E，DB与CE相交于O，已知AB＝6，BC＝4，则等于（）A．B．C．D．不一定【解答】解：∵CE是∠DCB的平分线，DC∥AB∴∠DCO＝∠BCE，∠DCO＝∠BEC∴∠BEC＝∠BCE∴BE＝BC＝4∵DC∥AB∴△DOC∽△BOE∴OB：OD＝BE：CD＝2：3∴＝故选：B．3．（6分）已知△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）A．24B．20C．15D．不确定【解答】解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，∵周长为24，AB＝10，∴AC+BC＝14，AC2+BC2＝102，∴2×AC×BC＝（AC+BC）2﹣（AC2+BC2）＝142﹣102＝4×24，∴S△ABC＝AC×BC＝24．故选：A．4．（6分）已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（）A．15B．24C．25D．26【解答】解：根据以上分析不含阴影的矩形个数为26个．故选：D．5．（6分）在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（）ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ10813A．S＝24B．S＝30C．S＝31D．S＝39【解答】解：如图，b x a108y13∵每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S．∴x+10+y＝8+y+13，∴x＝11，∵b+11+a＝8+10+a，∴b＝7，∴S＝b+10+13＝30．故选：B．6．（6分）如图，长方形木板的长为4cm，宽为3cm，某同学使之在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上的一块小木板挡住，使木板与桌面成30°，则点A滚到A2位置时走过的路径总长为（）A．10cm B．3.5πcm C．4.5πcm D．2.5πcm【解答】解：∵长方形长为4cm，宽为3cm，∴AB＝5cm，第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，此次点A走过的路径是＝π（cm），第二次是以C为旋转中心，4cm为半径旋转60°，此次走过的路径是＝π（cm），∴点A两次共走过的路径是+π＝π（cm）．故选：B．二、填空题：（每题5分，共30分）7．（5分）方程组的解是．【解答】解：，∵①+②得，x﹣y＝1③；①﹣②得，x﹣3y＝﹣1④，∴③④联立得，，解得．故答案为：．8．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则化简﹣|b+c|﹣|a﹣c|＝2c．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴a﹣b＞0，b+c＜0，a﹣c＞0，∴原式＝﹣|b+c|﹣|a﹣c|＝|a﹣b|﹣|b+c|﹣|a﹣c|＝a﹣b+b+c﹣（a﹣c）＝a﹣b+b+c﹣a+c＝2c．故答案为2c．9．（5分）将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为576．【解答】解：根据以上分析：小正方体的棱长是2，表面积是2×2×6＝24，恰有2面涂有颜色的小正方体共有24个．则这样的小正方体表面积的和是24×24＝576．故答案为576．10．（5分）如图，△OP1A1，△A1P2A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y＝的图象上，斜边OA1、A1A2都在横轴上，则点A2的坐标是（8，0）．【解答】解：设A1坐标为（a，0），A2为（b，0），∵△OP1A1，△A1P2A2是等腰直角三角形，∴P1坐标为（，），P2坐标为（，），∵点P1在函数y＝的图象上，∴，∴a1＝8，a2＝﹣8（不合题意，舍去），∴P2坐标为（，）∵点P2在函数y＝的图象上，∴＝，∴b1＝8，b2＝﹣8（不合题意，舍去），∴A2为（8，0）．故答案为（8，0）．11．（5分）等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到P A与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为7或25秒．【解答】解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，∵BC＝8cm，∴BD＝CD＝BC＝4cm，∴AD＝＝3，分两种情况：当点P运动t秒后有P A⊥AC时，∵AP2＝PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+32＝（PD+4）2﹣52∴PD＝2.25，∴BP＝4﹣2.25＝1.75＝0.25t，∴t＝7秒，当点P运动t秒后有P A⊥AB时，同理可证得PD＝2.25，∴BP＝4+2.25＝6.25＝0.25t，∴t＝25秒，∴点P运动的时间为7秒或25秒．12．（5分）若p＝，q＝，则＝．【解答】解：∵p＝﹣，q＝+，∴p2+q2＝（﹣）2+（+）2＝16，pq＝（﹣）（+）＝2，则+＝＝＝．故答案为：．三、解答题（本大题共3题，13、14题11分，15每题12分，共34分）13．（11分）刘老师装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，我市盛世商贸城装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，请你帮助刘老师制定一种购买方案，使购买瓷砖所付费用最少．【解答】解：设购买大包装x包，小包装y包，根据题意，得50x+30y＝480．因为x、y为非负整数，所以方程的解为或或或．当x＝0，y＝16时，所付费用为：0×30+16×20＝320（元）；当x＝3，y＝11时，所付费用为：3×30+11×20＝310（元）；当x＝6，y＝6时，所付费用为：6×30+6×20＝300（元）；当x＝9，y＝1 时，所付费用为：9×30+1×20＝290（元）．所以购买大包装9包，小包装1包所付费用最少，费用为290元．14．（11分）已知平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）若AB＝10，AB与CD间距离为8，AE＝EB，BF＝FC，求△DEF的面积．（2）若△ADE，△BEF，△CDF的面积分别为5，3，4，求△DEF的面积．【解答】解：（1）∵AB＝10，AB与CD间距离为8，∴S▱ABCD＝80，∵AE＝BE，BF＝CF．∴S△AED＝S▱ABCD，S△BEF＝S▱ABCD，S△DCF＝S▱ABCD，∴S△DEF＝S▱ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DCF＝S▱ABCD＝30；（2）设AB＝x，AB与CD间距离为y，由S△DCF＝4，知F到CD的距离为，则F到AB的距离为y﹣，∴S△BEF＝BE（y﹣）＝3，∴BE＝，AE＝x﹣＝，S△AED＝AE×y＝××y＝5，得（xy）2﹣24 xy+80＝0，xy＝20或4，∵S▱ABCD＝xy＞S△AED＝5，∴xy＝4不合，∴xy＝20，S△DEF＝S▱ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DCF＝20﹣5﹣3﹣4＝8．15．（12分）如图，已知直线y＝﹣m（x﹣4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，M是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．（1）证明：∠MCN＝90°；（2）设OM＝x，AN＝y，求y关于x的函数解析式；（3）若OM＝1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．【解答】证明：（1）∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径，∴AT、OM是⊙C的切线，又∵MN切⊙C于点P，∴∠CMN＝∠OMN，∠CNM＝∠ANM，∵OM∥AN，∴∠ANM+∠OMN＝180°，∴∠CMN+∠CNM＝∠OMN+∠ANM＝（∠OMN+∠ANM）＝90°，∴∠MCN＝90°；解：（2）由（1）可知：∠1+∠2＝90°，而∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3；∴Rt△MOC∽Rt△CAN，∴＝，∵直线y＝﹣m（x﹣4）交x轴于点A，交y轴于点B，∴0＝﹣m（x﹣4），∴x＝4，∴A（4，0），∴AC＝CO＝2，∵OM＝x，AN＝y，∵＝，∴y＝；（3）∵OM＝1，∴AN＝y＝4，此时S四边形ANMO＝10，∵直线AB平分梯形ANMO的面积，∴△ANF的面积为5过点F作FG⊥AN于G，则FG•AN＝5，∴FG＝，∴点F的横坐标为4﹣＝，∵M（0，1），N（4，4），∴直线MN的解析式为y＝x+1，∵F点在直线MN上，∴F点的纵坐标为y＝，∴F（，），∵点F又在直线y＝﹣m（x﹣4）上，∴＝﹣m（﹣4），∴m＝．。
长郡理科实验班招生 考试数学试卷(一)
最全长郡理科实验班招生考试数学试卷（一）时量：60分钟满分：100分一选择题（每题5分，共30分）l.已知α为实数，则代数式27−12α＋2a2的最小值为（）A.0B.3C.33D.92.若n为整数，则能使n+1n−1也为整数的n的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个·3.已知α，b为实数，且αb=1，设M=a a+1+b b+1,N=1a+1+1b+1,则M、N的大小关系是A..M>NB.M=NC.M<N.D.无法确定4.一张圆桌旁有四个座位如图，A,B,C,D四人随机坐在四个座位上，则A与D相邻的概率是（）A.23B12C14 D.295.如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A.2πB.πC.23D.46.如图，平面中两条直线l1，和l2相交子点0，对于平面上任意一点M，若P,q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p1,q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，有以下几个结论：①“距离坐标”是（0,1)的点有1个；②“距离坐标”是（5，的的点有4个；③“距离坐标”是（α，α），（α为非负实数）的点有4个．其中正确的有其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（每题5分，共30分）7.已知α，b,C是实数，且α2+6b＝-17,b2+8c=-23,c2+2α＝14，则α＋b+c=.8.已知关于 的不等式（2α-b）＞b的解集是 棨−12，则a b b+-36a3=.9.对正实数α，b作定义a∗b=ab−a+b，若4*x=44，则x的值是.10.在△ABC中，AB=4C,∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E 两点，连结CD，如果AD=l，则tan∠BCD的值为.11.已知：如图，在直角△ABC中，AD=DE=EB，且CD2+CE2=1，则斜边AB的长为12.小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的是基叫做中裆题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道．三、解答题（每题10分，共40分）13.某商场将进价为2600元的彩电以3000元售出，平均每天能销售出6台．为丁配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种彩电的售价每降低50元，平均每天就能多售出3台．(1）商场要想在这种彩电销售中每天盈利3600元，同时又要使百姓得到最卢大实惠，每台彩电应降价多少元？(2）每告彩电降价多少元时，商场每天销售这种彩电的利润最高？最高利润是多少？14.已知点M,N的坐标分别为（0,1),(0,-1），点P是抛物线y=14x2上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=14x2的另一个交点为点Q，连接NP、NQ，求证：∠PNM=∠QNM.15、已知关于x的方程（m2−1）x2−33m−1+18=0有两个正整数根（m是整数），△ABC的三边a、b、c满足c=23，m2+a2m−8a=0，m2+b2m−8b=0，求：（1）m的值；（2）△ABC的面积；16.直线y=x−10与x轴交于A点，点B在第一象限，且AB=35，以cos∠OAB=25 (1）若点C是点B关于x轴的对称点，求过0、C、A三点的抛物线的表达式(2）在(1）中的抛物线上是否存在点P(P点在第一象限），使得以点P、0、C、A为顶点的囚边形是梯形？若存在，求出点O的坐标；若不存在，请说明理由．(3）若将点O、A分别变换为点Q(-4m,0),R(6m,0）（m 0且为常数）），设过Q、R两点且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线（开口向上）与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S∆QNM，△QNR的面积为S∆QNR，求S∆QNM:S∆QNR的数学试卷（一）参考答案一、选择题（每题5分，共30分）1.B2.D3.B4.A5.C6.B二、填空题（每题5分，共30分）7.-88.-39.3610.12 11.55312.20三、解答题（每题10分，共40分）13.解：设每台彩电降价x 元（0<x<400），商场销售这种彩电平均每天的利润为y 元，则有y =3000−2600−x 6+=350（x 2−−4000）……………………4分(1）因为要每天盈利3600元，则y=36002−300x −4000=3600所以x 2−300x +2000=0，解得x=100或俨200,又因为要使百姓得到最大实惠，则每台要降价200元．…………………………7分(2)∵y =350x 2−300x −4000=350（x −150）2+3750∴当x=150时，y 取得最大值为3750,所以每台彩电降价150元时，商场的利润最高为3750元．………………10分14.解：（1）设点P 的坐标为（x 0，14x 02），则PM===14x02+1；……………………4分（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为H、R，由（1）知PH=PM,MN、QR都垂直于直线y=-1，所以PH//MH//QR，于是QM EN=MP NH,所以QR RN=PH HN,因此，Rt∆PHN∽Rt∆QNM.………………………………9分于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM。
长郡理科实验班招生 考试数学试卷(二)
长郡理科实验班招生 考试数学试卷（二）时量：60分钟 满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1.如右图，分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A.3个或4个B.4个或5个C.5个或6个D.6个或7个2.已知二次函数2y ax bx c =++，且0a <，0a b c ++>，则一定有（ ） A.240b ac -> B.240b ac -= C.240b ac -≥D.240b ac -≤3.对于任意的两个实数对(),a b 和(),c d ，规定： ①()(),,a b c d =，当且仅当a c =，b d =； ②运算“⊗”为：()()(),,,a b c d ac bd bc ad ⊗=+-； ③运算“○-”为：(),a b ○-()(),,c d a c b d =--. 设,R p q ∈，若()()()1,2,11,2p q ⊗=，则()1,2○-(),p q =（ ） A.()2,2--B.()3,4C.()2,1D.()1,2--4.平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m 个，最少有n 个，则m n +等于（ ）A. 36B.37C.38D.395.把26个英文字母依照轴对称性和中心对称性分成5组，现在还有5个字母D 、M 、Q 、x 、Z 请你按原规律补上，其顺序依次为（ ） ①FRPJLG ②HIO③NS ④BCKE ⑤VATYWUA.QXZMDB.DMQZXC.ZXMDQD.QXZDM6.如图所示，单位圆（半径为1的圆）中弧AB 的长为x ，函数y 表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数图像是（ ）二、填空题（每题5分，共30分）7.已知，42a b n +=+，1ab =，若221914719a ab b ++的值为2009，则n = . 8.已知点(),P x y 位于第二象限，并且26y x ≤+，x 、y 为整数，则点P 的个数是 .9.如图，60ACB ∠=︒，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为 .10.已知⊙O 的半径1OA =，弦AB 、AC 的长分别是、BAC ∠的度数是 .11.五个学生每人写了一张贺卡，交给老师，老师将这五张贺卡随机分给这五个学生，若大家拿到的贺卡都不是自己写的，则有 种不同的分法. 12.已知：实常数a b c d 、、、同时满足下列两个等式：（1）sin cos 0a b c θθ+-=；（2）cos sin 0a b d θθ-+=（其中θ为任意锐角），则a b c d 、、、之间的关系是： .三、解答题（13题12分、14题14分、15题14分，共40分）13.有一种密码把英文按字母分解，英文中的a b c z L ，，，，这26个字母（不论大小写）依次用1，2，3，…，26这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：()2612113262x x x x y ⎧⎡⎤+⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨+⎡⎤⎪+⎢⎥⎪⎣⎦⎩其中是不超的正奇其中是不超的正偶）过数过数；已知对于任意的实数x ，记号[]x 表示不超过x 的最大整数.将英文字母转化成密码，如81813172+⎡⎤→+=⎢⎥⎣⎦，即h 变成q ，再如1111162⎡⎤→+=⎢⎥⎣⎦，即k 变成f 根据上述设密码的规则，请你破译下列一组密码：etucucjiw ej ncjiw wcabgcu ，现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程.14.如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，DE DB ⊥交AB 于点E ，设⊙O 是BDE ∆的外接圆.（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若2BD=，求AE的长.DE=，415.据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，.其移动速度V（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点()T t O作2横轴的垂线L，梯形OABC在直线L左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程S（km）.（1）当t=4时，求S的值；（2）将S随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.数学试卷（二）参考答案一、选择题（每题5分，共30分） 1.B 2.A 3.A 4.B 5.D 6.D 二、填空题（每题5分，共30分）7.2或-38.69.10.15或75 11.4412.2222a b c d +=+三、解答题（13题12分、14题14分、15题14分，共40分） 13.略解：由题意，密码etwcucjw 对应的英语单词是interest ， ej 对应的英语单词是is ，ncjw 对应的英语单词是best ，wcabgcu 对应的英语单词是teacher.所以，翻译出来的一句英语是Interest is best teacher ，意思是“兴趣是最好的老师”。
长郡中学理科实验班招生考试数学试卷
长郡中学理科实验班招生考试数学试卷满分：100 时量：70min一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分） 1．函数y ＝1x -图象的大致形状是 （ ）A B C D2．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为 （ ）A 、21B 、π63C 、π93D 、π33 3．满足不等式3002005<n的最大整数n 等于 （ ）（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11 4．甲、乙两车分别从A ，B 两车站同时开出相向而行，相遇 后甲驶1小时到达B 站，乙再驶4小时到达A 站. 那么， 甲车速是乙车速的（A ）4倍 （B ）3倍 （C ）2倍 （D ）1.5倍 5．图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3，4，那么，阴影三角形的面积为 （ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）86．如图，AB ，CD 分别是⊙O 的直径和弦，AD ，BC 相交于点E ，∠AEC=α， 则△CDE 与△ABE 的面积比为 （ ）（A ）cos α （B ）sin α （C ）cos 2α （D ）sin 2α7．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a ，奶油杯里的咖啡量为b ，那么a 和 b 的大小为 （ ） （A ）b a > （B ）b a < （C ）b a = （D ）与勺子大小有关8．设A ，B ，C 是三角形的三个内角，满足B C B A 23,53<>，这个三角形是 （ ） （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）都有可能 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）9． 用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：1＋□＋□=9＋□＋□=8＋□＋□=6＋□＋□10．如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O 是正三角形的中心，则四边形OABC 的面积等于 ______ . 11．计算：622633++++= ________ .yxOy xOy xOyxO……………..………….密………………..…………….封……………………………..线…………………….12．五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A 队已赛了4场，B 队已赛了3场，C 队已赛了2场，D 队已赛了1场，那么到这天为止一共已经赛了 __ 场，E 队比赛了 ___ 场.13．已知∠AOB=30°,C 是射线OB 上的一点，且OC=4，若以C 为圆心，半径为r 的圆与射线OA 有两个不同的交点，则r 的取值范围是_____________ 14．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若AD=31AC ，CE=31BC ，则∠1 __ ∠2 （填“>”、“<”或“=”）三．解答题（共38分） 15. （１２分）今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B ，两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？１６．（１２分）如图，ABC △是O 的内接三角形，AC BC =，D 为O 中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =． （1）求证：AE BD =；（2）若AC BC ⊥，求证：2AD BD CD +=．（第14题）ＥＡＯＢ１７．（１４分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．参考答案选择题 D C D C C C C B 9． 110．33 11． 26 12． 6场，2场 13．2r <≤ 14．＝1５．（１）解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为(50)x -个，依题意，得：8050(50)34904090(50)2950x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤ ，解这个不等式组，得：3331x x ⎧⎨⎩≤≥，3133x ∴≤≤ x 是整数，x ∴可取313233，，，∴可设计三种搭配方案： ①A 种园艺造型31个 B 种园艺造型19个 ②A 种园艺造型32个 B 种园艺造型18个 ③A 种园艺造型33个 B 种园艺造型17个．（2）应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元 １６．证明：（1）在ABC △中，CAB CBA ∠=∠．在ECD △中，CAB CBA ∠=∠．CBA CDE ∠=∠，（同弧上的圆周角相等），ACB ECD ∴∠=∠． ACB ACD ECD ADE ∴∠-∠=∠-∠．ACE BCD∴∠=∠． 在ACE △和BCD △中，ACE BCD CE CD AC BC ∠=∠==；； ACE BCD ∴△≌△．AE BD ∴=． （2）若AC BC ACB ECD ∠=∠⊥，．9045ECD CED CDE ∴∠=∴∠=∠=，． DE ∴=，又AD BD AD EA ED +=+=AD BD ∴+=１７．解：（1）t =（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P 到达终点C ． 此时，QC=35×3=105，∴BQ 的长为135－105=30．（2）如图8，若PQ ∥DC ，又AD∥BC ，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD=QC ，由QC=3t ，BA+AP=5t 得50＋75－5t=3t，解得t=1258．经检验，当t=1258时，有PQ ∥DC ．（3）①当点E 在CD 上运动时，如图9．分别过点A 、D 作AF ⊥BC 于点F ，DH ⊥BC 于点H ，则四边形 ADHF 为矩形，且△ABF ≌△DCH ，从而FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．Q CDH=4t．又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·CH（注：用相似三角形求解亦可）QE·QC=6t2；∴S=S⊿QCE =12②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC－CH=3t－30．(ED＋QC)DH =120 t－600．∴S= S梯形QCDE =12（4）△PQE能成为直角三角形．。
长郡理科实验班招生考试数学试卷27
数学试题27时间：75分钟 满分：100分一． 填空题：（每小题4分，本题满分32分）1．化简：22193m m m -=-+ ;2．人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上１级台阶或２级台阶，小聪发现当台阶数分别为１级、２级、３级、４级、５级、６级、７级……逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为１、２、３、５、８、13、21……这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这９级台阶共有 种不同方法．3．在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为________________ 4．若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 .5. 如图，直线PA PB ，是O e 的两条切线，A B ，分别为切点，120APB =︒∠，10OP = 厘米，则弦AB 的长为 厘米6.一青蛙在如图8×8的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点（小正方形的顶点）上跳跃，青蛙每次所跳的最远距离为5，青蛙从点A 开始连续跳六次正好跳回到点A ，则所构成的封闭图形的面积的最大值是________。
7. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 所对弧的度数为120°.∠ABC 、∠ACB 的角平分线分别交于AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F.以下四个结论：①1cos 2BFE ∠=；②BC BD =；③EF FD =； ④2BF DF =.其中结论一定正确的序号数是8．在直角坐标系中，已知A （1，1），在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有 个 二．选择题：（每小题4分，本题满分32分）9. 初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元．在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数( )Ａ．至多６人 Ｂ．至少６人 Ｃ．至多５人 Ｄ．至少５人 10．已知点I 为△ABC 的内心，∠BIC=130°，则∠BAC 的度数是（ ）。
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2012年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷一、选择题（每题6分，共36分）1．（6分）若代数式的值为零，则x的取值范围为（）A．x=2或x=﹣1 B．x=﹣1 C．x=±2 D．x=22．（6分）如图：△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于P点，∠BPC=134°，则∠BAC=（）A．68°B．80°C．88°D．46°3．（6分）世界杯足球赛小组赛规定，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球数排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（）分．A．8 B．7 C．6 D．54．（6分）若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7 B．2 C．9 D．185．（6分）直线y=x+k与x轴、y轴的交点分别为A、B，如果△AOB的面积S ≤1，那么，k的取值范围是（）A．﹣1≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k≤1 D．k≤﹣1或k≥16．（6分）如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，AB=4，AD=DC=1，则弦BC的长为（）A．3.5 B．2 C．D．二、填空题（每小题5分，共30分）7．（5分）如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，则∠BAC=°．8．（5分）已知关于x的方程﹣2=有一个正整数解，则正整数m的可能取值共有个．9．（5分）一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过mm（保留根号）．10．（5分）已知x+y=2，2y2﹣y﹣4=0，则y﹣的值为．11．（5分）已知，则a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc的值=．12．（5分）如图：四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=∠C=120°，CD=5，则四边形ABCD的面积为．三、解答题（本题共3题，13、14题11分，15每题12分，共34分）13．（11分）甲，乙，丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送．先由甲送给乙，丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后依同样的游戏规则再由乙送给甲，丙现有的邮票数，最后由丙送给甲，乙现有的邮票数．互相送完后，每人恰好各有64枚．你能知道他们原来各有邮票多少枚吗？说出你的思考过程．14．（11分）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC 上的点，DE⊥DF．求证：EF2=BE2+CF2．（提示：要延长ED或FD，还要连接几条线段）15．（12分）如图，抛物线y=a（x+3）（x﹣1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（﹣2，6）．（1）求a的值及直线AC的函数关系式；（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．①求线段PM长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．2012年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题6分，共36分）1．（6分）若代数式的值为零，则x的取值范围为（）A．x=2或x=﹣1 B．x=﹣1 C．x=±2 D．x=2【分析】根据分子为零分母不为零分式的值为零，可得答案．【解答】解：由题意，得（x﹣2）（x+1）=0且|x|﹣1≠0，解得x=2，故选：D．【点评】本题考查了分式值为零的条件，利用分子为零分母不为零得出（x﹣2）（x+1）=0且|x|﹣1≠0是解题关键．2．（6分）如图：△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于P点，∠BPC=134°，则∠BAC=（）A．68°B．80°C．88°D．46°【分析】根据三角形内角和定理及角平分线的性质解答．【解答】解：∵在△BPC中，∠BPC=134°，∴∠1+∠2=180°﹣∠BPC=180°﹣134°=46°，∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，∴∠ABC+∠ACB=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×46°=92°，∴在△ABC中，∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣92°=88°．故选：C．【点评】此题考查了三角形的内角和定理，平分线性质．运用整体思想求出∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）是解题的关键．3．（6分）世界杯足球赛小组赛规定，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球数排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（）分．A．8 B．7 C．6 D．5【分析】首先根据题意推出6场比赛后各队的得分之和不超过18分，再分两种情形讨论①若一个队得7分，②若一个队得6分，看看其他队的得分的可能性，即可解决问题．【解答】解：4个队进行单循环比赛共比赛4×3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分或为3分，所以6场比赛后各队的得分之和不超过18分，①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有3个队得分都大于或等于7分，所以这个队必定出线．②若一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．故选：B．【点评】本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点．4．（6分）若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7 B．2 C．9 D．18【分析】设a+b=m，则ab=m+3，a2+b2变形，再整体代入，转化为关于x的二次函数求最小值，注意a、b正实数的条件的运用．【解答】解：设a+b=m，则ab=m+3，a、b可看作关于x的方程x2﹣mx+m+3=0的两根，a、b为实数，则△=（﹣m）2﹣4（m+3）≥0，解得m≤﹣2或m≥6，而a、b为正实数，∴a+b=m＞0，只有m≥6，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=m2﹣2（m+3）=（m﹣1）2﹣7，可知当m≥1时，a2+b2随m的增大而增大，∴当m=6时，a2+b2的值最小，为18．故选：D．【点评】本题考查了二次函数最值在确定代数式的值中的运用．本题要注意：①根据已知条件换元，转化为二次函数，②a、b为正实数条件的运用．5．（6分）直线y=x+k与x轴、y轴的交点分别为A、B，如果△AOB的面积S ≤1，那么，k的取值范围是（）A．﹣1≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k≤1 D．k≤﹣1或k≥1【分析】根据直线y=x+k与x轴、y轴的交点分别为A、B，可以求得出A、B 两点的坐标，由△AOB的面积S≤1，可以求得k的取值范围．【解答】解：∵直线y=x+k与x轴、y轴的交点分别为A、B，∴点A的坐标为（﹣2k，0），点B的坐标为：（0，k），∵△AOB的面积S≤1，∴，解得﹣1≤k≤1，∵k=0时，点A的坐标为（0，0），点B的坐标为：（0，0），∴此时点A、B、O组成的图形不能构成三角形，∴k的取值范围是﹣1≤k≤1且k≠0．故选：A．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6．（6分）如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，AB=4，AD=DC=1，则弦BC的长为（）A．3.5 B．2 C．D．【分析】根据勾股定理即可求得BD的长，求得cos∠CAD的值，进而求得AC的值，根据勾股定理即可求得BC的值，即可解题．【解答】解：如图，连AC、BD，过D作DE⊥AC于E．∴∠ADB=∠ACB=90°，∠ABD=∠CAD．∵BD==．∵AD=DC=1，∴∠DAC=∠DCA，∵∠DCA=∠ABD，cos∠CAD=cos∠ABD==．∴AE=AD•cos∠CAD=，∴AC=2AE=，∴BC==．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了余弦函数的求值，考查了根据余弦值求对应边的值．二、填空题（每小题5分，共30分）7．（5分）如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，则∠BAC=108°．【分析】先设∠B=x，由AB=AC可知，∠C=x，由AD=DB可知∠B=∠DAB=x，由三角形外角的性质可知∠ADC=∠B+∠DAB=2x，根据DC=CA可知∠ADC=∠CAD=2x，再在△ABC中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值，从而求解．【解答】解：设∠B=x，∵AB=AC，∴∠C=∠B=x，∵AD=DB，∴∠B=∠DAB=x，∴∠ADC=∠B+∠DAB=2x，∵DC=CA，∴∠ADC=∠CAD=2x，在△ABC中，x+x+2x+x=180°，解得x=36°．∴∠BAC=108°．故答案为：108．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往要用到三角形内角和定理、三角形外角的性质等隐含条件．8．（5分）已知关于x的方程﹣2=有一个正整数解，则正整数m的可能取值共有4个．【分析】先去分母，解得x=6﹣m（x≠3），根据关于x的方程﹣2=有一个正整数解，m=5，4，2，1，0．则正整数m的可能取值共有5个．【解答】解：去分母得：x﹣2（x﹣3）=m，解得：x=6﹣m，x﹣3≠0，x≠3，∵关于x的方程﹣2=有一个正整数解，∴m=5，4，2，1．则正整数m的可能取值共有4个，故答案为：4．【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是求出分式方程的解．9．（5分）一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过mm（保留根号）．【分析】理解清楚题意，此题实际考查一个直径为24的圆，内接正三角形的边长．【解答】解：已知此圆半径为12，则OB=12mm．在直角△OBD中，BD=OB•sin60°=6mm．则可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正三角形的边长最大．【点评】此题所求结果有些新颖，要注意题目问题的真正含义．10．（5分）已知x+y=2，2y2﹣y﹣4=0，则y﹣的值为．【分析】根据x+y=2，得出x=2﹣y，再根据2y2﹣y﹣4=0，得出y﹣=，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：∵x+y=2，∴x=2﹣y，∵2y2﹣y﹣4=0，∴2y﹣1﹣=0∴2y﹣=1∴y﹣=，∴y﹣=y﹣=y﹣+1=+1=．故答案为：．【点评】此题考查了分式的化简求值，关键是根据给出的式子进行变形得出y﹣=，注意要用整体代入法进行计算比较简单．11．（5分）已知，则a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc的值= m2．【分析】根据完全平方公式先把要求的式子进行分解，再把a，b，c的值代入即可得出答案．【解答】解：∵，∴a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc=（a+b﹣c）2=（m+1+m+2﹣m﹣3）2=m2；故答案为：m2．【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是根据完全平方公式把要求的式子进行变形，然后代入．12．（5分）如图：四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=∠C=120°，CD=5，则四边形ABCD的面积为．【分析】延长BC ，CB 分别作AE ⊥EF ，DF ⊥EF ，得梯形AEFD ，解△ABE 得BE ，AE ，解△CDF 得CF ，DF ，根据S 四边形ABCD =S 梯形AEFD ﹣S △ABE ﹣S △CDF 即可求解． 【解答】解：如图，延长BC 、CB ．作AE ⊥EF ，DF ⊥EF ，垂足分别是E 、F ． ∵∠B=120°， ∴∠EBA=60°， ∵AE ⊥EF ， ∴BE=AB=，AE=AB=同理求得CF=CD=，DF=．∴EF=EB +BC +CF=8， S △ABE =AE•BE=×=， S △CDF =CF•DF=××=， S 梯形AEFD =（AE +DF ）×EF=16，∴S 四边形ABCD =S 梯形AEFD ﹣S △ABE ﹣S △CDF =．故答案是：．【点评】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形．解答该题的难点是辅助线的作法．三、解答题（本题共3题，13、14题11分，15每题12分，共34分） 13．（11分）甲，乙，丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送．先由甲送给乙，丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后依同样的游戏规则再由乙送给甲，丙现有的邮票数，最后由丙送给甲，乙现有的邮票数．互相送完后，每人恰好各有64枚．你能知道他们原来各有邮票多少枚吗？说出你的思考过程．【分析】假设甲原有邮票x枚，乙原有邮票y枚，丙原有邮票z枚．根据题目说明列出三次赠送的过程如下表甲乙丙原有x y z第一次送后x﹣y﹣z2y2z第二次送后2（x﹣y﹣z）2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z4z第三次送后4（x﹣y﹣z）2[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z]4z﹣2（x﹣y﹣z）﹣[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z]根据第三次赠送后的结果列出方程组先化简，最后代入消元法或加减消元法求出方程组的解即可．【解答】解：设甲原有邮票x枚，乙原有邮票y枚，丙原有邮票z枚．甲乙丙原有x y z第一次送后x﹣y﹣z2y2z第二次送后2（x﹣y﹣z）2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z4z第三次送后4（x﹣y﹣z）2[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z]4z﹣2（x﹣y﹣z）﹣[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z]根据第三次赠送后列方程组，即，③﹣②得2z﹣y=8 ④，②+①得y﹣z=24 ⑤，④+⑤得z=32，将z代入⑤得y=56，将y、z代入①得x=104，答：甲原有邮票104枚，乙原有邮票56枚，丙原有邮票32枚．【点评】解答此题的关键是用表格的方式列出三次赠送邮票的过程，根据第三次结果列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．14．（11分）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC 上的点，DE⊥DF．求证：EF2=BE2+CF2．（提示：要延长ED或FD，还要连接几条线段）【分析】延长FD到点G，使DG=DF，连接BG、EG，易证EF=EG，△CDF≌△BDG，可得BG=CF，∠DBG=∠C，即可求得∠ABG=90°，即可判定△BEG是直角三角形，根据勾股定理可得BE2+BG2=EG2，即可解题．【解答】证明：延长FD到点G，使DG=DF，连接BG、EG，如图所示：∵∠EDF=90°，DF=DG，∴DE垂直平分FG，∴EF=EG，∵D是BC中点，∴CD=BD，在△CDF和△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG=CF，∠DBG=∠C，∵∠A=90°，∴∠C+∠ABC=90°，∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=90°，∴△BEG是直角三角形，∴BE2+BG2=EG2，∴EF2=BE2+CF2．【点评】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质以及直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△CDF≌△BDG是解题的关键．15．（12分）如图，抛物线y=a（x+3）（x﹣1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（﹣2，6）．（1）求a的值及直线AC的函数关系式；（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．①求线段PM长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）c在抛物线上，将c代入解析式，就可求出a的值；A是抛物线与x轴的坐标，根据抛物线求出A点坐标，由A、C两点坐标，利用待定系数法，可求出直线AC的函数关系式．（2）设出p点的横坐标m，p在直线上，然后用横坐标m表示出p点的坐标，M与P的横坐标相同，且M在抛物线上，同样可用m表示出M点坐标，然后求出线段PM，最后根据PM长度的关系式判断m为何值时，线段最长．【解答】解：（1）点C（﹣2，6）在抛物线y=a（x+3）（x﹣1）上得6=a（﹣2+3）（﹣2﹣1）∴a=﹣2（3分）∴抛物线的函数解析式为y=﹣2（x+3）（x﹣1）由题意得抛物线与x轴交于B（﹣3，0）、A（1，0）设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b6=﹣2k+b解得k=﹣2，b=2∴直线AC的函数解析式为y=﹣2x+2（6分）（2）①设P的横坐标为m（﹣2≤m≤1），则M的横坐标是m．P（m，﹣2m+2），M（m，﹣2m2﹣4m+6）（7分）∴PM=﹣2m2﹣4m+6﹣（﹣2m+2）=﹣2m2﹣2m+4=∴当m=﹣时，PM的最大值为（10分）②存在，∵∠CPM=∠APN若∠CMP=∠ANP=90°如图1，则点M的纵坐标为6，6=﹣2（x+3）（x﹣1），x2+2x=0，x（x+2）=0，x1=0，x2=﹣2（舍），则点M的坐标为（0，6），如图2，若∠PCM=∠ANP=90°，过点C作与AC垂直的直线，则直线CM为：y=（x+2）+6，联立y=（x+2）+6与y=﹣2（x+3）（x﹣1），（x+2）+6=﹣2（x+3）（x﹣1），4x2+9x+2=0，（x+2）（4x+1）=0，x=﹣2（舍）或x=﹣，当x=﹣时，y=﹣2×（﹣+3）×（﹣﹣1）=，则点M的坐标为M（﹣，），故M1（0，6）、M2（，）（14分）【点评】本题综合考查了二次函数的与直线相交下，交点问题的计算，以及线段最长最短问题，三角形问题等．。